2.5
案例分析

对知识本质的探究，不能仅仅停留在理论层面，不同的知识观在教学实践中也表现出较大的差异，本节整理了两个典型案例进行点评说明。

2.5.1 案例一：中英两国小学数学计算的教法差异

2014年，陆晓林作为江苏省首批赴英国研修学习的小学数学教师之一，得以零距离观察英国中小学数学课堂，通过观摩对于同一个数学科目知识点英国教师是如何教学的，她发表了《英国：直抵知识本质的数学课堂》一文，该文通过对比中英两国的课堂教学，揭示了知识观层面的差异。

1.“20以内退位减”随堂课：计算“13-8”

英国课堂教学：“用加算减”法。教师用学具摆出13和8，一一对应（见图2-1）；之后让孩子们讨论并操作，先在8后加上2使之成为10 （见图2-2），然后再对应上面的13继续摆出3，用2加3得5，算出13-8的结果（见图2-3）。接着孩子们继续借助学具，用一一对应的方法练习了几道题，最后交流了自己计算的心得：先想减数加几凑成10，再用几加上被减数的个位数。基于对应的思想，这种方法强调的是“数学概念之间的关系” 。

国内课堂教学：最常采纳的是“想加算减”法。“想加算减”主要是通过熟练记忆数的大小关系，数的分成来筛选和提取计算结果，快捷有效，这种方法强调的是“数学知识的发生”。

英国课堂的“用加算减”法是用一一对应的方法，使两个数（量）的“差”显现在不对应之处，在实现完全一一对应的过程中，也就是由不相等到相等的变化过程中得出了“差”，“用加算减”看似不够快捷但是突出了“减数＋差＝被减数”即“左边＝右边”这样的相等关系，强化了“＝ ”的本质：符号两边的数（量）相等，这对学生将来理解方程的意义是极其重要的。

国内的“想加算减”看似快捷有效，但基于定义自然数的方法解释运算是抽象的，“想加算减”没能说清楚“相等”的意义到底是什么。所以当学生开始学习方程时，他们由“算术思维”转换为“代数思维”会经历一个艰难的过程。

2.对除法计算方法的教学，计算“87 ÷ 3”

英国课堂教学：英国没有“九九乘法口诀表”这样的知识与技能背景，因此除法计算直接回归本原——连减法（见图2-5）。教师仍借助学具先从87中减10个3，再减10个3，最后减9个3，一共可以连减29个3。具体计算时，每一次减几个除数可以不同，计算步骤可多可少，只要减到余数为0便可（不能整除的减到余数小于除数为止）。

国内课堂教学：用逆运算的关系借助乘法口诀求商。

英国教学方法从自然数中“包含”的意义看，除法是“连续减去相同数的减法”，凸显了除法与减法的“血肉”联系。这样计算的过程不受“余数要比除数小”的限制，计算除数是多位数的除法时，不需要反复“试商”与“调商”。繁复的竖式，却直白地说明了两种运算之间的本质联系，巧妙规避了我们在教学中会遇到的难题。

国内的除法教学依靠逆运算和乘法口诀。除法竖式简洁明了，同样也能解读出“除法即连减”这样的关系，但学生甚至教师几乎不会在竖式计算的过程中感悟到除法与相同减数减法的内在一致性。作者经观摩、研究、对比，最后得出结论：对于学科知识的教学，要多让学生通过情境化、自操作、自规则来培养创造力，最终使之理解某一学科中知识或概念之间的内在联系。

2.5.2 案例二：三角函数的诱导公式

2017年王克亮以三角函数的诱导公式的课堂教学为例，提出课堂问题的设计与解决应凸显知识本质。

具体过程是：以三角函数诱导公式的课堂教学为案例，首先通过圆既是中心对称图形又是轴对称图形，而且圆有无数条对称轴这一情境切入三角函数的知识本质，然后尝试围绕知识本质设计课堂问题，层层递进，逐步将学生的思维引向深入。在问题解决的过程中教师通过不断追问，使学生充分展开思维过程，并尽可能用醒目的形式将知识的本质展示出来 ，如图2-6所示。