第三章
“拓扑地震”

抱团：“四大天王”

1945年嘉当在巴黎举行了一个研讨班，主题集中在多复变分析、层论和谱序列。这个研讨班对让-皮埃尔·塞尔、阿曼德·保莱尔（Armand Borel，1923—2003），亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928—2014）和约翰·弗兰克·亚当斯（John Frank Adams，1930—1989）等青年数学才俊产生了深远的影响，他们后来成为法国数学界年轻一代的领军人物。

1948年年末起，讨论班的主题集中在代数拓扑。1949年秋，吴文俊师从嘉当，积极参加嘉当的讨论班。嘉当接受了塞尔的建议，把在讨论班报告的论文结集出版（ Séminare Henri Cartan ），从1948年到1964年，共出版了16卷。 ^[1] 吴文俊的报告刊登在第2卷，主题是“纤维空间的示性类：格拉斯曼上同调”，共分2次。这是吴文俊参加“嘉当讨论班”的真实记录。

从第2卷的目录可以看出，嘉当当然是讨论班的“主角”，18篇论文中，嘉当有9篇，塞尔4篇，保莱尔和吴文俊各2篇，还有1篇的作者为布兰查德（Blanchard）。

吴文俊很快融入了这个新的团体，他们在讨论班上相互切磋，平时相互交流。吴文俊后来回忆道：

托姆、塞尔和我都是嘉当的学生，我们三个关系甚好。托姆和我是不用说了，塞尔是嘉当正式的学生，我到巴黎后，跟嘉当，自然就和他认识了，不过没有什么私人交往。塞尔不仅学问做得出色，人也非常好。托姆的博士论文就是塞尔帮着整理的，写得比较正规化一点，后来托姆得菲尔兹奖的工作也是塞尔帮着整理的，他是真正无私地帮忙。塞尔这个人非常好，很正派，没有什么歪门邪道，现在在法国还是第一把手，没有问题。我对他非常佩服，真的佩服。

吴文俊夸赞塞尔为人正派，塞尔的确也告诉吴文俊很多重要的东西，有些重要的思想相当于是“送”给了吴文俊，这在学术界并不是谁都能做到的。遗憾的是那时吴文俊正忙着回国，还“心血来潮”地对物理产生了兴趣，没有太在意塞尔的话，否则吴文俊的收获还要大得多！

塞尔完成了同伦论的一次革命，1954年在第14届国际数学家大会上获得菲尔兹奖，那时他才27岁，成为迄今为止最年轻的获奖者。1955年，塞尔应邀访问日本，留下一张珍贵的照片（上图）。2000年，塞尔获得沃尔夫奖（Wolf Prize），2003年获得首届阿贝尔奖（Abel Prize）。2017年4月，清华大学数学学科建立90周年之际，丘成桐数学科学中心特邀塞尔来校举办讲座。一个小时的讲座，91岁高龄的塞尔完全使用黑板板书，简明干练，一丝不苟（上页右图）。

保莱尔是霍普夫的学生，获得博士学位后从瑞士到巴黎留学，跟随嘉当做博士后。保莱尔数学知识很丰富，他后来在普林斯顿研究院数学所任教，成为美国的数学权威，名气很大。吴文俊称赞他是个“大学问家”。

“嘉当讨论班”推出的系列报告，产生了轰动的学术反响，也扩大了吴文俊、托姆、塞尔和保莱尔在欧洲数学界的影响，用现在的流行语说，他们四个人可谓当时拓扑界的“四大天王”，更重要的是这四个人的工作引发了一场数学界的“拓扑地震”。

20世纪50到60年代，代数拓扑学的辉煌使它成为现代数学的女王。 而吴文俊、托姆、塞尔和保莱尔这“四大天王”为代数拓扑献上了“加冕礼”。

1924年，第七届国际数学家大会在加拿大多伦多举行，数学家约翰·查尔斯·菲尔兹（John Charles Fields，1863—1932）担任大会主席，他为筹备这次大会竭尽全力，以致积劳成疾。大会之后经费尚有结余，菲尔兹呼吁用这笔钱设立一个国际性数学奖。1932年，菲尔兹的心愿终于得以实现。在苏黎世举行的第九届国际数学家大会上，国际数学联盟宣布设立以他的名字命名的菲尔兹奖，并从1936年开始颁发。菲尔兹奖每4年颁发一次，每次授予2至4名有卓越贡献的数学家，要求获奖者年龄必须在40岁以下。因诺贝尔奖未设置数学奖，该奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”。现在，菲尔兹奖已成为数学王国里的一颗耀眼的明珠，是无数数学家心目中向往的目标。

“四大天王”中的塞尔和托姆分别于1954、1958年获得菲尔兹奖，可见这场“拓扑地震”波及之广，影响之远。

震中：吴示性类

1950年春天，吴文俊基于过去和托姆的讨论和交流做了进一步研究，取得了突破性的成果，他在咖啡馆里做出的工作震动了法国。

这个成果出来后，嘉当在讨论班上给出了一个非常生动的评价，他说：“这简直像变戏法，像魔术一样。”埃瑞斯曼也特地从斯特拉斯堡赶到巴黎来向吴文俊道贺。

吴文俊向来谦虚，不事张扬。“拓扑地震”一事他几乎很少提及。但在一次访谈小憩中聊到当年的“拓扑地震”时，吴文俊冒出一句：

“拓扑地震，四个人，我是主要的。”

国内最早听闻“拓扑地震”的故事的学者，是北京大学王诗宬院士：

第一次听人讲吴文俊先生是在1970年代末普林斯顿大学项武忠教授的一个报告会，项兴致勃勃谈起吴先生和Borel、Serre、Thom，称他们为四颗重磅炸弹，在1950年代初引起了数学，特别是拓扑学的地震。

让我们听听吴文俊自己对“拓扑地震”的描述吧：

从中央研究院到我做博士论文，对示性类我已有了比较深入的研究了，1949年做博士论文时，我系统整理了纤维丛及示性类的工作。

进一步的问题是，已有的这些示性类之间的关系是怎样的呢？基本性质是什么？如何计算？人们知之甚少。

我想，应该解决这些问题，这会是非常重要和基本的、核心的工作。

我首先说清了这些示性类，并给这些重要的示性类命名。

E.史梯费尔和惠特尼各自提出的示性类实质上是相同的，我发现这个示性类是最简单的一种，把它命名为史梯费尔-惠特尼示性类（Stiefel-Whitey示性类）。

再有就是苏联数学家庞特里亚金示性类。我记得弄懂庞氏的示性类颇费了些周折。庞氏的文章是用俄文发表在苏联的数学期刊上的，我没有学过俄语。于是找来俄语语法书粗读一遍后，就拿着本俄文字典开始一字一句地啃庞氏的文章，最后硬是读通了，弄懂了庞氏示性类。

还有就是陈省身创立的示性类，我命名为陈示性类。陈示性类第一次出现是在陈很早的一篇文章里，不过不用示性类的名字，表达形式现在也看不懂了，至少我看不懂。陈省身示性类是这样一种东西：当你处理某一类的问题时，不是所有的问题，某一类的问题，你必定要有某些数学形式来表示出来。那么对于拓扑变换下的不变量，对于示性类，陈省身示性类是最合适了，对表达的东西，没有它不行，你说不出来说不清楚。我的发现是：别的示性类都可以从陈示性类中导出来，表达出来，而反之则不能，即陈省身示性类不可能用别的示性类表达出来。

哪些核心问题呢？

首先，我定义了一类示性类，在微分流形上，后来国际上把它称为吴示性类（简称吴类）；并建了一个公式，用吴类表示史梯费尔-惠特尼示性类，人们把它称作吴（第一）公式，这样史梯费尔-惠特尼示性类就变得极易计算了。

我还建立了揭示示性类彼此之间的关系式，国际上把它称为吴（第二）公式。到1965年，Dold证明，史梯费尔-惠特尼示性类的所有关系都可由吴公式导出。

有了吴类和这些吴公式，各种示性类之间的关系都清楚了，示性类也都可以计算了。这就是嘉当说的像变魔术一样的吴公式。

这样一来，抽象的数学概念变为具体可算的了。有了吴示性类，使示性类变为易于理解、适宜应用。同时，吴公式提供了方便计算的手段，由于许多情形容易计算，一下子许多结果都自然推出。如此开辟了拓扑学通向应用的道路。

自此，示性类不再神秘。

吴文俊在拓扑学研究领域发表的论文数量并不多，但对拓扑学的发展产生了深刻的影响，一些国际重要数学奖得主多次引用吴文俊的成果。据统计，共有8位重要数学奖得主引用了吴文俊的研究成果，其中菲尔兹奖得主有约翰·米尔诺（John Milnor，1931—　）、托姆、史蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale，1930—　）、迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah，1929—2019），阿贝尔奖得主有阿蒂亚、米尔诺，沃尔夫数学奖得主有陈省身、弗里德里希·希泽布鲁赫（Friedrich Hirzebruch，1927—2012）、米尔诺、斯梅尔、嘉当。 引用情况如表1所示。

启示：法国数学之魂

过去的很长一段时间里，法国是世界数学的重镇，诞生了许多重要的数学家及理论。17世纪有勒内·笛卡儿（René Descartes，1596—1650）的解析几何、皮耶·德·费马（Pierre de Fermat，1601—1665）的数论、布莱士·帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662）的概率论，18世纪的约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）、皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749—1827）、阿德利昂·玛利·勒让德（Adrien Marie Legendre，1752—1833）、让·巴蒂斯特·约瑟夫·傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768—1830）把法国数学推上了辉煌的时代，19世纪初有埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811—1832）的群论，稍后是庞加莱丰富多彩的工作——从天体力学到组合拓扑学。但是，第一次世界大战给法国科学事业带来了灾难性的破坏。当时，德国的科学家被留在后方进行科学研究，致力于提高德军战斗力，而法国年轻的科学家几乎都上了前线，他们中的大部分人再也没能回来。

老一辈的法国数学家曾在数学分析、函数论方面做出了杰出的成就，但二战后的他们大都是50岁上下的人了，他们对当代数学只有相当含糊的概念，对德国数学学派的优秀成果、迅速发展的俄国学派以及红极一时的波兰学派都一无所知。

法国布尔巴基（Bourbaki）学派就是在这样的历史条件下出现的。

1949年8月，一群年轻的法国人在德国奥伯沃尔法赫（Oberwolfach）集会，他们以公理化方法为基础，以新的统一为目标，从整体上彻底改写了数学。这是一次真正大胆的冒险，只有年轻人才敢冒险。当然，他们中的一些人当时已经大名鼎鼎，如安德烈·韦伊（André Weil，1906—1998）、嘉当、让·迪尔多厄（Jean Dieudonné，1906—1992），还有一些人是快速成长起来的新生力量，比如塞尔、瑞伯和托姆。那时候的一张照片展示了1949年秋天会议的部分与会者。很遗憾，由于遭遇车祸，嘉当未能到会，他的身影未能进入这张被载入史册的照片。

照片上是一群充满青春朝气的年轻人：塞尔神采飞扬，两只手插在短裤的口袋里，站在中央，似乎也预示着他将来在青年布尔巴基学派中的领袖地位；最左边的托姆笑容含蓄，显得多少有些羞涩；而最右边的瑞伯嘴上叼着烟斗，神情严肃，似乎还在思考数学问题。

更有意思的是这群年轻人与吴文俊关系很不一般：托姆是他的好友，塞尔是他新交的朋友，瑞伯是他的博士论文合刊人。这样，布尔巴基学派的创始人、中坚力量和后起之秀，或是吴文俊的导师，或是吴文俊的好友与同门。吴文俊置身其中，深深受到布尔巴基学派的感染和浸润，从一开始的“不接受”“不理解”，到后来慢慢认识到了布尔巴基学派的意义和价值。

1951年，吴文俊还在法国时，就写了《法国数学新派——布尔巴基派》，这是国内最先介绍布尔巴基学派的文章。吴文俊在文章中写道：

近20年来法国有一部分青年数学家以N．Bourbaki为名，兴起了对数学的一种革新运动，数学发展到了20世纪，分支愈加复杂，会有人认为数学已划分为许多不同的畛域，各有各的特点和界限，仅有少数路径可以互相沟通。学者们终其一生，只能在一隅之地作狭而深的研究，要懂得全部数学已不可能，但Bourbaki却抱着极大野心想用统一的方法和统一的观点冶数学全部于一炉。他们认为，到了目前，数学在表面上虽然部门增加，方向繁多，事实上却比以前更加统一。因此法文的数学原名Les mathématiques（多数），Bourbaki派把它改成la mathématique（单数）。

为此Bourbaki派创造了“构造”（structures）一词，统一了数学研究的对象。所谓构造，可以说是表示一个集合中各元素之间的关系而把它们组织起来的一种方式。试举一切实数所成的集合R为例，在R的各元素——实数——之间存在着下面三种关系：1°实数可按大小排列；2°任两实数可以相加相乘以得另一实数；3°一串实数有时有极限值。把这种关系抽象化，可能得到集合的三种构造。

吴文俊在论文中介绍的三种构造是：序次构造、代数构造和拓扑构造。吴文俊特别关注布尔巴基学派的“构造性”思想：

在Bourbaki派的分析之下，数学无非是许多简单与复杂、普遍与特殊的种种构造的研究。上面所说的三种构造可以说是数学的“基本构造”。在一个集合里面同时讨论几种不同的基本构造，用若干公理把它们联系起来，则可得到比较复杂的“联合构造”。

这就为吴文俊日后从构造性观点认识中国传统数学埋下了一颗种子。然而，值得注意的是，吴文俊在晚年对布尔巴基学派进行了反思：

虽然布尔巴基学派建立了很多“伟大业绩”，但其精神实质是什么呢？布尔巴基学派创建之初，法国数学已濒临丧失过去二百多年来国际领先地位的境地，而且与周围各国的差距颇有扩大之势。经过布尔巴基学派数十年的惨淡经营，到20世纪中期后，终于使法国数学重新站到了世界舞台的中心。

我在国外曾遇到一位第三世界数学家，他说了这样一句话：“布尔巴基是法国民族精神的产物。”此语可谓一针见血，这位数学家口中的布尔巴基，才是真正的布尔巴基！他们所体现出的是法国的民族精神和“传统”。

布尔巴基学派到20世纪80年代就衰败了，对他们的思想与体系也颇有争议，其成功确也有一定的范围和局限。但他们为重振法兰西精神所做的努力，不仅对法国人民是可贵的，也可供其他国家的人们借鉴与学习。我想，布尔巴基学派真正值得我们学习的，就是他们的这种精神！而其他的，诸如各项特殊的成就、有争议的思想体系等等，都在可学可不学、可从可不从之间。

布尔巴基学派代表的是法国的民族精神与传统。那么，什么是中国数学的传统？中国传统数学的精神又是什么？

传统与精神，这正是吴文俊所思考的、要追寻的。

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[1] Séminaire Henri Cartan ［EB/OL］［2024-12-04］.http://www.numdam.org/actas/SHC.感谢博士生王浩霖同学提供这一信息。 EgBEyG2UzC50UL+MqGLBDZr4v39u8BDPuv4Ox3MyW6tXSzkg3KiN2PSQzZ9U4+Zp