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矩阵基本数学运算包括矩阵的四则运算、逆运算、行列式运算、幂和开方运算、指数和对数运算等。
（1）四则运算：矩阵的四则运算与数字变量的四则运算相同，但需满足一定的条件。
①矩阵的加法“+”和减法“-”要求相加减的矩阵同维；
②矩阵的乘法“*”要求相乘的矩阵相邻维相同；
③矩阵除法有两种形式：
A.右除“/”是先计算矩阵的逆再进行矩阵的乘法；
B.左除“\”是直接除法，通常比右除快，且可避免被除矩阵奇异性带来的问题。
④矩阵与常数的运算包括数加减、数乘、数除（常数通常只能为除数）。
（2）逆运算：是矩阵运算中的重要运算，它在线性代数和计算方法中均有应用。
①定义：如果方阵 B 满足 BA = AB = E ，则 B 称为 A 的逆矩阵；
②在Matlab中，矩阵逆运算由内置函数inv实现。
（3）行列式运算：行列式源于线性方程组的解和排列组合。
①定义：由 n × n 个元素排成 n 行 n 列，在其两边各画一条竖线，并把它定义为：
这样的数学表达式称为 n 阶行列式，它是一个含有 n ！项的代数和；
②在Matlab中，矩阵行列式运算由内置函数det实现。
（4）幂和开方运算。
①矩阵幂运算的形式与数字变量的幂运算形式相同，用运算符“^”实现；
②矩阵开方运算由内置函数sqrtm实现。
（5）指数和对数运算。
①矩阵指数运算由内置函数expm实现；
②矩阵对数运算与指数运算互为逆运算，由内置函数logm实现。
例 2.8 矩阵基本数学运算。
（1）矩阵基本数学运算——四则运算。
在Matlab命令行窗口运行ex2_8.m中的这些语句，得到如下结果，其中：矩阵 d 、 e 、 f 与矩阵 a 、 b 同维，矩阵 g 与矩阵 c 同维。
（2）矩阵基本数学运算——逆运算、行列式运算。
在Matlab命令行窗口运行ex2_8.m中的这些语句，得到如下结果。可以看出：矩阵 a 与它的逆 b 的乘积是单位矩阵，矩阵 a 的行列式 a 1 与矩阵 a 的逆的行列式 a 2 乘积为 1。这些判断通过逻辑数组的元素值为真（值为 1）得到。
（3）矩阵基本数学运算——幂和开方运算、指数和对数运算。
在Matlab命令行窗口运行ex2_8.m中的这些语句，得到如下结果。从round（ b 2^2）== b 1可以看出：矩阵的幂运算与开方运算互为逆运算；从round（ d ）== b 可以看出：矩阵的指数运算与对数运算互为逆运算。另外， c 是矩阵 b 元素的指数运算结果，而 c 1、 c 2 是矩阵 b 的不同方法的指数运算结果，它们的运算结果不同。
例 2.9 采用矩阵除法求解恰定线性方程组，并比较右除与左除得到的结果和误差，程序ex2_9.m如下，其中线性方程组由 100 个方程构成，系数矩阵为 100 行 100 列 0 到 1 均匀分布的随机数+1.0 ×10 10 ，常数项由 100 列的全 1 向量与系数矩阵的乘积得到。
在Matlab命令行窗口运行ex2_9.m，得到如下结果。可以看出：左除耗时 t 2 较少，右除和左除得到的线性方程组解的绝对误差 err 、相对误差 rerr 在同一量级。
例 2.10 矩阵除法用于数据拟合，也相当于超定线性方程组的求解。已知表 2-1 所列的一组数，采用 y = ax 2 + b 对该组数据（ x ， y ）进行拟合，并绘出拟合曲线。
表 2-1 矩阵除法求解超定线性方程组的数据
该例题表 2-1 中的 x 和 y 满足 y = ax 2 + b ，由此可列出 5 个方程构成的线性方程组，其求解采用矩阵除法，得到用于数据拟合的参数 a 和 b ，程序ex2_10.m如下。
在Matlab命令行窗口运行ex2_10.m程序，得到如下数值结果和结果图 2-3。可以看出：得到的拟合参数 a =0.0462、 b =3.1929，图 2-3 给出了已知数据点和拟合曲线。
图 2-3 例 2.10 矩阵除法用于数据拟合的结果图
例 2.11 矩阵除法可用于求解如下的欠定线性方程组。
用矩阵除法求解欠定线性方程组与求解恰定线性方程组的方法一样，该程序ex2_11.m如下。
在Matlab命令行窗口运行程序ex2_11.m，得到如下结果。可以看出，该欠定线性方程组的解有 3 个不确定量，以 0 值给出。
本节介绍的矩阵基本函数运算包括：特征值和奇异值函数、条件数函数、伪逆函数、范数函数、矩阵的秩与迹函数、矩阵的空间函数以及矩阵的通用函数形式。
（1）特征值和奇异值函数。
①矩阵特征值和特征向量：设 T 是矢量空间V的线性变换，由矩阵 A 表示，如果对于数 λ 0 和非零矢量 x 有 Ax= λ 0 x ，则 λ 0 称为线性变换 T 的一个特征值（或特征根，或本征值），而 x 称为变换 T 属于该特征根的一个特征向量；
②矩阵的特征值 λ 0 和特征向量 x 由eig或eigs内置函数调用得到；
③矩阵的奇异值函数有两种形式：svd和svds。
（2）条件数函数。
①条件数在数值分析中有着重要的作用，线性方程组系数矩阵的条件数是判断其病态程度的量度。
②Matlab中有三个函数可实现条件数的计算：
A.cond：计算矩阵条件数的值；
B.condest：计算矩阵的 1 范数条件数的值；
C.rcond：计算矩阵条件数的倒数值。
（3）特征值条件数和伪逆函数。
①求矩阵 A 的特征值时，若遇到矩阵的条件数很大或很小的病态问题，Matlab中有专用于求解特征值条件数的内置函数condeig，其调用形式为condeig（ A ）或[ V ， D ， S ]=condeig（ A ）；
②在求解系数矩阵 A 为严重病态问题（ Ax = b ）时，可调用内置的伪逆函数pinv，有 x =pinv（ A ）* b ，由此避免伪解的产生。
（4）范数函数。
①范数是矩阵或向量的一种量度。矩阵的范数分为 1 范数、2 范数、无穷范数和 F 范数等，范数的计算由函数norm和normest实现；
② A 为矩阵时，有：
A.norm（ A ，1）返回max（sum（abs（ A ）））；
B.norm（ A ，2）返回max（svd（ A ））；
C.norm（ A ， inf ）返回max（sum（abs（ A ＇）））；
D.norm（ A ， fro ）返回sqrt（sum（diag（ A＇ * A ）））；
③ A 为向量时，有：
A.norm（ A ， p ）返回sum（abs（ A ）.^ p ）^（1 /p ），for 1≤ p ≤∞；
B.norm（ A ）返回norm（ A ，2）；
C.norm（ A ， inf ）返回max（abs（ A ））；
D.norm（ A ，- inf ）返回min（abs（ A ））。
（5）矩阵的秩与迹函数。
①矩阵的秩是矩阵的一切非零子行列式的最高阶数。在高等数学中，对矩阵进行一系列变换得到矩阵的秩，在Matlab中求矩阵秩的内置函数为rank；
②矩阵的迹是方矩阵主对角线上的元素和，Matlab中求矩阵迹的内置函数为trace。
（6）矩阵的空间函数。
①矩阵的零空间函数为null；
②矩阵的正交空间函数orth可用于求矩阵的一组正交基。
（7）矩阵的通用函数形式。
①Matlab中函数调用的通用格式为：funm（ A ，‘funname’），其中 A 为输入矩阵，funname为调用的函数名；
②内置的基本函数有：exp，log，log10，sin，asin，sqrt，fix，floor，ceil，round，mod，rem，sign，等等；
③内置的特殊函数有：besselj，bessely，besselh，beta，gamma，legendre，erf，等等。
例 2.12 矩阵基本函数运算。
（1）矩阵基本函数运算——特征值和奇异值函数。
在Matlab命令行窗口运行ex2_12.m中的这些语句，得到如下结果。
（2）矩阵基本函数运算——条件数。
在Matlab命令行窗口运行ex2_12.m中的这些语句，得到如下结果。
（3）矩阵基本函数运算——特征值条件数和伪逆函数。
在Matlab命令行窗口运行ex2_12.m中的这些语句，得到如下结果。可以看出：矩阵 A 的特征值条件数 Dc = S ， V 和 D 分别是矩阵 A 的特征向量和特征值矩阵。从伪逆函数的调用可以看出，线性方程组的系数矩阵 a 的条件数 d 很大时，采用矩阵除法求解会产生伪解，而伪逆函数求得的解为真解，如矩阵 xab 的第三列所示。
（4）矩阵基本函数运算——范数函数。
在Matlab命令行窗口运行ex2_12.m中的这些语句，得到如下结果。
（5）矩阵基本函数运算——矩阵的秩与迹函数。
在Matlab命令行窗口运行ex2_12.m中的这些语句，得到矩阵exm的秩和迹结果如下。
（6）矩阵基本函数运算——矩阵的空间函数。
在Matlab命令行窗口运行ex2_12.m中的这些语句，得到如下结果。
（7）矩阵基本函数运算——矩阵的通用函数。
在Matlab命令行窗口运行ex2_12.m中的这些语句，得到如下结果，afsin是 3 阶魔方阵 a 的正弦函数矩阵，afix是矩阵 a /10 各元素取整的矩阵，around是矩阵 a /10 各元素四舍五入的矩阵，abes0 和abes1 分别是矩阵 a 的 0 阶和 1 阶球谐贝塞尔函数值。
