不连续现象的数学模型
——托姆的突变理论

张奠宙

在自然现象和社会活动中，充满着突变和跳跃的过程。水突然沸腾，冰突然融化，火山爆发，房屋倒塌，蝗虫陡然大量发生铺天盖地而来，病人忽然产生休克以至死亡。这类由渐变、量变发展为突变、质变的过程无处不在。

但是，从牛顿（I. Newton）创立的微积分到今天的艰深数学成就，其主要部分都不是处理这类过程的。经典微积分的研究对象是渐变的、光滑变化的现象。例如地球绕太阳旋转，它是如此有规律地周而复始地连续不断进行，使得人们能极其精确地预测未来的运动状态。可以说，微积分是光滑变化现象的数学模型。二十世纪科学的进展，迫使数学家进一步描述突然发生的量的跃迁过程，研究不连续现象的数学理论陆续出现。法国数学家托姆（R. Thom）创立的突变理论，就是一种十分引人注目的数学模型。

托姆是一位享有盛名的数学家，曾经获得过当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖章。1972年，托姆出版了《结构稳定性和形态发生学》一书，系统地阐述了他的突变理论。近十年来，突变理论曾引起过轰动，也出现过非议，经受过严厉的批评。目前突变理论家们正从理论和实际应用方面，不断改进和完善这一模型。

一　突变——系统稳定态的跃迁

数学中处理不连续现象的方法还是有一些的，例如将不连续函数展成富氏级数，用偏微分方程描写激波形成等。突变理论并不是要代替它们，而是作为传统方法的一种补充。这种新理论的要点，在于考察某种过程从一种稳定态到另一种稳定态的跃迁。

大家知道，系统所处的状态可以用一组参数描述。当系统处于稳定态时，标志该系统状态的某个函数就取唯一的极值（如能量取极小、熵取极大等）。当参数在某个范围内变化，该函数有不止一个极值时，那么系统必然处于不稳定状态。因为，如果系统的状态既可使某函数取极值甲，又可能取极值乙，究竟取哪个值不能判定，当然是不稳定的了。现在我们设想，系统从一种稳定态（比如取极值甲）进入某不稳定态，而且参数再稍作变化，将使处于不稳定状态的系统进入另一种稳定态（取极值乙），那么可以想见，在这一刹那，状态发生了突变。托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的跃迁，给出系统处于稳定态的参数区域，以及系统处于不稳定状态时的参数区域。参数变化时，系统状态也随着变化；当参数通过某些特定位置时，状态就会出现突变。

不妨看一个例子。用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲（图1），然后用力压钢丝使其变形，倘若继续加大外力，当达到一定程度时，钢丝就会突然向下弯曲。这是生活中常见的一种突变现象。它有两种稳定状态：上弯和下弯。状态由两个参数所决定，一是手指夹持的力（水平方向），二是对钢丝的压力（垂直方向）。试想，只有水平的挤压力且钢丝向上弯时，它的内能处于极小值，是稳定状态。当垂直方向外力加大到一定程度，钢丝的内能变得相当大，很不稳定。这时再稍加外力，钢丝的内能就突然大量减少，急剧变为下弯，又处于新的稳定态，这时钢丝内能又处于极小值。注意，不是最小值。当水平和垂直方向的力都为零时，钢丝蓄积的内能才最小。这样，我们可以用数学方法来描述它。这是一个动力学系统，它的状态受两个因子（水平挤压力a和垂直荷载b）所制约，其内能函数是V，它和位移x（衡量上弯下弯程度）有关。所以我们的任务就是研究函数V a，b （x）（其中a，b是参数）的极小值变化状况。突变理论正是从此入手的。也就是说，如果一个过程，或一个系统，其状态能够用一个依赖于n个参数，m个变量的函数 来刻画，那么突变理论就有用武之地了。

二　尖顶突变——最有用的一种突变模型

在描述各种不连续现象的数学模型中，应用最广泛、最直观的一种，叫作尖顶突变。英国的齐曼教授用它来解释狗的行为，颇为有趣。

谁都知道，一条发怒的狗将会咬人，一条受惊的狗将会逃跑。那么一条既惊又怒的狗会怎样行动？这时，发怒和惊怕并不会彼此抵消而使狗变得温顺起来，恰恰相反，这条狗的行为将十分激烈，而且处于不稳定状态：可能恶狠狠咬人，也可能飞快逃跑，两种极端行为出现的概率都很高。在这种场合，突变行为也经常可以看到。比如一条既惊又怒的狗似乎要咬人，但只要再稍加恐吓就会掉头逃跑，而一条似乎要逃跑的恶狗却冷不防回头咬你一口。这种行为上的突变，可以用尖顶突变模型加以描述。

在图2中，x轴表示狗的行为，a表示恐惧程度，b表示发怒程度。据报道，恐惧程度可用狗耳朵向后拉平的程度加以衡量，而狗张嘴露齿的程度可以标志发怒的状况。狗的行为标在x轴上，按逃跑、退缩、回避、平和、吼叫、咆哮、进攻等次序由下到上地排列。当然，这些行为用数量来描述有很多困难，但是作一大概的刻画，给出定性的判断，还是可能做到的。

图2表示的是行为曲面x=ϕ（a，b）。底平面称为控制平面，表示两个相互矛盾的因子（发怒b和恐惧a）的数值，标志狗的情绪状态。每一对（a，b），对应一个行为值x。值得注意的是：在a和b的数值都很高的一个区域之上，曲面出现了折迭。这是这个模型最有趣的部分。在控制平面上标出了一个分支集，当（a，b）处于该集内的时侯，曲面有三层，即一对（a，b）对应三个x的值，这时的行为不唯一确定，行为状态不稳定。或者说，行为状态出现了分支。确定折迭边缘的线叫作折迭曲线，它在控制面上的投影正是分支集的边缘，称为分支曲线。

现在我们借这个模型来解释狗的行为突变。先看A′→A路线。当因子处于A′时，发怒程度高，恐惧因子较低，狗的行为性态以攻击为主，是稳定的。当因子改变，到达a′后，因子将进入分支集。与A′相比，狗的恐惧程度a有所增加，发怒程度b有所减低，但两者都相当高，这时狗又惊又怒，其行为处于可能攻击也可能逃跑的双重状态，即不稳定态。当因子改变到达a点时，曲面折迭部分到达边缘。这时如果再稍微增加一点恐吓，行为状态将离开折迭曲面的顶叶，突然跌到底下一叶，突变因而发生。当因子到达A时，狗处于退缩状态——另一个稳定态。同样，因子（a，b）沿B′→B路线走，那么 处于受惊逃跑状态，然后到达β′处开始进入分支集，在分支集内，狗又处于不稳定状态。因子变化达到β点时，x β 从底叶突然跳至顶叶，然后在x B 又处于进攻的稳定态。

用一个有折迭的曲面描述狗的行为，一时也许说不上有什么实用价值，但是从过去无法描述到有了一个模型，不能不说是一个重大的进步。

以上所说的钢丝弯曲和狗的行为都可以用三维空间的带有折迭的曲面来描述突变现象，通常称为尖顶突变。它有几个鲜明的特征。（1）双峰性，即有两种稳定态。如上弯和下弯、逃跑和进攻。（2）双因子性，即控制系统的因子有两种，且互相矛盾。如水平力和垂直力，发怒和恐惧。（3）发散性，即在某些状态下，只要因子稍微改变即发生行为的突然变化。当（a，b）从分支集内达到分支曲线时就是这样。（4）滞后性，即突变不是发生在进入不稳定态的开始，而是经过一段时间，到达不稳定态另一个边缘时才出现跳跃。这段间隔就是滞后。这种现象，只要我们细心体察，是不难发现的。让我们看一个生态学上的例子。设有鼠、土蜂、三叶草、蛇组成的系统。如鼠多，破坏土蜂窝使土蜂减少，因而三叶草少，蛇也少。这是稳定态。如果人类灭鼠，鼠少，结果蜂多、草多、蛇多。这又是一种稳定态。这时若停止灭鼠，鼠的数量仍会减少（因蛇吃鼠），不会立即向鼠增多方向发展，这就是一种滞后现象。一般来说稳定性越大，滞后越强。

具有上述特征的现象是很多的。

辽宁省有一位中医，把健康和病残看作双峰状态，发病看作不稳定态（可能痊愈也可能恶化）。把人体内的“正气”和“邪气”看作两个互相矛盾的控制因子。于是可以完全类似上述的进攻模型画出一个病人的状态曲面。这位中医认为在医学上“突变”是不好的。由发病突然变为病残固然不好，就是病体因正气上升突然好转也往往形成“虚脱”，后果不好。所以中医反对用猛药“驱邪拔正”，而要用缓药“扶正祛邪”，避免发生突变。反映在图形上，就是治疗路线不能通过分支集，而要退出并绕过分支集，那样做，病人状态就不会由一叶跳到另一叶，而是渐渐地恢复健康。这个例子，虽然很难定量化，但是用几何曲面描述中医理论，即便是定性的，也是一个可喜的尝试。

三　高维空间的曲面理论——突变理论的数学基础

托姆是一位出色的拓扑学家，对高维曲面的拓扑性质有精到的见解。上面提到的尖顶突变中涉及曲面的折迭性质，就是托姆所研究的对象之一。

前面说过，微积分是连续过程的数学模型，突变理论是不连续过程的数学模型。但是，突变理论的数学基础仍然要使用微积分思想，只不过用法与众不同罢了。

从数学的角度考察一个系统的稳定态，就是求某函数的极值。而由微分学可知，求极值先要求临界点，即要求函数在该点的导数是零。设函数可表为F ab （x），a，b是参数。那么临界点必须满足方程 。给定（a，b），得一个或几个临界点x，所以临界点x是参数a、b的单值或多值函数：x=ϕ（a，b）。它是三维空间（a，b，x）中的一个曲面。大家知道，临界点不一定是极值点。所以临界曲面上的点可能使系统稳定，也可能使系统不稳定。托姆正是从考察临界曲面x=ϕ（a，b）入手，建立起整个突变理论。

让我们回到钢丝弯曲的例子。用力学的原理可以证明，受水平挤压力和加垂直荷载的弹性梁，其内能函数是位移x的四次多项式： 。其中a、b是由水平力和垂直力决定的两个系数（经过适当选择常数，三次项可以消去）。于是首先求V ab （x）的临界点，即解方程 。这是一个三次方程，当（a，b）给定后，它有三个根。又可分为两种情形：（1）一个实根和两个复根，（2）三个实根。前一种情形，V ab （x）有一个极小值，是稳定状态。后一种情形，则有两个极小值一个极大值。这时，V ab （x）取极大值的那个根没有意义，可以舍去，而两个极小值，说明能量V ab （x）有两种极小状态，究竟取哪一种不能确定，因而表示不稳定态。这种有三个根的参数（a，b）就处在分支集内，三个x值正好表示曲面x=ϕ（a，b）出现了折迭。数学计算表明，三次方程的解由判别式决定。x 3 +ax+b=0的判别式是D=4a 3 +27b 2 ，D=0就是分支曲线，D＜0表示分支集I，使D＞0的（a，b），V ab （x）只有唯一极小值，x处于稳定态（见图3）。

托姆用严格的数学方法证明，凡是由两个参数，一个变量的状态函数所构成的模型，在某种意义上等价于一个四次多项式，只要适当选取参数，就能使状态函数有标准形式 ，其行为曲面和分支集都和图2、图3所表示的等同，这样我们只要把这种特殊类型的多项式研究清楚，一切两参数一变量的状态函数所描述的突变过程就可以掌握了。

那么，若因子个数有m个，变量个数有n个，有没有标准形式？这时的问题当然要复杂得多。因为变量不止一个，求多元函数的极值要用偏导数，不能只解一个方程 ，而要解一个方程组： 。临界点构成的曲面是n+m维空间中的高维曲面，它的分支集、分支曲线都是高维的，图形画不出，光凭直观简直无法想象。然而这一困难的工作被托姆解决了，找出了它们的标准形式，这就是著名的托姆分类定理。

托姆证明，只要控制因子（参量）的个数不超过5，那么按某种意义的等价性分类，总共有11种突变类型。当因子个数不大于4时（m≤4），只有七种基本类型（见表1）。

这七种类型中，最简单的是折迭型。它的突变曲面（即临界曲面）退化为x 3 =a。尖顶型突变用途最广，它的突变曲面的几何直观性强，比较容易构造。燕尾型涉及三个参量，其突变曲面为x 4 =a+bx+cx 2 ，是（a，b，c，x）四维空间中曲面，无法画出。但其分支集是三维的，因其形状像燕尾，故而得名。至于蝴蝶型突变，那里有4个参量，这时连分支集也是四维的，我们只能画出它的三维截口和二维截口。这些多参量的突变模型已在光的色散、弹性梁弯曲（考虑高阶矩）等问题中得到应用。蝴蝶型突变的应用较为广泛。它能处理有三种稳定态的问题。例如考虑物体的固、液、气三相的变化就是典型的例子。这种类型的标准势函数为 。临界曲面为x 5 -a-bx-cx 2 -dx3=0，对给定的参数（a，b，c，d）能有方程的5个根。可能出现1个实根、3个实根和5个实根的情形。当任意固定（a，b），即得一截口，它将cd平面上分为几个区域，有二相共存区和三相共存区，可用来更细致地分析过热、过饱和等相变现象。蝴蝶型突变在化学上应用的例子是氢氧化物的水溶液，它也有三种稳定态：a）电离出H + ，呈酸性；b）电离出OH - ，呈碱性；c）不电离。燕尾型也能描述三种状态的突变。对这种势函数最高次为奇数的模型，还可以刻画不可逆的突变。

至于两个变量的情形，情况要复杂得多。由于不能用一个曲面来描述分支集，较少直观，但亦可以画出某些截口。抛物脐型更为少见。

有了托姆分类定理，我们就能对不超过四个因子的动力学系统进行定性和定量的分析。假如我们面对一种突变现象，就要分析它从一种状态到另一种状态的突变能否用某个函数的极小或极大来描写，然后剖析这一函数受几个因子的控制，如果因子数不超过4，则可根据函数变量的个数找出它的标准型，于是对这种突变的性质就可以有大体的了解。至于要进行定量的分析，那还得仔细研究分支集。特别是通过物理、化学、生物或其他科学的知识仔细选择控制因子的参数表示，构造出正确的合理的动力学函数再加定量计算（光靠数学是不行的），就能获得一些定量的结果。

四　突变理论的现状和前景

突变理论问世十年，已为自己在各个科学领域找到了稳固的立足点。

在它的数学基础方面，除托姆以外，苏联的阿诺尔德（Arnold）有许多重要工作。这方面的专著已有不少，主要是关于可微映照的奇点理论的研究。目前和将来的一段时间内，以下问题将是重要的，突变理论中的“等价量”，微分和拓扑的等价性，无限维状态空间的运用，以及初等突变中的大量不变量问题。动力学系统和分支集的一般理论越来越受到注意。显然，求临界点的问题和求高次方程的根完全是类同的，突变理论的分析将会有助于计算数学的研究。

在物理、化学工程学等“硬”科学上的应用目前发展很迅速。这是因为在这些部门中的突变模型比较容易获得定量的结果。一个不完全的应用清单是：船舶的稳定性、流体几何学、光和色散理论、弹性结构、热力学和相变理论、激光物理、激波形成等问题。许多结论和实验数据相当吻合。另外，据最近报道，在非线性控制理论中，已经使用托姆突变理论的分析，目的是避免控制“突然”失灵。非线性系统的反应扩散方程求解问题，不可逆系统的分支点理论，耗散结构的热力学理论，都在使用突变理论的拓扑学方法加以讨论。当然，这些在非线性问题上的应用，目前离实际实现还有很大距离。

突变理论在生物学上的应用，有不少争论，也有不少进展。托姆本人最初是从研究胚胎学的许多数据开始的。一个卵细胞和精子在结合以后，尽管可以分裂得越来越多，但又是怎样产生出各种各样的细胞来呢？就是说，细胞是如何发生变异的呢？从胚胎发生过程的数据中可以发现结构的稳定和不稳定状态。托姆的工作是开创性的，后来也有许多人进行工作，但定量的结果仍然不多。有人批评其中的一些实验报告是牵强附会的，没有价值。突变理论在生态学中的应用较为成功，从蜂群的经济模型中发展了一种具有边界区域上“约束”的突变理论，取得了不少定量的结果。生物学上的其他应用还包括：研究心脏动力学系统和神经脉冲的关系，发展生物学中的初级和次级波，脑模型等等。医学和心理学方面也有报告。

突变理论在社会科学方面的应用还极不成熟。它涉及如何定量化，如何将社会现象的突变归结为某种量的突变等这样一些根本问题。社会现象的模型目前已提出很多，有些似乎方法不对，意义不大，如防止战争突然爆发和防范囚犯突然暴动等模型显然不足取。许多社会因素是不能用数学来模拟的。有一些工作是关于经济模型的，如预测股票市场是否会崩溃，从心理上提高儿童学习兴趣等问题可能有些道理，但也顶多具有定性的意义。托姆本人研究了在语言学中使用突变理论的问题。

一般来说，人们对托姆在突变理论中所作的数学研究，给予高度评价，认为是了不起的成就，但对突变理论的应用则有不同看法。在70年代中期，有过一阵“突变热”，到处找模型套，似乎突变理论可以包医百病，丝毫不懂数学的人也可以用，而且誉之为“自微积分发明以来最伟大的一次智力革命”，结果是不少文章穿凿附会，信口开河，败坏了突变理论的声誉。近几年来，一些突变理论学家认为，应用工作的重点应放在物理学、工程学等易于定量的学科上面（目前似乎已经这样做了）。当然也不能排斥给各类问题提供突变模型，有时作些定性的分析也是颇有意义的。

突变理论出现至今不过十年光景，进展还是相当快的，目前已有论文400多篇（据不完全统计）。它的作用尚未充分发挥，潜力很大。突变理论是否能有更大的作为，要看今后的十年。

参考文献

[1]Thom R.， Stabilité structurelle et Morphogénese ，Benjamin （1972）.

[2]Zeeman E.C.， Catastrophe Theory: Selected paper （1972—1977），Addison-Wesley Reading Mass. （1977）.

[3]Poston T.， Stewart I.，Catastrophe Theory and its Applications ，Pitman （1978）.

[4]Gibson C. G.， Singular Points of Smooth Mappings ，Pitman （1979）. LHblelK0Mvhnt+ia7pQYvcH6i6dH0u7btwB6kgKxpikSbF131XbE0bjkn4HtUItn