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当欧几里得以其公理化的体系为古典几何学竖立起一座不朽丰碑之时，另一位希腊数学的巨人——阿基米德，则将这门学问推向了一个新的、充满了奇思妙想与实践力量的高峰。如果说欧几里得是一位严谨的逻辑建筑师，那么阿基米德就是一位富有创造力的工程师和物理学家，他将数学的触角伸向了更为广阔的物理世界。阿基米德的智慧，闪耀在他解决的每一个问题之中。他为了检验国王的皇冠是否由纯金制成，在浴盆中悟出了浮力定律，并兴奋地喊出那句流传千古的“尤里卡”（我发现了）。他宣称：“给我一个支点，我就能撬动整个地球。”这句豪言壮语的背后，是他对杠杆原理深刻的数学理解。
在纯粹数学领域，阿基米德的贡献同样卓绝，并且带有明显的近代数学气息。他对于无穷小量的处理方式，已经展现出微积分思想的萌芽。为了计算圆的面积和周长，他独创了“穷竭法”。他从圆的内接正多边形和外切正多边形开始，不断地增加多边形的边数，使其面积无限地逼近圆的面积。通过计算到正九十六边形，他得出了圆周率介于七分之一的三又十与七十一分之三又十之间的结论，其精度在之后的一千多年里都无人超越。这种“无限逼近”的思想，是处理曲线、曲面问题的强大武器。他还用类似的方法，计算出了抛物线弓形的面积、球的体积和表面积，并证明了球的体积是其外切圆柱体积的三分之二。他对这个发现感到如此自豪，以至于要求后人将这个几何图形刻在他的墓碑上。阿基米德的工作，完美地融合了希腊数学的严谨性与解决实际问题的创造性，他既是一位深刻的思想家，也是一位伟大的实践者。
与希腊数学的思辨与深刻形成鲜明对比的是罗马人的数学。罗马人是务实的征服者和工程师，他们对于那些不能直接服务于军事、建筑、商业和法律的抽象理论兴趣不大。因此，在罗马帝国漫长的统治时期里，纯粹数学的研究陷入了停滞。他们更关心的是如何修建宏伟的道路、桥梁和输水道，如何制定统一的历法，如何进行大规模的土地测量。罗马数字系统本身就非常不利于进行复杂的计算，它更适合用于记录和表示，而非运算。这使得罗马的数学成就主要体现在应用层面。工程师们凭借经验和简单的几何知识，建造了令人叹为观止的罗马斗兽场和万神殿。会计和商人使用算盘来处理日常的账目。罗马法中也包含了关于测量和分配的规定。
可以说，罗马人是希腊数学遗产的“使用者”而非“发展者”。他们保留了那些具有实用价值的知识，但丢失了希腊人那种追求内在逻辑和普遍真理的哲学精神。然而，从另一个角度看，罗马帝国所建立的广阔疆域和相对统一的文化环境，也在客观上为数学知识的保存和传播提供了一定的条件。希腊的经典著作，包括欧几里得和阿基米德的作品，得以通过抄本的形式流传下来。当西罗马帝国最终在蛮族的入侵下分崩离析，欧洲陷入了长达数百年的“黑暗时代”，这些珍贵的知识火种，一部分被东罗马的拜占庭帝国所继承，另一部分则将在之后被阿拉伯世界的学者们重新发现、翻译和发扬光大。因此，尽管罗马本身没有诞生伟大的数学家，但它作为希腊文明与后来世界之间的一座桥梁，其历史作用同样不容忽视。从阿基米德这位最后的巨人，到罗马工匠们的实用技艺，数学在这一时期展现了它理论与应用并存的两种面貌。