2.4.3 多项式拟合

1.多项式拟合

多项式拟合的方法有两种：

（1）方法一：由矩阵除法解超定方程组得到多项式拟合系数；

（2）方法二：直接调用内置函数polyfit，得到降幂形式的多项式拟合系数。

2.多项式拟合的具体形式

（1）方法一：已知需进行多项式拟合的 n 组数（ x _i ， y _i ）， i =1，2，…， n ，由矩阵除法求解超定方程组得到 m （ m ＜ n ）阶多项式的拟合系数 A =[ a ₀ ， a ₁ ，…， a _m ]：

（2）方法二：已知需进行多项式拟合的 n 组数（ x _i ， y _i ）， i =1，2，…， n ，调用内置函数polyfit进行 m （ m ＜ n ）阶多项式拟合，得到拟合系数向量 p ，具体形式为： p =polyfit（ x ， y ， m ），或[ p ， s ]=polyfit（ x ， y ， m ），或[ p ， s ， mu ]=polyfit（ x ， y ， m ）。

例 2.17 多项式拟合：用五阶多项式对[0， /2]上的正弦函数进行最小二乘拟合，分别采用矩阵除法解超定方程组、调用函数polyfit实现，并给出拟合结果图示。

基于区间[0， /2]上的正弦函数 y =sin（ x ），取从 0 到 /2、间隔 /20 的 11 个等间距离散点 x _i 及其函数值 y _i 为已知数据（ x _i ， y _i ）， i =1，2，…，11，见表 2-2。

采用矩阵除法解超定方程组、调用函数polyfit实现五阶多项式的正弦函数拟合，编制的Matlab程序见ex2_17.m。运行程序ex2_17.m，得到拟合结果图 2-4。

方法一：矩阵除法解超定方程组。

求得五阶多项式的六个系数 a ₀ ， a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ， a ₄ ， a ₅ 。

方法二：直接调用内置函数polyfit（ x ， y ，5），实现五阶多项式的拟合，求得多项式拟合的六个系数 a ₀ ， a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ， a ₄ ， a ₅ 。

编制的Matlab程序ex2_17.m如下。

在Matlab命令行窗口运行ex2_17.m程序，得到如下所示的多项式拟合结果。可以看出，两种方法得到的五阶多项式拟合系数 p 1 和 p 2 一致。在已知数据点区域[0， /2]范围内，拟合曲线与正弦函数曲线一致；但已知数据点超出该范围，拟合曲线则偏离了正弦函数曲线，拟合曲线失真。