1.2 课后习题详解

1-1 分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号，是否为数字信号？

解： （a）连续时间信号（模拟信号）；（b）连续时间信号（量化信号）；（c）离散时间信号（数字信号）；（d）离散时间信号（抽样信号）；（e）离散时间信号（数字信号）；（f）离散时间信号（数字信号）。

1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号。（重复习题1-1题所问。）

（1）e ^{－ αt} sin（ωt）；

（2）e ^{－ nT} ；

（3）cos（nπ）；

（4）sin（nω ₀ ）（ω ₀ 为任意值）；

（5）（1/2） ⁿ 。

以上各式中n为正整数。

解： （1）e ^{－ αt} sin（ωt）时间、幅值均连续取值，故为连续时间信号（模拟信号）；

（2）e ^{－ nT} 时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）；

（3）cos（nπ）时间、幅值均离散，故为离散时间信号（数字信号）；

（4）sin（nω ₀ ）时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）；

（5）（1/2） ⁿ 时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）。

1-3 分别求下列各周期信号的周期T。

（1）cos（10t）－cos（30t）；

（2）e ^j10t ；

（3）[5sin（8t）] ² ；

（4） 。

解： （1）分量cos（10t）的周期T ₁ ＝2π/10＝π/5，分量cos（30t）的周期T ₂ ＝π/15，两者的最小公倍数是π/5，所以此信号的周期T＝π/5。

（2）因为e ^j10t ＝cos（10t）＋jsin（10t），所以此信号周期为T＝2π/10＝π/5。

（3）因为[5sin（8t）] ² ＝25sin ² （8t）＝25×{[1－cos（16t）]/2}＝12.5－12.5cos（16t），所以此信号的周期为T＝2π/16＝π/8。

（4）原式可整理为

其中n为正整数。所以此信号的周期为2T。

1-4 对于教材例1-1所示信号，由f（t）求f（－3t－2），但改变运算顺序，先求f（3t）或先求f（－t），讨论所得结果是否与原例之结果一致。

解法一： f（t）→f（3t）→f（－3t）→f（－3t－2），运算结果如图1-2-2。

解法二： f（t）→f（－t）→f（－3t）→f（－3t－2），运算结果如图1-2-3。

所得结果一致。

1-5 已知f（t），为求f（t ₀ －at）应按下列哪种运算求得正确结果（式中t ₀ ，a都为正值）？

（1）f（－at）左移t ₀ ；

（2）f（at）右移t ₀ ；

（3）f（at）左移t ₀ /a；

（4）f（－at）右移t ₀ /a。

解： 正确答案是（4）。

（1）

（2）

（3）

（4）

显然只有（4）的变换结果与题干要求相符。

1-6 绘出下列各信号的波形：

（1）[1＋sin（Ωt）/2]sin（8Ωt）；

（2）[1＋sin（Ωt）]sin（8Ωt）。

解： （1）高频信号sin（8Ωt）的周期T＝2π/（8Ω），与其相乘的信号作为信号包络，波形如图1-2-4（a）所示。

（2）高频信号的周期T＝2π/（8Ω），波形如图1-2-4（b）所示。

1-7 绘出下列各信号的波形。

（1）[u（t）－u（t－T）]sin（4πt/T）；

（2）[u（t）－2u（t－T）＋u（t－2T）]sin（4πt/T）。

解： （1）由于

而信号sin（4πt/T）的周期为T/2，故只需画出信号sin（4πt/T）在区间[0，T]上的波形如图1-2-5（a）所示。

（2）原式＝{u（t）－u（t－T）－[u（t－T）－u（t－2T）]}sin（4πt/T），由于

信号sin（4πt/T）的周期为T/2，故截取信号sin（4πt/T）在区间[0，T]上的波形，并在区间[T，2T]上将其反相，所得波形如图1-2-5（b）所示。

1-8 试将描述图1-2-6所示波形的教材表达式（1-16）和（1-17）改用阶跃信号表示。

解： （1）表达式（1-16）为

改用阶跃函数可表示为

（2）表达式（1-17）为

改用阶跃信号可表示为

1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图。

（1）f（t）＝（2－e ^{－ t} ）u（t）；

（2）f（t）＝（3e ^{－ t} ＋6e ^{－ 2t} ）u（t）；

（3）f（t）＝（5e ^{－ t} －5e ^{－ 3t} ）u（t）；

（4）f（t）＝e ^{－ t} cos（10πt）[u（t－1）－u（t－2）]。

解： 题（1）、（2）、（3）、（4）信号波形，分别如图1-2-7（a）、（b）、（c）、（d）所示。

1-10 写出图1-2-8（a）、（b）、（c）所示各波形的函数式。

解： （1）由图1-2-8（a）可得

（2）由图1-2-8（b）可得

（3）由图1-2-8（c）可得

1-11 绘出下列各时间函数的波形图。

（1）te ^{－ t} u（t）；

（2）e ^{－（ t － 1 ）} [u（t－1）－u（t－2）]；

（3）[1＋cos（πt）][u（t）－u（t－2）]；

（4）u（t）－2u（t－1）＋u（t－2）；

（5） ；

（6）d[e ^{－ t} （sint）u（t）]/dt。

解： 各时间函数的波形图如图1-2-9（a）～（f）所示。

1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别。

（1）t[u（t）－u（t－1）]；

（2）t·u（t－1）；

（3）t[u（t）－u（t－1）]＋u（t－1）；

（4）（t－1）u（t－1）；

（5）－（t－1）[u（t）－u（t－1）]；

（6）t[u（t－2）－u（t－3）]；

（7）（t－2）[u（t－2）－u（t－3）]。

解： 信号的波形分别为图1-2-10（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。

1-13 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别。

（1）f ₁ （t）＝sin（ωt）·u（t）；

（2）f ₂ （t）＝sin[ω（t－t ₀ ）]·u（t）；

（3）f ₃ （t）＝sin（ωt）·u（t－t ₀ ）；

（4）f ₄ （t）＝sin[ω（t－t ₀ ）]·u（t－t ₀ ）。

解： 信号波形分别为图1-2-11（a）、（b）、（c）、（d）所示。

1-14 应用冲激信号的抽样特性，求下列表示式的函数值。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

解： 利用抽样性质

得：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

1-15 电容C ₁ 与C ₂ 串联，以阶跃电压源v（t）＝Eu（t）串联接入，试分别写出回路中的电流i（t）、每个电容两端电压v _C1 （t）、v _C2 （t）的表示式。

解： 根据题意可知，电容C ₁ 、C ₂ 和电压源v（t）串联，可得回路电流

则电容两端电压v _C1 （t）、v _C2 （t）分别为

1-16 电感L ₁ 与L ₂ 并联，以阶跃电流源i（t）＝Iu（t）并联接入，试分别写出电感两端电压v（t）、每个电感支路电流i _L1 （t）、i _L2 （t）的表示式。

解： 根据题意可知，电感L ₁ 、L ₂ 和电流源i（t）并联，可得电感两端电压

则电感支路电流i _L1 （t）、i _L2 （t）分别为

1-17 分别指出下列各波形的直流分量等于多少：

（1）全波整流f（t）＝|sin（ωt）|；

（2）f（t）＝sin ² （ωt）；

（3）f（t）＝cos（ωt）＋sin（ωt）；

（4）升余弦f（t）＝K[1＋cos（ωt）]。

解： （1）信号sin（ωt）的周期为2π/ω，则整流信号|sin（ωt）|的周期为T＝π/ω，所以直流分量

（2）由f（t）＝sin ² （ωt）＝[1－cos（2ωt）]/2可知，周期T＝π/ω。

因为cos（2ωt）在一个周期内的平均值为零，所以直流分量

（3）f（t）的周期T＝2π/ω，而在[0，2π/ω]内cos（ωt）和sin（ωt）的积分均为零，所以f _D ＝0。

（4）f（t）的周期T＝2π/ω，在[0，2π/ω]内cos（ωt）积分为零，所以f _D ＝K。

1-18 粗略绘出图1-2-12所示各波形的偶分量和奇分量。

解： 信号的偶分量f _e （t）＝[f（t）＋f（－t）]/2，奇分量f _o （t）＝[f（t）－f（－t）]/2。

（a）由图1-2-12（a）可知，f _e （t）和f _o （t）的波形如图1-2-13（a）所示。

（b）由图1-2-12（b）可知，信号f（t）为偶函数，即f（t）＝f（－t），所以其f _e （t）＝f（t），f _o （t）＝0，即偶分量为其本身，奇分量为0，f _e （t）的波形如图1-2-13（b）所示。

（c）先作出f（－t）的波形如图1-2-13（c ₁ ）所示。

则可得f _e （t）和f _o （t）的波形如图1-2-13（c ₂ ）所示。

（d）先作出f（－t）的波形如图1-2-13（d ₁ ）所示。

则可得f _e （t）和f _o （t）的波形如图1-2-13（d ₂ ）所示。

1-19 绘出下列系统的仿真框图。

（1）d[r（t）]/dt＋a ₀ r（t）＝b ₀ e（t）＋b ₁ {d[e（t）]/dt}；

（2）d ² [r（t）]/dt ² ＋a ₁ {d[r（t）]/dt}＋a ₀ r（t）＝b ₀ e（t）＋b ₁ {d[e（t）]/dt}。

解： （1）取中间变量q（t），使

d[q（t）]/dt＋a ₀ q（t）＝e（t）①

激励信号e（t）与中间变量q（t）的关系，如图1-2-14所示。

将①代入原方程，得

②

对比等式两边，可知r（t）＝b ₀ q（t）＋b ₁ {d[q（t）]/dt}

从而得到系统仿真框图，如图1-2-15所示。

（2）取中间变量q（t），使

d ² [q（t）]/dt ² ＋a ₁ {d[q（t）]/dt}＋a ₀ q（t）＝e（t）①

激励信号e（t）与中间变量q（t）的关系，如图1-2-16所示。

将式①代入原方程，可得r（t）＝b ₀ q（t）＋b ₁ {d[q（t）]/dt}。

从而得到系统仿真框图，如图1-2-17所示。

1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的。

（1）r（t）＝d[e（t）]/dt；

（2）r（t）＝e（t）u（t）；

（3）r（t）＝sin[e（t）]u（t）；

（4）r（t）＝e（1－t）；

（5）r（t）＝e（2t）；

（6）r（t）＝e ² （t）；

（7） ；

（8） 。

解： （1）令r ₁ （t）＝d[e ₁ （t）]/dt，r ₂ （t）＝d[e ₂ （t）]/dt，则

系统满足线性关系。

又 ，满足时不变性。

由r（t）＝d[e（t）]/dt可知，系统在t ₀ 时刻的响应与t＞ 时的输入无关，因此系统满足因果性。

综上，系统是线性、时不变、因果系统。

（2）令r ₁ （t）＝e ₁ （t）u（t），r ₂ （t）＝e ₂ （t）u（t），则c ₁ r ₁ （t）＋c ₂ r ₂ （t）＝c ₁ e ₁ （t）u（t）＋c ₂ e ₂ （t）u（t）＝[c ₁ e ₁ （t）＋c ₂ e ₂ （t）]u（t），系统满足线性关系。

又r（t－t ₀ ）＝e（t－t ₀ ）u（t－t ₀ ）≠e（t－t ₀ ）u（t），故系统时变。

由r（t）＝e（t）u（t）知，系统响应只与当前激励有关，因此系统满足因果性。

综上，系统是线性、时变、因果系统。

（3）令r ₁ （t）＝sin[e ₁ （t）]u（t），r ₂ （t）＝sin[e ₂ （t）]u（t），则c ₁ r ₁ （t）＋c ₂ r ₂ （t）＝c ₁ sin[e ₁ （t）]u（t）＋c ₂ sin[e ₂ （t）]u（t）≠sin[c ₁ e ₁ （t）＋c ₂ e ₂ （t）]u（t）。

系统不满足线性关系。

又r（t－t ₀ ）＝sin[e（t－t ₀ ）]u（t－t ₀ ）≠sin[e（t－t ₀ ）]u（t），故系统时变。

由r（t）＝sin[e（t）]u（t）可知，系统响应只与当前激励有关，因此系统满足因果性。

综上，系统是非线性、时变、因果系统。

（4）令r ₁ （t）＝e ₁ （1－t），r ₂ （t）＝e ₂ （1－t），则c ₁ r ₁ （t）＋c ₂ r ₂ （t）＝c ₁ e ₁ （1－t）＋c ₂ e ₂ （1－t），系统满足线性关系。

由r（t）＝e（1－t）知，激励信号e（t）反褶后再右移1个单位可得响应信号r（t）。

因为 ，故系统时变。

当t＝0时，r（0）＝e（1－0）＝e（1），0时刻的响应取决于将来输入，故系统不满足因果条件。

综上，系统是线性、时变、非因果系统。

（5）令r ₁ （t）＝e ₁ （2t），r ₂ （t）＝e ₂ （2t），则c ₁ r ₁ （t）＋c ₂ r ₂ （t）＝c ₁ e ₁ （2t）＋c ₂ e ₂ （2t），系统满足线性关系。

又r（t－t ₀ ）＝e[2（t－t ₀ ）]≠f[e（t－t ₀ ）]＝e（2t－t ₀ ），故系统时变。

因为t＝1时，r（1）＝e（2），响应取决于将来值，不满足因果要求，所以系统为非因果系统。

综上，系统是线性、时变、非因果系统。

（6）令r ₁ （t）＝e ₁ ² （t），r ₂ （t）＝e ₂ ² （t），则：c ₁ r ₁ （t）＋c ₂ r ₂ （t）＝c ₁ e ² ₁ （t）＋c ₂ e ² ₂ （t）≠[c ₁ e ₁ （t）＋c ₂ e ₂ （t）] ²

系统不满足线性关系。

又r（t－t ₀ ）＝e ² （t－t ₀ ），故系统为时不变系统。

因为响应r（t）＝e ² （t）只与输入的当前值有关，所以系统满足因果条件。

综上，系统是非线性、时不变、因果系统。

（7）令 ，则

系统满足线性关系。

作替换有 ，则

故系统满足时不变特性。

由 知，响应只与当前及以前的输入有关，故系统满足因果性。

综上，系统是线性、时不变、因果系统。

（8）令 ，则

系统满足线性关系。

又 ，故系统时变。

当t＝1时， ，响应与未来输入有关，因此系统不满足因果特性。

综上，系统是线性、时变、非因果系统。

1-21 判断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该系统产生相同输出的两个输入信号。

（1）r（t）＝e（t－5）；

（2）r（t）＝d[e（t）]/dt；

（3） ；

（4）r（t）＝e（2t）。

解： 若系统在不同激励信号作用下产生不同的响应，则该系统可逆。

（1）可逆，逆系统为r（t）＝e（t＋5）；

（2）不可逆，因为若e ₁ （t）＝t＋1，e ₂ （t）＝t，则r（t）＝d[e ₁ （t）]/dt＝d[e ₂ （t）]/dt＝1，不同激励产生相同的响应，系统不可逆；

（3）可逆，逆系统为r（t）＝d[e（t）]/dt；

（4）可逆，逆系统为r（t）＝e（t/2）。

1-22 若输入信号为cos（ω ₀ t），为使输出信号中分别包含以下频率成分：

（1）cos（2ω ₀ t）；

（2）cos（3ω ₀ t）；

（3）直流。

请你分别设计相应的系统（尽可能简单）满足此要求，给出系统输出与输入的约束关系式。讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。

解： （1）系统模型为：r（t）＝e（2t）；

（2）系统模型为：r（t）＝e（3t）；

（3）系统模型为：r（t）＝e（t）＋c（c为非零常数）。

三个要求的共性是：输入信号经过系统后，有新的频率分量产生。

三个系统的共性是：都可以改变输入信号的频率或增加新的频率分量。

1-23 有一线性时不变系统，当激励e ₁ （t）＝u（t）时，响应r ₁ （t）＝e ^{－ at} u（t），试求当激励e ₂ （t）＝δ（t）时，响应r ₂ （t）的表示式（假定起始时刻系统无储能）。

解： 由于该系统为线性时不变系统，起始时刻系统无储能，故系统的响应为零状态响应。又因为

利用线性时不变系统的微分特性知

1-24 证明δ函数的尺度运算特性满足δ（at）＝δ（t）/|a|。（提示：利用教材图1-28，当以t为自变量时脉冲底宽为τ，而改以at为自变量时底宽变成τ/a，借此关系以及偶函数特性即可求出以上结果。）

证明： 首先以t为横轴，脉冲底宽为τ，高度为1/τ，作δ（t）的矩形逼近图形，如图1-2-18所示。

再以at（假设a＞0）为横轴作相同的图形时，底宽变成τ/a，但是要保证矩形的高度保持不变，则有矩形的面积变为原来的1/a倍，即δ（at）＝δ（t）/a。因为δ（t）是偶函数，所以当a＜0时有δ（at）＝δ（－at）＝－δ（t）/a。即从作用效果上来讲：δ（at）＝δ（t）/|a|。

命题得证。 OfDtiuk+CHb+81SEK8e628LnVTprL40wXfkur8KqwnOR8DdfOPm+k4EZ37fm85R4