2.2 关系代数

2.2.1 概述

关系代数（Relation Algebra）是关于数理逻辑和集合论的代数结构。它是一种抽象的查询语言，主要用于在一个或多个关系上生成一个新的关系，通过对“关系”的运算来“表达查询”，即运算对象是关系，运算结果也是关系。

运算对象、运算结果和运算符是关系代数运算的三大要素。而关系代数用到的运算符主要有两大类：传统的集合运算符和专门的关系运算符，另外还有两类运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的，即比较运算符和逻辑运算符，如表2-9所示：

2.2.2 传统的集合运算

把关系看成元组的集合，以元组作为集合中的元素进行运算，其运算是从关系的“水平”方向，即行的角度进行的。传统的集合运算包括了并、差、交和广义笛卡尔积等运算。但并不是任意的两个关系都能进行这种集合运算的，设给定两个关系R，除广义笛卡尔积外，要求参加运算的关系必须满足以下两个相容性条件：①具有相同的度，即关系 R 和关系 S 都为n元关系；②R中第i个属性和 S 中第i个属性必须来自同一个域，满足以上条件的关系，R、S才是相容的。

1.并（Union）

设关系 R 和关系 S 为n元关系，且各个属性取值的域相同。关系 R 与关系 S 的并由属于 R 或属于 S 的元组组成，即 R 和S的所有元组合并，删去重复元组，组成一个新关系，其结果仍为n元关系。记作：

对于关系数据库，记录的插入和添加可通过并运算实现。

2.差（Difference）

设关系 R 和关系 S 为n元关系，且各个属性取值的域相同。关系 R 与关系 S 的差由属于 R 而不属于 S 的所有元组组成，即 R 中删去与 S 中相同的元组，组成一个新关系，其结果仍为n元关系。记作：

通过差运算可删除关系数据库的记录。

3.交（Intersection）

设关系 R 和关系 S 为n元关系，且各个属性取值的域相同。关系 R 与关系 S 的交由既属于 R 又属于 S 的元组组成，即 R 与S中相同的元组，组成一个新关系，其结果仍为n元关系。记作：

如果两个关系没有相同的元组，那么它们的交为空。

4.广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

设n元关系 R 和m元关系S。关系 R 和S的广义笛卡尔积是一个由（m ＋ n）列的元组组成的集合。元组的前n列是关系 R 的一个元组，后m列是关系 S 的一个元组。若 R 有k ₁ 个元组，S有k ₂ 个元组，则关系 R 和关系 S 的广义笛卡尔积有k ₁ × k ₂ 个元组。记作：

关系的广义笛卡尔积可用于两关系的连接操作。

表2-10是以上4类传统集合运算的示例。

2.2.3 专门的关系运算

专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列，包括选择（水平分割）、投影（对关系进行垂直分割）、连接（关系的结合）、除（笛卡尔积的逆运算）等运算，这些运算是为数据库的应用而引进的特殊运算。

1.选择（Selection）

选择又称限制（Restriction），是指在关系 R 中选取满足具体条件的若干元组，记作：

其中t表示 R 的一个元组，F表示选择条件，是一个逻辑表达式，取逻辑值True或False。

可通过图2-1理解选择运算的含义。

逻辑表达式 F 的基本形式为 ，它有两种成分：

①运算对象：有常量（用引号括起来）和属性名（或列的序号）两种表示方式。

②运算符：有比较运算符（也称为 θ 符）和逻辑运算符两种形式。

这里 θ 表示比较运算符， φ 表示逻辑运算符。X ₁ 、Y ₁ 等是运算对象，即常量、属性名或简单函数，属性名也可以用它的序号来代替。［］表示任选项，即［］中的部分可以要也可以不要，省略号表示上述格式可以重复下去。

因此选择运算实际上是从关系 R 中选取使逻辑表达式 F 为真的元组。

【例2-9】 在表2-2的关系中查询页数小于500页的书籍信息。可以表示为：

σ _{Pages ＜ 500} （ Book＿Information ）

或

σ _{7 ＜ 500} （ Book＿Information ）（因为Pages属性在书籍信息表中序号为7）

其结果如表2-11所示。

【例2-10】 在表2-2的关系中查询页数小于500页，价格少于100元的书籍信息。可以表示为：

σ _{Pages ＜ 500 ∧ Price ＜ 100} （ Book＿Information ）

或

σ _{7 ＜ 500 ∧ 11 ＜ 100} （ Book＿Information ）

2.投影（Projection）

关系 R 上的投影是从 R 中选择出若干属性列组成新的关系，也就是对一个关系 R 进行垂直分割，消去某些列并重新安排列的顺序。当消去了某些属性列后，就可能出现重复行，因此如果新关系中元组相同，就需要去掉重复的组。通常把投影记作：

其中 A 为R中的属性列， 表示关系 R 中各个元组在属性列 A 上的元组的集合。

可通过图2-2来帮助理解投影运算的含义。

【例2-11】 在表2-2的关系中查询书籍编号、书名、作者和价格。可以表示为：

∏ _BookID ， _{BookNam e} ， _Author ， _Price （Book＿Information）

或

∏ ₁ ， ₃ ， ₄ ， ₁₁ （Book＿Information）

【例2-12】 在表2-2的关系中查询价格小于100 的书籍编号、书名、作者和价格。可以表示为：

_{σ Price ＜ 100} （∏ _BookID ， _BookName ， _Author ， _{Pric e} （ Book＿Information ））

或

∏ _BookID ， _BookName ， _Author ， _Price （ _{σ Price ＜ 100} （ Book＿Information ））

其结果如表2-12所示。

3.连接（Join）

连接又称 θ 连接，它是从两个关系的广义笛卡尔积中选取属性间满足给定 θ 条件的元组。

（1）一般连接。从 R 和S的笛卡尔积 R × S 中，选取关系 R 在A属性组上的值与关系 S 在B属性组上的值，满足比较关系 θ 的元组，其中A、B分别是 R 和S上度数相等且可比的属性组，具体步骤是要先求 R × S ，再从中按 θ 条件选取部分元组。

（2）等值连接。 θ 为“＝ ”的连接运算称为等值连接。它是从关系 R 和S的笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组。

（3）自然连接。自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的属性组必须相同，并且在结果中将重复的属性去掉。一般的连接操作是从行的角度进行运算的，但自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算的。自然连接的计算步骤一般是先计算 R × S ，然后选取满足自然连接条件的元组，最后去掉重复的属性列。

表2-13展示了以上三种连接操作。

以下是结合 【例2-1】 的网上书店关系模型展示连接查询的实例。

【例2-13】 查询2022001号订单购买的书名及其下单数量。可以表示为：

∏ _BookName ， _Quantity （ _{σ Book} ＿ _Information . _{BookID ＝ Order} ＿ _Information . _{BookID ∧ OrderID ＝ ＂ 2022001＂} （Book＿ Information × Order＿Information））

【例2-14】 查询书名、作者及出版社名称。可以表示为：

∏ _BookName ， _Author ， _PressName （σ _Book ＿ _Information . _{PressID ＝ Press} ＿ _Information . _PressID （ Book＿ Information × Press＿ Infor mation ））

4.除（Division）

给定关系R （M，N）和S （N），其中M，N为属性组。R中的 N 和S中的 N 属性名可以不同，但必须出自相同的域，即 S 的属性集合是 R 的属性集合的子集。

R除以S （记作R /S或R ÷ S）的值是一个在属性组 M 上的关系，属性组 M 对应的元组在属性组 N 上的值都对应 S 中的所有元组，即 S 中的属性组 N 对应的元组出现在R （M，N）元组中。如图2-3所示。

【例2-15】 根据例2-1的网上书店关系模型，查询购买暨南大学出版社出版的书籍的订单号。如图2-4所示。

①暨南大学出版社出版的书籍编号可以表示为关系S。

②购买暨南大学出版社出版的书籍的订单用关系代数表示为：Order＿Information ÷ S

③求购买暨南大学出版社出版的书籍的订单号，将②计算出来的结果投影到属性OrderID上，用关系代数表示为：∏ _OrderID （Order＿Information ÷ S）