无界可单位分解算子

张奠宙　王漱石

在有界可分解算子与有界广义标量算子之间，王声望 [1] 引入了一类有界可单位分解算子。刘光裕在他的研究生毕业论文中，把有界可单位分解算子的概念在某种意义上推广到无界情形，参见[2][3]。 本文考虑无界的封闭可单位分解算子，证明了一些概念的等价性，并指出正规的无界广义标量算子 [5] 和离散算子 [6] 都是无界可单位分解的 。

在本文中，我们用C表示复平面。用C ∞ 表示闭复平面，即C ∞ =C∪｛∞｝。用 和 分别表示C和C ∞ 中闭子集的全体，用 表示C中紧子集全体。我们用Q（X）表示复Banach空间X上有非空预解集的闭算子（不一定稠定）的全体，当T∈Q（X）时，以σ（T）和σ e （T）分别表示T的谱和扩充谱，以ρ（T）表示T的预解集，以σ（x，T）表示局部谱，本文中，我们不要求算子的不变子空间和极大谱子空间一定要包含在算子的定义域内，就是说若Y是X的闭子空间且T（Y∩D T ）⊂Y，则称Y是T的不变子空间，记作Y∈Inv（T）。若Y∈Inv（T）且对于任意的Z∈Inv（T）当σ（T｜Z）⊂σ（T｜Y）时有Z∈Y，则称Y是T的极大谱子空间，记作Y∈SM（T）。

引理1 设T∈Q（X），Y∈SM（T），A∈B（X），如果AX⊂D T 并且AT｜D T =TA｜D T ，那么AY⊂Y。

证：对于每一个非零的λ∈ρ（A）。命Y λ =R（λ，A）Y，那么Y λ 是X的闭子空间。因为AT｜D T =TA｜D T ，对任意的a，β∈C，我们有（a-A）（β-T）｜D T =（β-T）（a-A）｜D T 。我们还有R（λ，A）D T ⊂D T 。事实上，如果x∈D T ，y=R（λ，A）x，那么（λ-A）y=x且 。故R（λ，A）D T ⊂D T 。因为T［Y λ ∩D T ］=T［R（λ，A）Y∩D T ］=R（λ，A）（λ-A）T［R（λ，A）Y∩D T ］=R（λ，A）T（λ-A）［R（λ，A）Y∩D T ］⊂R（λ，A）T［Y∩D T ］⊂R（λ，A）Y=Y λ ，我们有Y λ ∈Inv（T）。

我们来证σ（T｜Y λ ）=σ（T｜Y），如果μ∈ρ（T｜Y），那么对任z∈Y λ ，存在y∈Y，使得z=R（λ，A）y，且存在x∈Y∩D T 使得y=（μ-T）x，于是z=R（λ，A）y=R（λ，A）（μ-T）x=R（λ，A）（μ-T）（λ-A）R（λ，A）x=R（λ，A）（λ-A）（μ-T）R（λ，A）x=（μ-T）R（λ，A）x。因为R（λ，A）x∈Y λ ∩D T ，μ-T｜Y λ 是满射的。对任意的x∈Y λ ∩D T ，存在y∈Y，使得x=R（λ，A）y。显然y=（λ-A）x∈Y∩D T ，因此由（μ-T）x=0可得0=（μ-T）R（λ，A）y=R（λ，A）（λ-A）（μ-T）R（λ，A）y=R（λ，A）（μ-T）（λ-A）R（λ，A）y=R（λ，A）（μ-T）y。于是（μ-T）y=0。因μ∈ρ（T｜Y），y∈Y∩D T ，我们有y=0。因而x=R（λ，A）y=0，于是μ-T｜Y λ 还是单射的。这样μ∈ρ（T｜Y λ ）。另一方面，如果μ∈ρ（T｜Y λ ），那么对任y∈Y，R（λ，A）y∈Y λ 。故有z=R（λ，A）x∈Y λ ∩D T ，这里x∈Y，使得（μ-T）z=R（λ，A）y，即（μ-T）R（λ，A）x=R（λ，A）y。因x=（λ-A）z∈Y∩D T ，故R（λ，A）y=（μ-T）R（λ，A）x=R（λ，A）（λ-A）（μ-T）R（λ，A）x=R（λ，A）（μ-T）（λ-A）R（λ，A）x=R（λ，A）（μ-T）x。于是（μ-T）x=y。因此μ-T｜Y是满射的。对任意的x∈Y∩D T ，由（μ-T）x=0，可得（μ-T）（λ-A）R（λ，A）x=0。因R（λ，A）D T ⊂D T ，我们有R（λ，A）x∈Y λ ∩D T 并且（μ-T）R（λ，A）x=R（λ，A）（λ-A）（μ-T）R（λ，A）x=R（λ，A）（μ-T）（λ-A）R（λ，A）x=R（λ，A）（μ-T）x=R（λ，A）0=0，因μ∈ρ（T｜Y λ ），我们有R（λ，A）x=0，于是x=0，因此μ-T｜Y是单射的。这样μ∈ρ（T｜Y）。至此我们证明了σ（T｜Y λ ）=σ（T｜Y）。

因Y∈SM（T），我们有Y λ ⊂Y，即R（λ，A）Y⊂Y。这样对任意的λ∈ρ（A）/（0）和任意的y∈Y，我们有R（λ，A）y∈Y。因此

这里Γ是一条可求长封闭曲线，包围σ（A）于其内部，而Γ本身包含在ρ（A）/（0）中，于是AY⊂Y。证毕。

引理2 如果T∈Q（X），那么下列三条等价：（i）（0）∈SM（T），（ii）对任非零的Y∈Inv（T），σ（T｜Y）≠∅，（iii）对任Y∈Inv（T），如果σ（T｜Y）有界，那么Y⊂D T 。

证：（ii）⇒（iii）。如果Y∈Inv（T）且σ（T｜Y）有界，命P= ，这里Γ是包围σ（T｜Y）于其内部的可求长封闭曲线，那么P和I｜Y-P都是Y上的有界投影算子。命Y 1 =PY，Y 2 =（I｜Y-P）Y，那么Y 1 ，Y 2 都是X的闭子空间，我们来证Y 1 ，Y 2 ∈Inv（T）且Y 1 ⊂D T 。

（iii）⇒（i），对任Y∈Inv（T），若σ（T｜Y）⊂σ（T｜0）=∅，那么由（iii）得Y⊂D T 且Y=（0）。故（0）∈SM（T），（i）⇒（ii）是显然的。

定义3 设T∈Q（X），如果对σ（T）的任意开覆盖 ，其中G 1 是∞的邻域，G 2 ，…，G n 是有界开集，n是任意正整数，存在 ，使得 ，（ii）i≠1时Y i ⊂D T ，（iii）σ（T｜Y i ）⊂G i （i=1，2，…，n），则称T是可分解的。如果除了存在 满足条件（ii）和（iii）外还存在 满足（iv）R（π i ）⊂Y i （i=1，2，…，n），这里R（π i ）表示π i 的值域， ，（vi）i≠1时对每一x∈D T 有Tπ i x=π i Tx，则称T是可单位分解的（这时条件（i）显然满足，故可单位分解算子必是可分解算子）。

在上面的定义中如果限定n=2，那么我们就得到2-可分解算子和2-可单位分解算子的定义。

如果对于每一个Y∈SM（T），T｜Y都是可分解的（可单位分解的），则称T为强可分解的（强可单位分解的）。显然，强可单位分解算子必是强可分解的。

命题4 设T∈Q（X），那么下列三概念等价：（i）T是2-可单位分解的。（ii）T是可单位分解的。（iii）T是强可单位分解的。

证：只要证（i）⇒（iii），余皆显然。

我们先在（i）的条件下证明对于每一个Y∈SM（T），T｜Y是2可单位分解的。设（G 1 ，G 2 ）是σ（T｜Y）的一个开覆盖，其中G 1 是∞的开邻域，G 2 是有界开集，命H 1 =G 1 ∪［σ（T｜Y）］ r ，H 2 =G 2 ，那么（H 1 ，H 2 ）是C的一个开覆盖且H 1 是∞的开邻域，H 2 是有界开集，故有Y 1 ，Y 2 ∈SM（T），π 1 ，π 2 ∈B（X），使得I=π 1 +π 2 ，Y 2 ⊂D T ，σ（T｜Y i ）⊂H i ，R（π i ）⊂Y i （i=1，2）且当x∈D T 时π 2 Tx=Tπ 2 x。因Y∈SM（T），故由引理1，有π 2 Y⊂Y，因而π 1 Y=（I-π 2 ）Y⊂Y。命Z 1 =Y 1 ∩Y，Z 2 =Y 2 ∩Y，那么由[4]定理1.7，Z 1 ，Z 2 ∈SM（T）。且σ（T｜Z i ）⊂σ（T｜Y i ）∩σ（T｜Y）⊂G i 。这时易知Z i ∈SM（T｜Y），π 4 Y⊂Z i （i=1，2），Z 2 ⊂Y∩D T ，且I｜Y=π 1 ｜Y+π 2 ｜Y。故T｜Y是2-可单位分解的。再证在（i）的条件下，T是可单位分解的，我们就n=3的情形加以证明，一般情形可用归纳法推出，设 ，其中G 1 是∞的开邻域，G 2 ，G 3 是有界开集，那么存在Y 1 ，Z 2 ∈SM（T）和π 1 ，P 2 ∈B（X）使得Z 2 ⊂D T ，σ（T｜Y 1 ）⊂G 1 ，σ（T｜Z 2 ）⊂G 2 ∪G 3 ，R（π 1 ）⊂Y 1 ，R（P 2 ）⊂Z 2 ，I=π 1 +P 2 ，且当x∈D T 时P 2 Tx=TP 2 x，由上面所证，T｜Z 2 是2-可单位分解的，因为σ（T｜Z 2 ）⊂G 2 ∪G 3 ，故有Y 2 ，Y 3 ∈SM（T｜Z 2 ）（显然这时Y 2 ，Y 3 ∈SM（T）），以及 。使得σ（T｜Y 2 ）⊂G 2 ，σ（T｜Y 3 ）⊂G 3 ， 。 。命 ，那么I=π 1 +π 2 +π 3 。当x∈D T 时，π 2 Tx=Tπ 2 x，π 3 Tx=Tπ 3 x。R（π i ）⊂Y i ，Y i ∈SM（T），σ（T|Y i ）⊂G i （i=1，2，3），且当i≠1时Y i ⊂D T 。故T是可单位分解的。这样，T是2-可单位分解的⇒对任意的Y∈SM（T），T｜Y是2-可单位分解的⇒对任意的Y∈SM（T），T｜Y是可单位分解的⇒T是强可单位分解的。（i）⇒（iii）得证。

定义5 设T∈Q（X），如果存在映射E： ，其中S（X）为X的闭子空间全体，满足：

（i）E（∅）=（0），E（C）=X。

（ii） 。这里 。

（iii）K∈ 时E（k）⊂D T 。

（iv）F∈ 时T［E（F）∩D T ］⊂E（F），即E（F）∈Inv（T）。

（v）F∈ 时σ［T｜E（F）］⊂F。

（vi）对于C的任意开覆盖 。其中G 1 是∞的开邻域，G 2 ，…，G n 是有界开集，n是任意正整数，有 。

则称E为T所具有的谱容量。

如果（i）～（v）照旧满足而（vi）改成下面的（vi）′，（vi）″，（vi）‴，那么我们分别称E为T所具有的单位谱容量，强谱容量，强单位谱容量。

如果（i）～（v）照旧满足而把（vi）和（vi）′中的n限定为2，那么就得到T所具有的2-谱容量和2-单位谱容量的定义。

命题6 设T∈Q（X），则T是强可单位分解的充要条件是T具有强单位谱容量。

证：必要性，设T是强可单位分解，那么T必是强可分解，由[4]定理4.6，T有强谱容量E，对任意的 和F的任意开覆盖 ，其中G 1 是∞的开邻域，G 2 ，…，G n 是有界开集，n是任意正整数，命Y=E（F），那么由[4]定理4.5，Y∈SM（T），显然σ（T｜Y）⊂F。由于T是强可单位分解的，故有Y i ∈SM（T｜Y）和π i ∈B（Y）使得σ（Τ｜Y i ）⊂G i R（π i ）⊂Y i （i=1，2，…，n）。 ，当i≠1时，Y i ⊂D T 且对任意的x∈Y∩D T ，有π i Tx=Tπ i x。显然 。故E是T的强单位谱容量。

充分性，设T有强单位谱容量E，那么对任意的Y∈SM（T），有Y=E［σ（T｜Y）］。由此易知T是强可单位分解的。

类似地可以证明

命题7 设T∈Q（X），那么T是可单位分解（2-可单位分解）的充要条件是T有单位谱容量（2-单位谱容量）。

综上所述，可得以下的

定理8 设T∈Q（X），则下列六者等价：（i）T 2-可单位分解。（ii）T可单位分解。（iii）T强可单位分解。（iv）T有2-单位谱容量。（v）T有单位谱容量。（vi）T有强单位谱容量；并且这时T必是强可分解的。

下面的定理9说明当T∈B（X）时，本文关于可单位分解的定义与[1]的一致。

定理9 设T∈Q（X），那么T可单位分解的充要条件是（0）∈SM（T）且对σ（T）的任意开覆盖（G 1 ，G 2 ），其中G 1 是∞的开邻域，G 2 是有界开集，存在Z 1 ，Z 2 ∈Inv（T）和π 1 ，π 2 ∈B（X），使得σ（T｜Z i ）⊂G i ，R（π i ）⊂Z i （i=1，2），I=π 1 +π 2 ，Z 2 ⊂D T 且当x∈D T 时Tπ 2 x=π 2 Tx。

现证T是可单位分解的。对任意的Y∈SM［f（T）］，先证Y∈Inv（T）。若0∉σ［f（T）｜Y］=σ［R（λ 0 ，T）｜Y］。那么R（λ 0 ，T）｜Y是以Y到Y上的一一对应，故Y⊂D T 且（λ 0 -T）Y=Y，因而TY⊂Y。若0∈σ［f（T）［Y］］，那么对任意的y∈Y∩D T ，有f（T）×（λ 0 -T）y=R（λ 0 ，T）（λ 0 -T）y=y∈Y。因Y∈SM［f（T）］，由[7]的定理3.7，Y是f（T）吸收的，故（λ 0 -T）y∈Y，因而Ty∈Y。这样T［Y∩D T ］⊂Y，Y∈Inv（T）。

次证σ e （T｜Y）=f -1 ［σ（f（T）｜Y）］。因Y∈Inv［f（T）］=Inv［R（λ 0 ，T）］，故R（λ 0 ，T）Y⊂Y。因λ 0 ∈ρ（T）。所以x∈Y∩D T 且（λ 0 -T｜Y）x=0⇒x∈D T 且（λ 0 -T）x=0⇒x=0。故λ 0 -T｜Y是单射的。对任意的y∈Y，命x=R（λ 0 ，T）y，那么x∈Y∩D T 且｜（λ 0 -T｜Y）x=y。故λ 0 -T｜Y是满射的。因此λ 0 ∈ρ（T｜Y）。这样可以证明f（T）｜Y=f（T｜Y）。因此σ［f（T）｜Y］=σ［f（T｜Y）］=f［σ e （T｜Y）］。故σ e （T｜Y）=f -1 ［σ（f（T）｜Y）］。

然后证Y∈SM（T）。由上面所证σ e （T｜Y）=f -1 ［σ（f（T）｜Y）］⊂f -1 σ［f（T）］=σ e （T）。故σ（T｜Y）⊂σ（T）。若Z∈Inv（T）且σ（T｜Z）⊂σ（T｜Y），那么σ（T｜Z）⊂σ（T）。与前面同样可证f（T｜Z）=f（T）｜Z。因为σ（T｜Z）⊂σ（T｜Y）且（0）∈SM（T），所以由引理2，σ e （T｜Z）⊂σ e （T｜Y），故σ［f（T）｜Z］=σ［f（T｜Z）］=f［σ e （T｜Z）］⊂f［σ e （T｜Y）］=σ［f（T）｜Y］。由于Y∈SM［f（T）］，所以Z⊂Y，这样Y∈SM（T）。

再证T是可分解的。设（Gi） n 是σ（T）的一个开覆盖，其中G 1 是∞的开邻域，G 2 ，…，G n 都是有界开集。命H 1 =f（G 1 ）∪（0），i≠1时命H i =f（G i ），那么 是σ［f（T）］=f［σ e （T）］的一个开覆盖。因f（T）可分解，故有Y i ∈SM［f（T）］使得 ，σ［f（T）｜Y i ］⊂H i 。由上面所证Y i ∈SM（T）且σ e （T｜Y i ）=f -1 ［σ（f（T）｜Y i ）］。于是σ（T｜Y i ）⊂Gi（i=1，2，…，n）且i≠1时Y i ⊂D T 。故T可分解。

最后证T是可单位分解。显然T有SVEP。命W i =X T ［σ（T｜Z i ）］（i=1，2），这里X T （F）=｛x∈X，σ（x，T）⊂F｝，那么W i ∈SM（T），σ（T｜W i ）⊂σ（T｜Z i ）⊂G i ，R（π i ）⊂Z i ⊂W i （i=1，2），W 2 ⊂D T 且当x∈D T 时π 2 Tx=Tπ 2 x。故T是可单位分解的。（充分性证毕）

设T∈Q（X），Y∈Inv（T），如果对任意的Z∈Inv（T），当σ e （T｜Z）⊂σ e （T｜Y）时有Z⊂Y，则称Y为T的（e）极大谱子空间，记作Y∈SM e （T）。显然T的极大谱子空间必是T的（e）极大谱子空间，在定义3和定义5中，我们把σ（T），σ（T｜Y i ），SM（T）， ，C，σ［T｜E（F）］分别改为σ e （T），σ e （T｜Y i ），SM e （T）， ，C ∞ ，σ e ［T｜E（F）］，那么相应地就得到（e）可分解，（e）可单位分解，2-（e）可分解，2-（e）可单位分解，（e）强可分解，（e）强可单位分解以及T的（e）谱容量，（e）单位谱容量，（e）强谱容量，（e）强单位谱容量，2-（e）谱容量，2-（e）单位谱容量等概念。

关于可分解算子与谱容量的关系，我们在[4]中已作了讨论，用类似的方法我们可以证明

定理10 设T∈Q（X），那么a），T（e）可分解，T2-（e）可分解，T有（e）谱容量，T有2-（e）谱容量四者等价。b）T（e）强可分解与T有（e）强谱容量等价。c）若T有（e）谱容量E，那么T有SVEP，且对任F∈ ，有E（F）=X eT （F）∈SM e （T）。这里X eT （F）=｛x∈X，σ e （x，T）⊂F｝，σ e （x，T）是扩充的局部谱。即当∞是 的正则点时σ e （x，T）=σ（x，T），当∞是 的奇点时σ e （x，T）=σ（x，T）∪（∞）。

相应于本文的定理8和定理9，我们有

定理11 设T∈Q（X）。那么下列六者等价：（i）T2-（e）可单位分解。（ii）T（e）可单位分解。（iii）T（e）强可单位分解。（iv）T有2-（e）单位谱容量。（v）T有（e）单位谱容量。（vi）T有（e）强单位谱容量。并且这时T必是（e）强可分解的。

定理12 设T∈Q（X）。那么T（e）可单位分解的充要条件是对于σ e （T）的任意开覆盖（G 1 ，G 2 ），其中G 2 是有界开集，∞∈G 1 ，存在Z 1 ，Z 2 ∈Inv（T），和π 1 ，π 2 ∈B（X），使得σ e （T｜Z i ）⊂G i ，R（π i ）⊂Z i （i=1，2），I=π 1 +π 2 。且当x∈D T 时有Tπ 2 x=π 2 Tx。

关于这两类可分解概念的关系，我们有

定理13 设T∈Q（X），那么T可单位分解（可分解，强可分解）的充要条件是T（e）可单位分解（（e）可分解，（e）强可分解）且（0）∈SM（T）。

例14 正规的有非空预解集的 型广义标量算子（见[5]）是可单位分解的。

例15 可分Hilbert空间上的离散算子是（e）可单位分解的，有性质S的离散算子（见[6]）是可单位分解的。

证：设T是可分Hilbert空间上的离散算子，那么σ（T）是可数集且除∞外无聚点。设（G 1 ，G 2 ）是σ e （T）的一个开覆盖其中∞∈G 1 ，G 2 是有界开集，那么有σ（T）的子集M，N使得σ（T）=M∪N，M∩N=ϕ，M⊂G 1 ，N⊂G 2 。命 ，T）dλ，PM=I-P N ，这里Γ N 是封闭可求长曲线包围N于其内部而M在其外部。命Y 1 =P M X，Y 2 =P N X，那么Y 1 ，Y 2 ∈SM e （T），Y 2 ⊂D T ，σ e （T｜Y 1 ）⊂M∪（∞）⊂G 1 ，σ e （T｜Y 2 ）⊂N⊂G 2 。当x∈D T 时， 。故T是（e）可单位分解的，若这时T还有性质S，则（0）∈SM（T）。故T是可单位分解的。

参考文献

[1]王声望.局部预解式与可单位分解算子.科学通报通讯稿.

[2]王声望.刘光裕.具有可单位分解性质的谱容量.科学通报通讯稿.

[3]刘光裕. 型算子与可单位分解算子的若干问题.南京大学研究生毕业论文.

[4]王漱石.封闭可分解算子.华东师范大学学报（自然科学版），1981（3）.

[5]张奠宙，王漱石.无界超广义标量算子和无界可分解算子.待发表.

[6]Robert M. Kauffman. A. Spectral decomposition theorem and its application to higher-order non-self adjoint differential operators in L 2 ［a，∞］. Proc. London，Math. Soc. Vol.　XL Part 3，May （1980），476—506.

[7]Erdelyi I. and Lange，R. Spectral decompositions on Banach Spaces . Springer-Verlag. （1977）.

[8]Hille，E. and Phillips.，R.S. Functional Analysis and Semi-Groups . Amer. Math. Soc. （1957）2nd Edit. LHblelK0Mvhnt+ia7pQYvcH6i6dH0u7btwB6kgKxpikSbF131XbE0bjkn4HtUItn