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（1）特征值分解。
①矩阵 X 的特征值分解：[ V ， D ]=eig（ X ）、[ V ， D ]=eig（ X ，‘nobalance’），此时矩阵的特征值分解满足 X × V = V × D ， V 是特征向量以列排成的矩阵， D 是特征值位于对应的主对角线的特征值矩阵；
②矩阵 A 和 B 的广义特征值分解：[ V ， D ]=eig（ A ， B ），即矩阵分解满足 A × V = B × V × D ；
③复数特征值对角阵与实数特征值对角阵的转换，即当特征值矩阵出现复数时，可由函数调用[ V ， D ]=cdf2rdf（ V ， D ）将复数转成实数；也可由[ U ， T ]=rsf2csf（ U ， T ）将实数转成复数。
（2）其他的矩阵分解。
①奇异值分解：矩阵 X 的奇异值分解：[ U ， S ， V ]=svd（ X ），此时矩阵分解满足 X = U × S × V＇ ；
②LU分解：矩阵的LU分解是将一个矩阵 A 分解为左上三角和右上三角的两个同维矩阵 L 和 U ：[ L ， U ]=lu（ A ），即矩阵分解满足 A = L × U ；
③Chol分解：若 A 为 n 阶对称正定矩阵，调用函数 L =chol（ A ）可将 A 分解为一个非奇异下三角实矩阵 L 与它转置矩阵的乘积， L 的对角元素为正，即 A = L＇ × L ；
④QR分解：实矩阵 A 可分解为正交阵 q 和上三角阵 r 的乘积，若 r 的对角线元素为正值，则分解唯一，即[ q ， r ]= qr （ A ），有 A = q × r 。
例 2.13 矩阵分解。
（1）矩阵分解——矩阵特征值分解。
在Matlab命令行窗口运行ex2_13.m中的这些语句，得到如下结果，由ans矩阵的各元素均显示为逻辑 1 可知， a × v 与 v × d 相等。
（2）矩阵分解——矩阵特征值分解。
在Matlab命令行窗口运行ex2_13.m中的这些语句，得到如下结果。由 3 ×3 逻辑矩阵ans的各元素均显示为 1 可知，在双矩阵的广义特征值分解中， a × v 与 b × v × d 相等；在复数特征值矩阵与实数特征值矩阵的转换运算中，在Matlab计算误差范围内， c × v - v × d 各元素均为 0，即 c × v 与 v × d 相等，同样地 c × vs 与 vs × ds 相等， c × vr 与 vr × dr 相等。
（3）矩阵分解——其他的矩阵分解。
在Matlab命令行窗口运行ex2_13.m中的这些语句，得到如下结果。
运算中常常需要对矩阵进行特殊操作，如矩阵的变维和变向、矩阵的抽取、矩阵的扩维和缩维等。
（1）矩阵的变维。
①矩阵 X 的变维可通过调用内置函数reshape（ X ， m ， n ， p ，…）实现，变维后的矩阵与原矩阵具有相同个数的元素；
②矩阵的变维也可采用“：”，通过维数一致的两矩阵之间的运算实现。
（2）矩阵的变向：其操作包括矩阵的旋转、左右翻转和上下翻转。
①矩阵 A 旋转内置函数为rot90（ A ）或rot90（ A ， k ），其中 k 为顺时针或逆时针的标记。 k =0时矩阵 A 不旋转， k =1 （函数默认值）时矩阵 A 逆时针旋转 90 度， k =-1 时矩阵 A 顺时针旋转 90 度；
②矩阵 A 左右翻转内置函数为fliplr（ A ）；
③矩阵 A 上下翻转内置函数为flipud（ A ）；
④矩阵 A 第dim维翻转内置函数为flipdim（ A ，dim）。
（3）矩阵的抽取。
①对角元素抽取内置函数：diag（ A ， k ），diag（ A ），diag（diag（ A ））， k 为对角线的标记， k 为正整数表示上对角线， k 为负整数则表示下对角线；
②左下三角矩阵抽取函数：tril（ A ），tril（ A ， k ），右上三角矩阵抽取函数：triu（ A ），triu（ A ， k ）， k 的取值同上。
（4）矩阵的扩维和缩维。
①对矩阵标识块赋值 X （ m 1： m 2， n 1： n 2）= A ，可用于扩维或缩维，缩维时 A 为空阵；
②利用小矩阵组合生成匹配的大矩阵，可用于矩阵扩维。
例 2.14 矩阵的特殊操作。
（1）矩阵的特殊操作——矩阵的变维、变向。
在Matlab命令行窗口运行ex2_14.m中的这些语句，有如下结果。可以看出，矩阵的变维中，矩阵 a 、 b 、 c 具有相同个数的矩阵元素；矩阵的变向中，rot90（ c ）为 c 矩阵逆时针旋转90 度，不需要输入 k =1；当输入 k =-1 时，矩阵 c 顺时针旋转 90 度。
（2）矩阵的特殊操作——矩阵的抽取。
在Matlab命令行窗口运行ex2_14.m中的这些语句，得到如下结果。
（3）矩阵的特殊操作——矩阵的扩维和缩维。
在Matlab命令行窗口运行ex2_14.m中的这些语句，得到如下结果。
