张奠宙文集第1卷：数学研究与数学思想最新章节_《张奠宙文集》编辑委员会著

无界超广义标量算子与无界可分解算子

张奠宙　王漱石

提要：本文引进无界超广义标量算子的定义，然后证明：一个无界超广义标量算子为可分解算子的充要条件是，其中F是C的闭集，K是紧子集且K⊂F，μ∉F。M是仅依赖于μ和F的常数。U是型的谱分布，。，x∈X，supp f⊂K｝。

自从Foias提出广义标量算子的概念以来，已经有多方面的推广 [1，2] 。文献[3]系统地研究了无界超广义标量算子，但限于实谱。[6]也给出了无界广义标量算子，但仅限于空间。本文给出了更一般的谱在平面上的无界超广义标量算子的定义，导出一些基本性质。对一类正规的无界超广义标量算子，证明了谱映照定理，并且断定这类算子是有限可分解的且有无界谱容量［4，5］。

一谱表示和强谱容量

沿用[3]的记法。记为一正数列，满足

以上的（i），（ii），（iii）分别称为对数凸性，非拟解析性和可微性。

对序列｛M k ｝，正整数ν和复平面C的紧子集K，记

其中C ∞ （R 2 ）表示平面上无限次可微函数空间，（R 2 ）是紧支集的无限次可微函数空间。再记

早已证明都是环，见[1]。

定义1 （无界谱表示）　设X为复Banach空间，U是中的映射，我们称U是一个谱表示，如果U满足：

（i）U是代数同态，即对任意的f，和任意的复数a，β，有

（ii）U是连续的，

（iii）记G n =｛λ∈C，｜λ｜＜n｝，存在，使得I n 在的某邻域上等于1且对于任意的x∈X，有。

注如果条件（iii）改为下面的（iii）′，则本文的结论仍成立。

（iii）′对任意的x∈X，存在，（｛f n ｝可随x而不同），使得。

定义2 设U是谱表示，对复平面C的任意的开子集G，命

这里∨表示在X中取线性闭包，若F是C的闭子集，则命

X［U］（F）=∩｛X［U］（G），G⊃F，G是有界开集或∞的开邻域｝。

在[4]中我们引入了如下的概念：

设X是复Banach空间，T是X上的闭算子且有非空预解集，其定义域为D T 。如果Y是X的闭子空间且T［Y∩D T ］⊂Y，那么称Y为T的不变子空间，记作

Y∈Inv（T）。

如果Y∈Inv（T）且对任意的Z∈Inv（T）由σ（T｜Z）⊂σ（T｜Y）可推出Z⊂Y，那么称Y是T的极大谱子空间，记作Y∈SM（T）。

如果对σ（T）的任意一个开覆盖，其中G 1 是∞的开邻域，G 2 ，…，G n 都是有界开集，存在，使得，（ii）当i≠1时，Y i ⊂D T ，（iii）σ（T｜Y i ）⊂G i （i=1，2，…，n），那么称T是可分解的。如果对于σ（T）的由两个开集G 1 ，G 2 组成的开覆盖，其中G 1 是∞的开邻域，G 2 是有界开集，存在Y 1 ，Y 2 ∈SM（T），使得（i）X=Y 1 +Y 2 ，（ii）Y 2 ⊂D T ，（iii）σ（T｜Y i ）⊂G i ，那么称T是2-可分解的。如果对于每一个Y∈SM（T），T｜Y都是可分解的，那么称T是强可分解的。

记为复平面C中闭子集的全体，S（X）为X的闭子空间全体，设ε是从到S（X）中的一个映射。如果它满足

（i）ε（ϕ）=（0），ε（C）=X，

（ii），这里，

（iii）对于C的任意一个开覆盖，其中G 1 是∞的开邻域，有

那么ε称为一个谱容量。

如果条件（i），（ii）仍旧满足但（iii）由下面的（iii）′所代替，那么ε称为一个2-谱容量。

（iii）′对于C的任意开覆盖（G 1 ，G 2 ），其中G 1 是∞的开邻域，有

如果除（i），（ii）外还满足下面的（iv），则称ε为强谱容量。

（iv）对于每一个，如果是F的一个开覆盖，且G 1 是∞的开邻域，那么。

谱容量（相应地或2-，或强）ε称为T所具有的，如果

（v）对每一个C的紧子集K，有ε（K）⊂D T ；

（vi）对每一个，T［ε（F）∩D T ］⊂ε（F），即ε（F）∈Inv（T）；

（ⅶ）对每一个，有σ［T｜ε（F）］⊂F。

这里关于谱容量的定义与I. Erdelyi [5] 的稍有差别，在[4]中我们证明了：对于复Banach空间X上的有非空预解集的闭算子T来说：（a）T有-2谱容量，T有谱容量，T2-可分解，T可分解四者等价而且T有强谱容量与T强可分解互相等价。（b）如果T有2-谱容量ε，那么对任意的，有，这里

命题1 对任意的和C的开子集G，闭子集F，有

X ［U］（G）∈Inv（U g ），X ［U］（F）∈Inv（U g ）。

证对任意的x∈X ［U］（G），有h i ∈ 和x i ∈X使得Uh i x i →x，且supp h i ⊂G。因U g 有界，故，又supp gh i ⊂G，故U g x∈X ［U］（G）。X ［U］（F）是不变子空间X ［U］（G）的交，仍为不变子空间。

命题2 设F⊂C是闭集，那么x∈X ［U］（F）必须且只须对任意的满足（supp f）∩F=∅的，有U f x=0。

证必要性设x∈X ［U］（F），如果且（suppf）∩F=∅，那么有开集G⊃F（若F无界，则取G为∞的开邻域），使得（suppf），对y∈X ［U］（G），有，由于，故U f y=0。

推论3 若K⊂C是紧集，记E（K）=｛x: U φ x=x，φ∈M（K）｝，其中M（K）表示在K的邻域上为1的中的函数，那么

X ［U］（K）=E（K）。

顺便指出，当F为无界闭集时，E（F）没有意义，因为中函数的支集是紧的，但X ［U］（F）仍有意义，因此我们更多地采用X ［U］（F）进行研究。

二　无界超广义标量算子及其性质

命题6 设U： →B（X）是一个谱表示。现定义线性算子S如下：命

DS=∪｛X ［U］（K），K⊂C是紧集｝。

当x∈X ［U］（K）时命，这里λ k 表示中的一个函数在K的某邻域上等于λ，那么S有闭扩张。

定义3 命题6中线性算子S的最小闭扩张（记作A）称为型广义标量算子。显然A是X上的稠定闭算子。

命题7 若U是（R 2 ）型谱表示，则对任意的，U φ 是有界广义标量算子，且σ（U φ ）⊂φ（suppU）。

这里，即V λ =U φ ，故U φ 是以V为谱表示的广义标量算子。由Foias的谱映照定理，即知σ（U φ ）=suppV⊂φ（suppU）。

命题8 设A是型广义标量算子，则对任何闭集F⊂C，X ［U］（F）是A的ν空间，即X ［U］（F）∈Inv（A）且σ［A｜X ［U］（F）］⊂σ（A）。若K⊂C是紧集，则

σ［A｜X ［U］（K）］⊂K。

证先证X ［U］（F）∈Inv（A）。如果x∈X ［U］（F）∩D A ，那么有x n ∈X ［U］（K n ），使得x n →x且Ax n →Ax，这里K n ⊂C都是紧集。对任何满足（suppφ）∩F=∅的，由命题2知U φ x=0且U λφ x=0。故。所以Ax∈X ［U］（F）。故X ［U］（F）∈Inv（A）。再证σ［A｜X ［U］（F）］⊂σ（A）。对任意的λ∈ρ（A），我们只要证R（λ，A）X ［U］（F）⊂X ［U］（F）。任取开集G⊃F（如果F无界，则取G为∞的开邻域），设x∈X ［U］（F），那么x∈X ［U］（G）。故有f i ∈ ，x i ∈X，使得suppf i ⊂G且。因为

因而R（λ，A）x∈X ［U］（F），于是R（λ，A）X ［U］（F）⊂X ［U］（F）。

最后证σ［A｜X ［U］（K）］⊂K。对任意的μ∉K，用（μ-λ） K ，分别表示在K的某邻域上分别为（μ-λ）和（μ-λ） -1 的中的函数，那么

命题9 型广义标量算子A具有单值扩充性。

证设f: G→D A 在连通的有界开集G⊂C上解析且满足（μ-A）f（μ）=0（μ∈G）。我们证f（μ）=0（μ∈G）。对任意的，必有（μ-A）U g f（μ）=0。事实上对任意固定的μ∈G存在y n ∈X ［U］（K n ）使得y n →f（μ）且Ay n →Af（μ）。这里K n ⊂C都是紧集。因U g 有界，故U g y n →U g f（μ）且AU g y n =U g Ay n →U g Af（μ）。所以U g f（μ）∈D A ，且AU g f（μ）=U g Af（μ）。因此（μ-A）U g f（μ）=U g （μ-A）f（μ）=0。现取开集G 1 ，G 2 使得，再取使得supph⊂G 2 且当λ∈G 1 时h（λ）=1，命g 1 =g（1-h），g 2 =gh，那么g 1 ，g 2 ∈ 且当μ∈G时，有

记，这里D是suppg的一个有界开邻域。当μ∈G时，

命题10 如果A是型广义标量算子，则对任意的，有

这就证明了σ（U g x，A）⊂σ（x，A）。

定义4 设A是型广义标量算子，U是其谱表示。如果对任意固定的闭集F⊂C和μ∉F，存在常数M=M（μ，F），使得对任意的紧集K⊂F成立，则称A是正规的。

命题11 设A是型广义标量算子，U是其谱表示，则suppU⊂σ（A）。如果A还是正规的，则suppU=σ（A）。

于是μ∈ρ（A）且R（μ，A）=Tμ。因此σ（A）⊂suppU。

命题12 设A是型广义标量算子，A的预解集非空，U是其谱表示，那么下列四者等价：（i）A是正规的，（ii）A强可分解，（iii）A可分解，（iv）对任何闭集F⊂C，X A （F）是闭的。

证（i）⇒（ii）用与命题11相类似的方法，可以证明，在（i）的条件下的任何闭集F⊂C，有σ［A｜X ［U］（F）］⊂F，命ε（F）=X ［U］（F），再由命题5和命题8以及定义3知它是A所具有的强谱容量。因此A强可分解。（ii）得证。（ii）⇒（iii）和（iii）⇒（iv）都是显然的。现证（iv）⇒（i）。我们先在（iv）的条件下证明对任意的闭集F⊂C，有

X ［U］（F）=X A （F）。

先证对任意的紧集K⊂C有X ［U］（K）=X A （K）。因为

x∈X ［U］（K）⇒σ（x，A）⊂σ［A｜X ［U］（K）］⊂K⇒x∈X A （K），

所以X ［U］（K）⊂X A （K）。反之若x∈X A （K），那么σ（x，A）⊂K。由命题10，对任意的有σ（U g x，A）⊂K。显然有解析函数f：ρ（U g x，A）→D A ，使得当μ∈ρ（U g x，A）时，（μ-A）f（μ）=U g x，取有界开集G⊃suppg，再取使得supph⊂G且在suppg上h取值为1，这样μ∈ρ（U g x，A）时U h f（μ）解析，且AU h f（μ）=U h Af（μ）。因此（μ-A）U h f（μ）=U h （μ-A）f（μ）=U h U g x=U g x。所以，故σ（U g x，。对任意的满足（suppg）∩K=∅的，可取G使得。故这时

所以U g x=0。这样X ［U］（K）=X A （K）。再证对任何闭集F⊂C，有X ［U］（F）=X A （F）。若x∈X ［U］（F），则有x n ∈X ［U］（K n ）使得x n →x，这里K n =｛λ∈F，｜λ｜≤n｝，所以x n ∈X ［U］（K n ）=X A （K n ）⊂X A （F）。因X A （F）闭，故x∈X A （F）。所以X ［U］（F）⊂X A （F）。另一方面，若x∈X A （F），那么σ（x，A）⊂F。由定义1，有使得。因为且存在有界闭集Δ n ⊂C，使得，所以。故 X A （F∩Δ n ）=X ［U］（F∩Δ n ）⊂X ［U］（F）。因此x∈X ［U］（F）。于是X A （F）⊂X ［U］（F）。这样我们就证明了X A （F）=X ［U］（F）。因而σ［A｜X ［U］（F）］⊂F。对任意的μ∉F。命M=M（μ，F）=‖R［μ，A｜X ［U］（F）］‖，因为对于任意的有界闭集K⊂F，有