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1 期限为2年的国债，面值100元，票面利率5%，当前的市场价格为105元，求年化的利率（结果保留小数点后一位数字）。 [中山大学2025年研]
答： 年化利率＝（总收益/市场价格）×（1/期限）×100%＝（5/105）×（1/2）×100%＝2.4%
2 无风险利率为0.04，市场组合的夏普比率为2.5，股票A收益率与市场组合收益率的相关系数为0.4，股票A收益率的方差为0.04，计算股票A的预期收益率。 [中南财经政法大学2024年研]
答： 夏普比率＝（R m －R f ）/σ m ＝2.5，β＝σ p ·ρ/σ m ＝0.2×0.4/σ m ＝0.08/σ m ，股票A的预期收益率＝R f ＋β×（R m －R f ）＝0.04＋0.08/σ m ×（R m －R f ）＝0.04＋0.08×（R m －R f ）/σ m ＝0.04＋0.08×2.5＝0.24。
3 （1）某公司预期未来3年股利收益分别是5元/股，7元/股，6元/股，当前资本成本率5%，股价20元/股，问股价被高估还是低估？
（2）当前股价40元/股，3个月远期期货43元/股，无股利，年利率5%，问如何套利？ [天津大学2019年研]
答： （1）股价＝未来所有股利的贴现值，有公式：
P＝D 1 /（1＋R）＋D 2 /（1＋R） 2 ＋D 3 /（1＋R） 3
其中，P代表股价；D代表各期股利；R代表资本成本率；代入数值则有：
P＝5/（1＋5%）＋7/（1＋5%） 2 ＋6/（1＋5%） 3 ＝16.29（元）
由于16.29元＜20元，所以股价被高估了。
（2）假定该股票的即期价格为S 0 ，T是远期合约到期的时间，r是以连续复利计算的无风险年利率，F 0 是远期合约的即期价格，如果F O ＞S 0 ×e rT ，套利者可以买入股票同时卖空股票的远期期货合约；如果F O ＜S 0 ×e rT ，套利者可以卖空股票同时买入股票的远期期货合约；
此时，由于S 0 ×e rT ＝40×e 0.05 × 3/12 ＝40.5元＜43元；
所以，投资者可以买入股票，同时卖空远期期货合约来套利，合约到期，即三个月后，投资者可获利：43－40.5＝2.5元。
4 去年支付的股利为2美元，预计未来股利以10%的固定比率增长，股东要求的回报率为20%。求股票今天的价格。 [西南财经大学2017年研]
答： 根据股利增长模型（DDM），股票当前的价格P 0 ＝D 1 /（R－g），其中D 1 为股票1期后的预期股利，R为股东要求的回报率，g为股利增长率。
在本题中，R＝20%，g＝10%，D 1 ＝2×（1＋10%）＝2.2（美元）。
因此，股票今天的价格＝2.2/（20%－10%）＝22（美元）。
5 一价定律（或无套利均衡分析方法）是现代金融学重要的理论之一，被广泛地运用于金融产品及其衍生品的定价。市场现有如下几种金融产品，相关信息分别如下：
纯贴现国债：到期期限2年、面值¥1000，当前价格为¥907.03；
附息国债： 票面利率6%（每年付息）、到期期限2年、面值¥1000，当前价格¥1019.70；
股票： 当前股价¥100/股，1年后股价有¥120/股或¥80/股两种可能；
看涨期权： 以上述股票为标的资产、1年后到期、执行价格¥110/股的欧式期权。
（1）根据以上信息，分别计算纯贴现国债和附息国债的到期收益率（YTM），并创设一种“到期期限1年、面值¥1000”的纯贴现国债，以及确定其价格和到期收益率。
（2）在（1）的基础上，利用二项式（或二叉树）期权定价方法，确定看涨期权的价格。
（3）如果1年后的股价有¥120/股或¥60/股两种可能，重新确定看涨期权价格，并将之与（2）的结果进行对比分析。 [电子科技大学2016年研]
答： （1）①假定纯贴现债券的到期收益率为YTM 1 ，债券价格为P 1 ，面值为C，则：C/（1＋YTM 1 ） 2 ＝P 1 ，将数据代入公式：1000/（1＋YTM 1 ） 2 ＝907.03。
解得： YTM 1 ≈5%。
②假定附息国债的到期收益率为YTM 2 ，债券价格为P 2 ，面值为C，票面利率为r，则：
将数据代入公式：
解得： YTM 2 ≈4.94%。
③由题知，设新创设债券的价格为P 3 ，债券的现金流如下表所示：
通过N 1 份1年期贴现债券与N 2 份2年期贴现债券构造出1份两年期附息债券，也就是现金流进行匹配。
N 1 ×1000＋N2×0＝60，N 1 ×0＋N 2 ×1000＝1060。
得N 1 ＝60/1000，N 2 ＝1060/1000。
由60/1000份1年期贴现债券与1060/1000份2年期贴现债券组成的复制债券与1份附息债券在第1年和第2年的现金流完全相同，根据无套利均衡分析，两只债券的当前价格必然相等，因此有：（－P 3 ）×（60/100）＋（－P 1 ）×（1060/1000）＝－P 2 ，1000/（1＋YTM 3 ）＝P 3 。
将P 1 ＝907.03，P 2 ＝1019.70代入上式，解得P 3 ＝970.80（元），YTM 3 ＝3.01%，即“到期期限1年、面值¥1000”的纯贴现债券的当前价格为¥970.80，到期收益率为3.01%。
（2）由题意可知，股票现价S 0 ＝100，在到期日股票价格以概率p上升到S u ＝120，以概率1－p下降为S d ＝80，期权执行价格X＝110，股价上升比例u＝1.2，股价下降比例d＝0.8，股价上升情况下期权价值C u ＝10，股价下降情况下期权价值C d ＝0，无风险利率r＝3.01%。因此有：p＝（e rT －d）/（u－d）＝（e 3.01% －0.8）/（1.2－0.8）＝0.5764，C＝[p×C u ＋（1－p）×C d ]×e － rT ＝（0.5764×10＋0）×e － 3.01% ＝5.59。
由此可知，该看涨期权价格为¥5.59。
（3）由题意可知，股票现价S 0 ＝100，在到期日股票价格以概率p上升到S u ＝120，以概率1－p下降为S d ＝60，期权执行价格X＝110，股价上升比例u＝1.2，股价下降比例d＝0.6，股价上升情况下期权价值C u ＝10，股价下降情况下期权价值C d ＝0，无风险利率r＝3.01%。因此有：p＝（e rT －d）/（u－d）＝（e 3.01% －0.6）/（1.2－0.6）＝0.7176，C＝[p×C u ＋（1－p）×C d ]×e － rT ＝（0.7176×10＋0）×e － 3.01% ＝6.96。
由此可知，该看涨期权价格为¥6.96。
比较（2）和（3）的结果可以看到，看涨期权的价格随着标的股票价格变化幅度的增大而提高。股票的价格变化幅度增大事实上说明股价的波动率增大，因此这一结果反映了期权价格不仅与标的资产的价格有关，并且与标的资产的波动性有关的事实。期权对于波动率的敏感性称为期权的Vega值，对于期权多头而言，Vega值一定是正的，标的资产波动率增大会提高期权的价格。
6 A资产和B资产的方差-协方差矩阵如下表
假设A资产和B资产的E（r）分别为2和1。
（1）计算两资产的相关系数？
（2）如果一项资产组合包括50%A资产和50%B资产，计算该资产组合的预期收益率和风险？
（3）计算最优资产组合的权重？ [暨南大学2016年研]
答： （1）由上表可得，A、B两资产的协方差为Cov（A，B）＝0.12，A资产的方差为σ A 2 ＝0.16，B资产的方差为σ B 2 ＝0.25，因此，σ A ＝0.4，σ B ＝0.5。
相关系数计算公式为：ρ＝Cov（A，B）/σ A σ B ＝0.12÷0.2＝0.6。
（2）预期收益为资产A和资产B的预期收益的加权平均和，即：E＝0.5×2＋0.5×1＝1.5。风险计算公式为：σ 2 ＝0.25σ A 2 ＋0.25σ B 2 ＋2×0.5×0.5×Cov（A，B）。
即： σ 2 ＝0.25×0.16＋0.25×0.25＋2×0.5×0.5×0.12＝0.1625。
（3）设A资产的权重为X A ，B资产的权重为X B ，最优组合权重要使组合的方差最小，即满足：X A ＋X B ＝1。
minσ 2 ＝X A 2 σ A 2 ＋X B 2 σ B 2 ＋2X A X B Cov（A，B）
解得X A ＝1，X B ＝0。
7 某股票当前支付的红利为每股2元。市场上的无风险利率为6%，这只股票的风险溢价为4%。
（1）如果分析师预测该股票年分红将维持每股2元不变，那么这只股票的估值为多少？
（2）如果分析师预测该股票的年分红将以常数2%增长，那么这只股票的估值为多少？
（3）如果分析师预测该股票分红的稳定增长率略高于2%，那么将会如何影响分析师对于股票的估值？ [北京航空航天大学2014年研]
答： 该股票的内部报酬率k＝6%＋4%＝10%。
（1）根据零增长股利模型，这只股票的价值P＝D/k＝2/10%＝20（元）。
（2）根据固定增长股利模型，这只股票的价值P＝D 1 /（k－g）＝2×（1＋2%）/（10%－2%）＝25.5（元）。
（3）根据固定增长股利模型，股票价值P＝D 0 （1＋g）/（k－g），当其他条件不变时，股票价值P与股利增长率g同方向变动。所以分析师预测该股票分红的稳定增长率略高于2%，股票价值将高于25.5元。
8 若短期国债（被认为是无风险的）的收益率为3%，某贝塔系数（β）为1.2的资产组合要求的期望收益率为9%。请计算：
（1）市场组合的期望收益率是多少？
（2）贝塔系数（β）为零的股票组合的期望收益率是多少？
（3）如果某股票的贝塔系数为0.9，当前价格为15元，预计该股票下一年度将派发红利1元，投资者预期一年后能够以17元卖出该股票。请问投资者当前是否应该购买该股票？为什么？ [南京大学2013年研]
答： （1）资产组合期望收益率＝无风险收益率＋β×（市场组合期望收益率－无风险收益率），即R i ＝R f ＋β（R m －R f ），将题干中的数值代入，得9%＝3%＋1.2×（R m －3%），解得：R m ＝8%，市场组合的期望收益率为8%。
（2）β值表示投资组合对系统风险的敏感程度，β值为0的投资组合为无风险投资组合，即当指数发生变动时，投资组合不会发生相应变动，所以，贝塔系数（β）为零的股票组合的期望收益率等于无风险收益率，即3%。
（3）首先计算股票的期望收益率：R i ＝R f ＋β（R m －R f ）＝3%＋0.9×（8%－3%）＝7.5%，则股票现值应为（17＋1）/（1＋7.5%）＝16.74（元），16.74＞15，因此股票现在被低估，当前应该购买该股票。
9 H公司普通股目前的价格为28元/股，投资者李四以50元/份的价格买入2份H公司普通股的看涨（买入）期权，以30元/份的价格买入1份H公司普通股的看跌（卖出）期权。看涨期权的执行价格为30元/股，看跌期权的执行价格为25元/股，看涨和看跌期权具有相同的到期日，每份期权赋予投资者买卖股票的数额为100股。如果期权到期日H公司普通股的价格为33元/股，不考虑其他交易费用，请计算李四这次投资的净收益（损失）。 [中国科学技术大学2013年研]
答： 根据题意，股票的市场价格高于期权的执行价格，应该执行看涨期权。
则投资的净收益为：（33－30）×2×100－50×2－30＝470（元）。
10 已知某看涨期权的执行价格为100美元，期限为一年，在此期间标的股票不支付红利，当前价格为100美元。若投资者认为股票价格涨至120美元或跌至80美元的可能性均为50%，无风险利率为10%。请用二项式期权定价模型计算该看涨期权的价值。 [北京航空航天大学2012年研]
答： 构造一个无风险套期保值组合：以100美元买入1份股票，同时卖出m份以该股票为标的物的看涨期权。r为无风险利率，C为看涨期权的价值；S为股票当前价格。
当股票价格上涨时，期权价值C u ＝120－100＝20（美元）；当股票价格下降时，期权价值C d ＝0。股票价格上涨幅度u＝120/100＝1.2，股票价格下降幅度d＝80/100＝0.8。
该无风险套期保值组合在每种状态下的支付相等，即有u×S－m×C u ＝d×S－m×C d 。
即120－m×20＝80－m×0，解得m＝2。
又因为，该无风险套期保值组合期初的价格等于期末支付的现值，即（u×S－m×C u ）/（1＋r）＝S－m×C。
将相应数据代入解得，C＝13.64（美元）。
11 李先生是钱江投资咨询公司的一名投资分析师，接受委托对西湖商业股份公司投资建设新商场项目进行评估分析。李先生根据西湖商业股份公司具体情况做了如下测算：
（1）公司本年度净收益为5000万元，每股支付股利2元，新商场建成开业后，预计净收益第一年、第二年、第三年均增长15%，第四年增长8%，第五年及以后各年将维持第四年的净收益水平；
（2）公司一直采用固定支付率的股利政策，并打算今后继续执行该政策；
（3）现在公司的β系数为1，新商场项目建成投产后β系数将提高到1.5；
（4）国库券年收益率为5%，预计市场年收益率为8%；
（5）目前公司股票的市价为28.6元。
李先生打算利用股利贴现模型，同时考虑风险因素进行股票价值的评估。西湖商业股份公司的一位董事提出，如果采用股利贴现模型，则股利越高，股价越高，所以公司应改变原有的股利政策，提高股利支付比率。
请你协助李先生完成以下工作：
（1）分析这位董事的观点是否正确，如果不正确，请说明理由。
（2）分析股利增加对可持续增长率和股票的账面价值有何影响？
（3）评估该公司股票价值。 [浙江工商大学2011年研]
答： （1）这位董事的观点不正确，根据股利贴现模型同时考虑风险因素后，股利增长率固定时，普通股的价格为：P 0 ＝Div 1 /（R－g）。式中，g是增长率，Div 1 是第一年年底的股利。因此，股价不只和股利有关，和其他因素也有关系，只有当其他条件不变时，股利越高，股价才越高。
（2）可持续增长率可计算如下：可持续增长率＝ROE×b/（1－ROE×b）。当其他条件不变时，股利越高，股价越高，股票的账面价值越高。当其他条件不变时，股利增加，留存收益减少，故可持续增长率降低。
（3）若用CAPM模型，股票的期望收益率为E（R S ）＝R f ＋β×（R M －R f ）＝5%＋1.5×（8%－5%）＝9.5%
因此有公司股票的内在价值为：P＝2×（1＋15%）/（1＋9.5%）＋2×（1＋15%） 2 /（1＋9.5%） 2 ＋2×（1＋15%） 3 /（1＋9.5%） 3 ＋2×（1＋15%） 3 ×（1＋8%）/[（9.5%－8%）×（1＋9.5%） 3 ]≈173.43（元）。
当股票的内在价值低于股价时，股票被低估。当股票的内在价值低高于股价时，股票被高估。28.6元＜173.43元，因此该股票被低估了。
12 艺馨公司本次派发的股利为每股2元，投资者对艺馨同类公司要求15%的报酬率。艺馨公司的股利每年增长5%。请用股利增长模型计算，艺馨公司股票目前的价值是多少？3年后的价值是多少？并分析，在股利增长模型中，股价与股利增长率之间的关系。（保留小数点后3位） [深圳大学2011年研]
答： 股利增长率固定的普通股的价格为：
式中，g是增长率，Div 1 是第一年年底的股利，R为股东报酬率。
由此公式算得目前股价为2×1.05/（15%－5%）＝21（元），3年后的股价为2×1.05 4 /（15%－5%）≈24.310（元）。
在股利增长模型中，股价与股利增长率之间成正比关系。
13 现有三年期国债两种，分别按一年和半年付息方式发行，其面值为1000元，票面利率为6%，市场利率为8%，其发行价格分别是多少？ [金融联考2004年研]
答： 当按一年付息时，发行价格应该为
当按半年付息时，发行价格应该为
14 假设目前市场上的利率期限结构是平坦的，市场年利率均为10%（一年计一次复利），一个债券基金经理面临着市场上的两种债券：债券A面值1000元，息票率为8%，一年付一次利息；债券B面值1000元，息票率为10%，一年付一次利息。这两个债券都是三年后到期，到期时一次性偿还本金，但是该经理只打算进行一年期的投资，并且该经理预期一年后市场利率期限结构将近乎平行地下降，而市场普遍认为一年后市场利率基本不变。不考虑其他因素，请问对于该经理而言，哪种债券是较好的选择？ [金融联考2004年研]
答： 应该购买债券A，原因如下：
债券A目前的价格为
债券A的久期为
由于债券B的息票利率与当前市场利率相同，所以债券B的市场价格即为面值1000元，其久期为：
根据利率波动与债券价格波动的关系：
由于对于两种债券的当前市场利率都相同，A债券的久期高于B债券，所以当利率波动幅度相同时，A债券的价格波动幅度更大。由于债券基金经理估计未来利率下跌，所以债券价格应该上升，又由于A债券久期更长，所以A债券价格上升幅度更大，预期收益率更高。应该选择A债券。
15 假设市场组合由两个证券A和B组成，它们的投资比例分别是40%和60%。已知这两个证券的期望收益率分别是10%、15%，标准差分别是20%、28%，其相关系数为0.3。假设无风险收益率为5%。写出资本市场线方程。 [东北财大2003年研]
答： 资本市场线方程为：
其中，r M 、r F 、σ M 分别代表市场组合的收益率、无风险收益率、市场组合的标准差。
市场组合的预期收益率为r M ＝10%×40%＋15%×60%＝13%。
市场组合的标准差为：
由此可以得到资本市场线方程为：r P ＝5%＋[（13%－5%）/20.66%]σ P 。
所以，资本市场线方程为r P ＝5%＋0.39σ P 。
16 某投资基金2000年的实际收益率是7.2%，经估算该投资基金的标准差为10%，它的β系数为0.9，市场组合的实际收益率是8%，标准差为14%。试用Jensen、Treynor和Sharpe三种业绩指数评价该投资基金的业绩。 [东北财大2003年研]
答： （1）Jensen指数
由
可得r F ＝5.2%；
J P ＝E（r P ）－{r F ＋[E（r M ）－r F ]×β P }＝7.2%－{5.2%＋[8%－5.2%]×0.9}＝－0.0052＜0。
该投资基金的绩效不好。
（2）Treynor指数
T P ＝[E（r P ）－r F ]/β P ＝（7.2%－5.2%）/0.9＝0.022＜0.9
由于Treynor指数小于证券市场线的指数，因此该投资基金的绩效不如市场绩效好。
（3）Sharpe指数
S P ＝[E（r P ）－r F ]/σ P ＝（7.2%－5.2%）/10%＝0.2
S P ＝[E（r M ）－r F ]/σ M ＝（8%－5.2%）/14%＝0.2
位于资本市场线上的夏普指数与市场组合的夏普指数均相等，表明该投资基金中等绩效。