第三章
大师引路

迷茫中的探索

1940年，吴文俊从交大毕业，那年他21岁，他的愿望是做个“数学家”。

但这个美好的梦想被严酷的现实粉碎了。上海被日军占领，百业凋敝，想找一份工作都非常困难。一位朋友告诉吴文俊，有人愿意提供奖学金，资助他到日本深造，吴文俊断然拒绝。后来另一位朋友介绍吴文俊到租界的育英中学当数学教师，教初一的代数，还得兼职做教务工作。正是这里给吴文俊留下了一段难以磨灭的记忆：怎么教“负负得正”？

记得教“负负得正”，我始终没有讲好过。有一次，在初中一年级的课上，我正在讲负负得正，忽然后排有一个大个子，大叫一声“凑得数”，吓我一跳，弄得我好下不了台。至于“负负得正”，我不知道现在中学里边老师怎么讲的，如果现在我讲，我会这样讲，“减掉一个负数就相当于加上一个正数”，这是我现在的讲法。也许我那时“害”了不少人。

1941年12月7日，珍珠港事件爆发，日军进占上海各租界，育英中学解散，吴文俊失业了。不久吴文俊在培真中学找到了工作。这所学校的校长是一位中共地下党员，他借给吴文俊很多进步书籍，吴文俊就是从这里开始了解共产党的。他还跟着这位校长参加了一些活动，从此埋下了追求光明的种子。此时的吴文俊不会想到，三十八年后，自己也将成为一位共产党员。

在那段艰苦的日子里，吴文俊没有放弃对数学的热爱和追求。但是，在枯燥乏闷的教学事务中，能做点什么呢？他想来想去，既然在中学，就研究初等几何吧。再说，自己大学毕业的论文也是关于初等几何的。

就这样，吴文俊开始了自己的摸索：

利用教书的空余时间，我走遍了能找到并且能进去的所有图书馆，查阅了几乎所有的初等几何的书籍，筛选出名著和经典著作借回去详细研读、反复研读，然后是自己证定理、做全部的习题，以及一些研究工作。尽管没有什么目标，在我看来也算是一种自娱自乐吧。

经过这段时间的努力后，我对初等几何，也就是欧几里得几何，有了比较精深的理解，打下了非常坚实的基础。在几十年以后，对我的研究还起了重要的作用呢。

吴文俊所说的几十年后的研究，就是他的“几何定理的机器证明”，正是对初等几何的深刻理解，为他日后开拓机器证明的新道路奠定了基础。

但是，在当时，这种研究却与现代数学相去甚远。当吴文俊拿出一篇自己写的文章向著名的代数几何专家周炜良（1911—1995）请教时，周炜良淡淡地说了一句：“杀鸡焉用牛刀。”

他的话对我是个震动，我明白了我的技巧还不错，能算得上“牛刀”，可在把握研究问题研究对象，或者说在方向把握上还差着火候呢，杀的只是“一只鸡”。

但是，什么是有价值的数学问题？通向现代数学的路在何方？

吴文俊深陷迷茫……

就在这时，陈省身来到了上海。

跟随陈省身

陈省身（1911—2004）出生于浙江嘉兴秀水县，是20世纪最伟大的几何学家之一，被誉为“整体微分几何之父”。

1930年陈省身毕业于南开大学，1934年获清华大学理学硕士学位，1936年获德国汉堡大学理学博士学位。毕业时奖学金还有剩余，同年夏天他又得到中华文化基金会资助，于是转去法国巴黎跟随几何学大师埃利·约瑟夫·嘉当（Élie Joseph Cartan，1869—1951）研究微分几何。嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次，每次一小时。大师面对面的指导，使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益。陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说：“年轻人做学问应该去找这方面最好的人。”

陈省身就是吴文俊找到的“这方面最好的人”。二人是靠吴文俊的大学好友赵孟养牵线搭桥的。

1945年8月15日，日本投降，中国抗日战争胜利。这时陈省身已被美国普林斯顿大学聘为高级研究员。抗战胜利的消息令陈省身非常兴奋，他决定提前回国。1946年4月陈省身到达上海，原准备去清华大学赴任，但中央研究院请他代理姜立夫（1890—1978）担任数学研究所筹备处主任，地点就在上海。陈省身的家就在上海，他欣然接受了这一任命。

陈省身在上海筹备数学研究所的消息不胫而走，但是蛰居在家的吴文俊却懵然不知，甚至对陈省身也一无所闻。一天，赵孟养把吴文俊叫来家中，要他去见一位数学大师。陈省身的家就在徐家汇附近的一条弄堂里。

吴文俊后来回忆道：

那次见面谈的时间很长，主要是陈省身问，了解我的情况。我当时带了一篇稿子，带过去给陈省身看，是我自己摸索着写的，我自认为是很得意的。可是陈省身看了以后说：不对，你这个方向不对，你这个就只是逻辑推理，因为所以因为所以的，没有什么意义，你不应该这样做，他把文章退还给了我。

陈省身指出的这点是非常关键的。我那篇东西，尽管花了很多功夫，也写得很仔细，但是陷在数学名词的倒来倒去之中了。初见大师，就被否定了一把，但这是重要的指点，我记忆深刻。

我一般是“没胆量”的，这次忽然胆子大起来，我就向陈省身提出，表示我希望能够到中央研究院去，跟着他做研究。陈省身的回答我至今记忆犹新，他不说是，也不说不是。一直到临别，陈先生送我到门口，我记得很清楚，他忽然说了句：“你的事我会记在心上的。”

陈省身不是随便说话的，过了没多久，他找到我，说接收我到中央研究院数学所。

我到了陈省身的中央研究院数学所，从此以后研究的方向变了，研究的方法也变了，真正走上了数学研究的道路，走上了坦荡大路。

关于吴文俊初见陈省身，据陈省身的学生陈永川回忆，几十年以后，陈省身已退休，回到国内在天津定居，曾和身边的人谈到过此事，说他和吴文俊第一次谈话后，就断定此人必成大器。

陈省身把吴文俊招收到中央研究院数学所做执行研究员，相当于现在的研究生。中央研究院数学所在上海岳阳路上的一座楼里，楼内还有中央研究院的其他几个单位。当时的数学所规模很小，只占据那座楼的第二层。其中最大的一间是讲课和报告用的，陈省身在那里讲课。另外一间稍大一些的是图书馆，陈省身就把吴文俊“扔在了那里，不闻不问”了。

吴文俊倒是非常高兴，因为书架子上面的书可以随便看，他什么都看，一天到晚看书——当然点集拓扑的书是不看了，因为吴文俊那篇“习作”被陈省身指出“方向不对”。陈省身从不勉强吴文俊，从不指定他看什么书、看什么文章，也不说要他具体做什么。陈省身讲课时吴文俊就去听课，其他时间吴文俊就在图书馆里“信马由缰”，就这样过了好几个月。

后来发生了著名的“还债”的故事：

有一天，陈省身跑到图书馆里来，对我说，你看书看得不少了，不应该再看了，“你得还债”。我很纳闷，还债，我没有欠什么人的什么债呀？陈省身说，你看人家那么多的书，就是欠了前人古人的债，你应该还债。

这是陈先生的创造，我从没听谁这样说过。

那么这个债怎么还呢？陈省身对我说，你要自己写文章，你不能光看人家的，还债就是要你自己研究，你自己要写东西。一下把我点醒了。从此以后，我就开始真正的研究。

自己写论文与看别人的论文，是本质上完全不同的两回事，两种脑力劳动。至于这个“债”的具体还法，陈省身并不说，而是由我自己想办法。

在陈省身的督促下，我被逼出了一篇论文，是关于球的对称积在欧式空间中的嵌入问题。这篇论文算是一篇习作，但仍然有一定的水平，陈省身后来把它送到法国的《法国科学院周报》（ Comptes Rendus ），被发表了。从中可以看到陈省身对年轻人点滴成长的呵护和鼓励。

我想陈先生这个“还债”，适用于所有搞研究的人，也适用于现在的年轻人。

陈省身用“还债”的方法，把吴文俊推上了学术的第一线，更是让吴文俊学会了怎样抓住关键问题。吴文俊没有辜负陈省身的期望，他做到了。吴文俊在图书馆的期刊里看到了一个出现频率较高的数学概念——“纤维丛”（fiber bundle），不太好理解。有一次见到陈省身，他就问到“纤维丛”究竟是怎么回事，陈省身非常高兴，立刻称赞道“这是一个好问题”，夸奖吴文俊“你开始触及核心了”。

吴文俊对这段经历非常感慨：

如果我按那个路数走下去，那是永远没有出路的。你搞数学，挑些什么样的道路，什么方向，是很重要的。搞的方向不对，一辈子也没有什么前途。

接下来的一件事，更展示出陈省身数学大师的魅力，也让吴文俊对数学研究的创造力得以迸发出来。

啼声初试

1947年春天，陈省身兼任清华大学教授，他去清华大学讲课时带上了吴文俊和曹锡华（1920—2005）。这次清华讲课历时大约三个月。吴文俊白天听课，晚上把自己关在房间里，开始了自己数学人生中第一个有意义的研究工作：证明惠特尼公式。

哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney，1907—1989）是美国著名的拓扑学大师，是微分流形理论、示性类和奇点理论的奠基人，他在1982年获得了沃尔夫数学奖。陈省身在上海每周都为学生们讲授12个小时的拓扑学，这是当时最前沿的数学研究领域。在一次拓扑课上，陈省身特别提到，惠特尼1940年提出的一个公式——乘积公式非常重要，这是一个最基本的公式，是示性类理论的基础。但这个公式惠特尼讲得模模糊糊的，陈省身对学生们说：“最好能够补出一个证明来。”吴文俊把这句话记在了心里。

课后，吴文俊在图书馆里一本美国出版的学术会议记录中查到了介绍惠特尼的文章，光是对惠特尼那个公式的讲解，就有一百多页！

当时欧洲数学界有位大人物海因茨·霍普夫（Heinz Hopf，1894—1971），陈省身提出要数学所的年轻人看霍普夫的文章。霍普夫有一个学生叫斯蒂弗尔（Stiefel，1909—1978），他从切向量的角度研究示性类。惠特尼的文章讲一个流形，考虑的是垂直于流形的法向量。吴文俊想：斯蒂弗尔考虑的是切向量，惠特尼考虑的是法向量，两者不是可以合起来吗，切向量和法向量合起来不就是整个空间吗？吴文俊决定就在这个地方下功夫。陈省身当然没讲过这个，他只是说惠特尼有道理。吴文俊根据他对斯蒂弗尔的理解、对惠特尼的理解，独辟蹊径，找到了一条创新性的道路。

在清华的三个月，给了吴文俊一个静心钻研的好机会。吴文俊回忆道：

晚上没什么事干，我就琢磨这个问题——惠特尼公式的证明。有一天晚上觉得有了进展，一早起来高高兴兴地对曹锡华说：“我证出来了。”可是到了晚饭时，静下来再仔细考虑，不对，有毛病，还有毛病，证明有错误，于是接着再来。第二天早上，又对曹锡华说，“这回证好了”，可是到下午又发现证明有漏洞……如此反反复复，有一股初生牛犊不怕虎的劲头。终于有一天我真的把它证出来了！

这个成果发表在美国最主要的杂志普林斯顿大学出版的《数学年刊》上，那是我的第一篇重要论文，是我最早的一个重要工作。得出这个结果，是靠我对霍普夫、对史梯费尔、对惠特尼等人的理解，理解得比较深。

吴文俊这篇论文的题目是《关于球丛的乘积和模2的对偶定理》，全文共14页，收稿日期是1947年8月15日。

惠特尼曾声称他将以书的形式公布结果。陈省身也清楚地记得，他曾在一个下雪的周日去过惠特尼的家中，惠特尼向他展示了自己撰写的大部头书稿。 吴文俊的文章发表后，惠特尼的书就写不成了。据说，当时惠特尼在美国的《数学年刊》看到吴文俊的文章后说：“我的证明可以扔掉了。”现在吴文俊的证明已经成为经典，在现代示性类理论中被看作公理，是整个示性类理论的基石。

吴文俊学习拓扑学才不到一年，能够做出这样好的成绩，令陈省身感到振奋。陈省身常说：“中国人是否有数学能力已经证明是不需要讨论的。”吴文俊就是一个明显的例子。 陈省身很赞赏吴文俊的这项工作，甚至许多年后陈省身一提到吴文俊，就会讲述这段故事。吴文俊对陈省身的教诲与引导一直感佩在心，他说：

陈省身有一种能力，我很钦佩。陈先生的这种能力，我觉得是别人很难做到的。他能够很快就把你带到最前沿，正是大家都在攻坚的地方，所以你就可以比较快地前进了，一般人是做不到的。所以我在中央研究院，前后不过一年，就可以一直跑到纤维丛了。他就是有这个本事啊。 FZyq/4gLisndTftWx1/rC2zlIZM1Jgro5Jf+5TPery9avWDPGdZR+PgIeFc6F3j5