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1 三年级学生保罗每天在学校用午餐，他只喜欢奶油小蛋糕（t）和苏打水（s），他从中得到的效用为：
a．如果每份奶油小蛋糕0.1美元，每杯苏打水0.25美元，为使效用最大化，保罗应如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食品上？
b．学校为了减少对奶油小蛋糕的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与问题a相同的效用，妈妈要多给他多少美元的伙食费？
解：
a．对效用函数
进行单调变换，令
这并不改变偏好次序。
保罗效用最大化问题为：
设拉格朗日函数为：L（s，t，λ）＝ts＋λ（1－0.1t－0.25s）。
一阶条件为：
解得： s＝2，t＝5。
因此，他所获得的效用为：
。
b．消费品奶油小蛋糕价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：
设拉格朗日函数为：L（s，t，λ）＝0.4t＋0.25s＋λ（10－ts）。
一阶条件为：
由前两个一阶条件可得：s/t＝1.6，又因为st＝10，由此解得t＝2.5，s＝4，则最小支出为：m 1 ＝0.4×2.5＋0.25×4＝2，所以妈妈现在要多给他1美元伙食费使他的效用水平保持不变。
2 a．一位年轻的品酒师欲支出600美元建一座小酒窖，她特别喜欢两种酒：一种是2001年产的法国波尔多白葡萄酒（w F ），每瓶为40美元；另一种是稍便宜的2005年产的加利福尼亚葡萄酒（w C ），每瓶为8美元。如果她的效用函数如下式所示，那么她应该在每种酒上花多少钱？
b．当品酒师来到酒店时，她发现由于欧元贬值，法国波尔多白葡萄酒已经降到每瓶20美元，如果加利福尼亚葡萄酒依旧是8美元一瓶，那么此时，在价格已变的条件下，为达到效用最大化，每种酒的购买量应为多少？
c．解释为什么这个品酒师在b的情况下要比a更好。你如何用货币价值来衡量这个效用的增加？
解： a．由题意得，该品酒师的效用最大化问题为：
根据消费者均衡条件得：
联立预算方程解得：
此时，消费者效用最大化时两种酒上的花费分别为：
即在法国波尔多白葡萄酒和加利福尼亚葡萄酒上的花费分别为400美元和200美元，此时该调酒师的效用达到最大化。
b．法国波尔多白葡萄酒（w F ）已经降到每瓶20美元，此时的预算约束方程可写为：20w F ＋8w C ＝600。
利用问题a中的方法可得：
联立预算约束方程解得：
即调酒师效用最大化的每种酒的购买量分别为20，25。
c．在问题a中，效用U（10，25）＝10 2/3 ×25 1/3 ≈13.6。在问题b中，效用U（20，25）＝20 2/3 ×25 1/3 ≈21.5。因此，U（10，25）＜U（20，25），即这个品酒师在b的情况下要比a更好。法国波尔多白葡萄酒（w F ）降价，使得该调酒师对波尔多白葡萄酒的实际购买力增加，此时，货币的边际效用变得更大。
3 a．在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄（c）和白兰地（b）：
U（c，b）＝20c－c 2 ＋18b－3b 2
那么他这个晚上要抽多少支雪茄、喝多少瓶白兰地才能得到最大效用（假定他不受预算约束）？
b．后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位，在这一条件约束下，他会喝多少白兰地、抽多少雪茄呢？
解：
a．在无约束下，J.P.的效用最大化问题为：
。
效用最大化的一阶条件为：
从而可知J.P.所获得的最大效用为：U＝127。
b．J.P.所受的约束为：b＋c＝5，此时他的效用最大化问题为：
设拉格朗日函数为：L＝20c－c 2 ＋18b－3b 2 ＋λ（5－c－b）。
一阶条件为：
从而可以解得：b＝1，c＝4，U＝79。
4 a．Odde Ball先生享用商品x与y所得的效用函数为：
如果p x ＝3美元，p y ＝4美元，而他的总收入为50美元，求他能获得的最大效用。提示：求U 2 的最大值要比求U的最大值方便得多。思考这种方法为什么不影响计算结果。
b．画出Ball先生的无差异曲线，并指出无差异曲线与预算线的切点。图形是如何描述Ball的行为的？你找到真正的最大值了吗？
解： a．因为U 2 可由U经过单调变换得到，所以，最大化U 2 同时也就是使U最大化。因此，Ball先生的效用最大化问题可以表述为：
由U 2 （x，y）＝x 2 ＋y 2 可知，每增加一单位x或每增加一单位y带给Ball先生的效用是一样的；由p x ＝3＜p y ＝4可知，当y＝0时，Ball先生所得效用最大，解得x＝50/3，U＝50/3。
b．Ball先生的无差异曲线如图4-5所示，显然该无差异曲线没有递减的MRS。无差异曲线与预算线的切点如图4-5中的A点所示。在A点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而A点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是B点，Ball将其所有的收入用于购买x，而y商品的购买为零。在这里，他的效用函数不是凸的，而是凹的。在偏好为凹的情况下，效用最大化点一定在边界上取得。
图4-5 Ball先生的无差异曲线
5 A先生从马丁尼酒（m）中所获得的效用与他对马丁尼酒的消耗量成正比：
U（m）＝m
A先生特别喜欢马丁尼酒，但他只喜欢喝将杜松子酒（g）与苦艾酒（v）按2︰1的固定比例混合而成的马丁尼酒，因此，我们可以将A先生的效用函数改写为：
a．画出A先生以g与v为变量的各种效用水平下的无差异曲线，请说明无论这两种配料酒的价格如何，A先生永远不会改变他配制马丁尼酒的方法。
b．求出g与v的需求函数。
c．利用问题b的结论，求出A先生的间接效用函数。
d．试计算A先生的支出函数。对于每一种效用水平，将支出表示成杜松子酒的价格p g 与苦艾酒的价格p v 的函数。提示：这个问题涉及固定比例的效用函数，因此你不能使用微积分来求解效用最大化问题。
解： a．A先生的无差异曲线如图4-6所示。无论商品g与v的相对价格（即预算线的斜率）如何，效用最大化的点始终是无差异曲线的折点，即满足0.5g＝v也即g＝2v的点。
图4-6 A先生的无差异曲线
b．将g＝2v代入预算约束可得：p g g＋p v v＝I。
从而可以解得：
c．因为U＝g/2＝v，将
或
代入效用函数中，得间接效用函数为
d．利用对偶性可得，支出函数为：E（p g ，p v ，V）＝I＝（2p g ＋p v ）V。
6 假设一个快餐爱好者的效用取决于三种商品：软饮料（x）、汉堡包（y）和冰激凌圣代（z）。根据柯布-道格拉斯效用函数，有：
U（x，y，z）＝x 0.5 y 0.5 （1＋z） 0.5
同时假设这些商品的价格为p x ＝1，p y ＝4，p z ＝8，且该消费者的收入I＝8。
a．证明当z＝0时，效用最大化得到的最优选择与例4.1相同。同时证明z＞0（哪怕z非常小）时的任何最优选择都会使效用减少。
b．你如何解释z＝0时达到最优这一事实？
c．为了购买z，这个人的收入要有多少？
解： a．当z＝0时，效用函数为U（x，y，z）＝x 0.5 y 0.5 ，根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：
x * ＝αI/p x ＝0.5×8/1＝4
y * ＝βI/p y ＝0.5×8/4＝1
此时效用U＝4 0.5 ×1 0.5 ＝2，与教材例4.1结果相同。
如果z＝1，则U＝0，因为x＝y＝0。
如果z略大于0（不妨设z＝0.1），则根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可得：
x＝0.5×7.2/1＝3.6
y＝0.5×7.2/4＝0.9
因而效用为：U＝3.6 0.5 ×0.9 0.5 ×1.1 0.5 ＝1.89＜U（z＝0）＝2。
b．在x＝4，y＝1，z＝0处，有：MU x /p x ＝MU y /p y ＝0.25，MU z /p z ＝0.125。
因而在z＝0处，从z获得的边际效用“不值”商品的价格。效用函数中的“1”导致了z在任何正的数量时已经具有递减的边际效用。商品z满足“互补松弛”原理。
c．如果收入I＝40，则最优选择为：x＝16，y＝4，z＝1（可以利用拉格朗日方法求解，此处略去）。为了找到在任何z处的购买量，可以利用柯布-道格拉斯函数的性质，即：p x x＝p y y＝p z （1＋z）。
代入预算约束可得：2p z （1＋z）＋p z z＝I或3p z z＝I－2p z ，因此，对于z＞0，必有I＞2p z ＝16。
7 图4-7所示的一次总付原则不仅可以应用于税收，也可以应用于转移支付。这个问题研究该原则在此政策下的应用。
图4-7 税收中的一次总付原则
a．用与图4-7类似的图解释在政府支出相同的情况下，对一个人进行收入补贴比对商品x进行补贴能提供更多的效用。
b．用（4.52）式所示的柯布-道格拉斯支出函数，计算需要多少额外购买力才能将这个人的效用由U＝2提升至U＝3。
c．再次使用（4.52）式估算为了将这个人的效用由U＝2提升至U＝3，需要对商品x进行补贴的程度，并和问题b中得到的结果进行比较。
d．本章课后习题第10题要求你计算的支出函数是与比例4.4的情形更一般化的柯布-道格拉斯效用函数相对应的。当α＝0.3（这个数字接近于低收入人群花费在食物上的收入份额）时，再次使用这个支出函数回答问题b和c。
e．如果使用（4.54）式所示的固定比例情况下的支出函数，你会如何修改对此问题的计算？
解： a．如图4-8所示，收入补贴可以使消费者预算线向右平行移动，在新的最优点C处消费者的效用要大于对商品x进行补贴后消费者达到最优点B处的效用，因此，相同数额的收入补贴比对商品x的补贴能够给消费者带来更大的效用。
图4-8 一次性收入补贴与对商品x补贴下消费者境况的比较
b．商品价格p x ＝1，p y ＝4。对于（4.52）式中的柯布-道格拉斯函数而言，其支出函数为：
当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝2×1 0.5 ×4 0.5 ×2＝8。
当效用为U＝3时，支出E（1，4，3）＝2×1 0.5 ×4 0.5 ×3＝12。
要使这个人的效用由U＝2提升至U＝3所需要增加的支出为：ΔE＝E（1，4，3）－E（1，4，2）＝12－8＝4。
c．当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝2×1 0.5 ×4 0.5 ×2＝8，设在此条件下，对x的补贴为r时才能达到U＝3的效用水平。即有：E（1－r，4，3）＝2×（1－r） 0.5 ×4 0.5 ×3＝12（1－r） 0.5 ＝8。
解得： 对每单位x的补贴r＝5/9。
在此补贴价格下，消费者将选择购买：
此时的总补贴金额为5/9×9＝5，比问题b中的补贴额高5－4＝1。
d．当α＝0.3时，效用函数U（x，y）＝x 0.3 y 0.7 ，最优的x和y的取值为：
将其代入效用函数，可求出对应的支出函数：
当个人的效用由U＝2提升至U＝3时，所需要增加的支出为：
ΔE＝E（1，4，3）－E（1，4，2）＝1.84×1 0.3 ×4 0.7 ×3－1.84×1 0.3 ×4 0.7 ×2≈14.57－9.71＝4.86
同理可设在此条件下，对x的补贴为r时才能达到U＝3的效用水平。即有：E（1－r，4，3）＝1.84×（1－r） 0.3 ×4 0.7 ×3＝14.57（1－r） 0.3 ＝9.71。
解得，对每单位x的补贴r≈0.74。
在此补贴价格下，消费者将选择购买：
此时的总补贴金额为0.74×11.20≈8.29，比问题b中的补贴额高8.29－4.86＝3.43。
e．（4.54）式中的柯布-道格拉斯函数，其支出函数为：E（p x ，p y ，U）＝（p x ＋0.25p y ）U。
当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝（1＋0.25×4）×2＝4。
当效用为U＝3时，支出E（1，4，3）＝（1＋0.25×4）×3＝6。
因而所需要增加的支出为2。
在支出为4时，要满足效用水平为3，需要政府对价格进行补贴，假设补贴后E（1－r，4，3）＝（1－r＋0.25×4）×3＝4，解得r＝2/3，故每单位需要补贴2/3。
在此价格下，消费者选择购买3个单位的x，政府补贴金额为2，价格补贴金额与在一次总付补贴下一致，因为固定比例下，消费者需求是固定比例，价格变化没有扭曲消费者行为。
8 考虑以下两个最简单的效用函数：
（1）固定比例效用函数：U（x，y）＝min（x，y）
（2）完全替代效用函数：U（x，y）＝x＋y
a．分别对以上两个效用函数，计算：
·对于x和y的需求函数
·间接效用函数
·支出函数
b．根据问题a中的计算结果，解释它们为什么会是那样的形式。
解： a．设两种商品的价格分别为p x 、p y ，收入为m。
（1）对于固定比例效用函数U（x，y）＝min（x，y），均衡的消费满足：
解得两种商品的需求函数分别为：
将上式代入效用函数可得间接效用函数：V（p x ，p y ，m）＝m/（p x ＋p y ）。
反解间接效用函数可得支出函数：E（p x ，p y ，U）＝（p x ＋p y ）U。
（2）对于完全替代效用函数U（x，y）＝x＋y，分三种情况讨论均衡的消费：
①当p x ＞p y 时，由于x和y相互替代，此时消费者只消费y，不消费x。
此时的需求函数：
间接效用函数：V（p x ，p y ，m）＝m/p y 。
支出函数：E（p x ，p y ，U）＝p y U。
②当p x ＜p y 时，由于x和y相互替代，此时消费者只消费x，不消费y。
此时的需求函数：
间接效用函数：V（p x ，p y ，m）＝m/p x 。
支出函数：E（p x ，p y ，U）＝p x U。
③当p x ＝p y 时，x和y无差异。
需求函数：x＋y＝m/p x ＝m/p y 。
间接效用函数：V（p x ，p y ，m）＝m/p x ＝m/p y 。
支出函数：E（p x ，p y ，U）＝p y U＝p x U。
b．对于完全互补的两种商品来说，两种商品间按固定的比例进行消费，超出比例多消费任何一种商品都不会带来效用的增加，如果按1∶1比例进行消费的两种商品，那么其效用函数为U（x，y）＝min（x，y），如图4-9所示；而对于完全替代的两种商品来说，两种商品间相互替代的比率是不变的，其效用函数为U（x，y）＝x＋y，如图4-10所示。
图4-9 完全互补
图4-10 完全替代
9 考虑包含两种商品的线性效用函数U（x，y）＝ax＋by，计算与之对应的支出函数。提示：不同的价格比率会造成支出函数的扭曲。
解： 由于两种商品的效用函数U（x，y）＝ax＋by，即此两种商品为完全替代品。设两种商品的价格分别为p x 、p y ，收入为m，预算约束方程为p x x＋p y y＝m。下面分三种情况进行讨论：
（1）当p x /p y ＞a/b时，此时商品x比y昂贵，最优选择满足：
此时的支出函数为：E（p x ，p y ，U）＝p y U/b。
（2）当p x /p y ＜a/b时，此时商品x比y便宜，最优选择满足：
此时的支出函数为：E（p x ，p y ，U）＝p x U/a。
（3）当p x /p y ＝a/b时，此时商品x与y无差异。
此时的支出函数为：E（p x ，p y ，U）＝p x U/a＝p y U/b。
10 柯布-道格拉斯效用函数
例4.1中，我们用到了柯布-道格拉斯效用函数U（x，y）＝x α y 1 － α ，其中0≤α≤1。这个问题说明了该函数的一些其他属性。
a．计算柯布-道格拉斯情况下的间接效用函数。
b．计算这种情况下的支出函数。
c．明确解释为抵消x价格上升带来的影响，所需的补偿与指数α有怎样的关系。
解： a．对于柯布-道格拉斯效用函数，其相应的需求函数为：x＝αI/p x ，y＝（1－α）I/p y 。
将需求函数代入效用函数中，得间接效用函数为：
其中B＝α α （1－α） 1 － α 。
b．利用对偶原理，可以从间接效用函数中解出支出函数为：
c．支出关于价格p x 的弹性值为：
即： x在效用函数中越重要，则支出份额中用于补偿其价格上涨的比例也越大。
11 CES效用函数
一般的CES效用函数可以表示为：
a．证明上述函数在约束条件下，效用最大化的一阶条件是消费者按一定比例选择商品，这个比例式为：
b．前面我们在讨论一些问题时已经说过：对于柯布-道格拉斯函数（δ＝0），消费者将在x与y之间平等分配费用。证明问题a的结论也包含了这种情况。
c．p x x/p y y的值与δ的取值有何关系？直观地解释你的结论（如果要对此函数进行更深入的探讨，参见本章扩展部分E4.3）。
d．推导这种情况下的间接效用函数和支出函数，并运用齐次函数的性质加以检验。
解： a．对于此CES效用函数而言，在效用最大化时，有：
从而可以解得：
其中，σ＝1/（1－δ）。
b．如果δ＝0，则有x/y＝p y /p x ，因而有p x x＝p y y＝m/2，其中，m为消费者收入，即消费者将在x与y之间平等分配费用。
c．由问题a可知
所以，当σ＜1，即δ＜0或δ＞1时，收入中用于购买x的相对份额与其相对价格正相关；当σ＞1，即0＜δ＜1时，收入中用于购买x的相对份额与其相对价格负相关；当σ＝1，即δ＝0时，消费者将在x和y商品之间平等分配收入，即
d．支出最小化问题为：
设拉格朗日函数为：
一阶条件为：
从而可以解得：
所以，支出函数为：
利用对偶性可得，间接效用函数为：
由齐次函数的性质，对于任意的t＞0，可得：
所以，此支出函数是商品价格的一次齐次函数，间接效用函数是商品价格和收入的零次齐次函数。
12 斯通-吉尔里效用函数（Stone-Geary Utility）
消费者需要一定量的食品（x）来维持生存，假设这个量为x 0 ，当购买x 0 的食品时，消费者从食品与其他商品（y）中得到的效用为：
U（x，y）＝（x－x 0 ） α y β
其中α＋β＝1。
a．证明： 如果I＞p x x 0 ，则为取得最大效用，消费者将会在食品x上花费α（I－p x x 0 ）＋p x x 0 ，在其他商品y上花费β（I－p x x 0 ）。解释这个结果。
b．在这个问题中，随着收入增加，p x x/I和p y y/I将会怎样变化？（有关此效用函数的进一步讨论请参见本章扩展部分E4.2。）
解： a．如果x＜x 0 ，则效用值为负，因而消费者将会首先支出p x x 0 。对于剩余的收入I－p x x 0 ，这是一个标准的柯布-道格拉斯效用函数最大化问题，从而有：p x （x－x 0 ）＝α（I－p x x 0 ）。
解得：
p x x＝α（I－p x x 0 ）＋p x x 0
p y y＝β（I－p x x 0 ）
b．由问题a以及预算约束条件可得：
因此，收入增加，则收入中用于购买x的比例将减少，用于购买y的比例将增加。
对I取极限可得：
13 CES间接效用函数和支出函数
现在，我们讨论形式更标准的CES效用函数的间接效用函数和支出函数，函数形式如下：
U（x，y）＝（x δ ＋y δ ） 1/δ
该函数的替代弹性σ＝1/（1－δ）。
a．证明此函数的间接效用函数为：
V＝I（p x r ＋p y r ） － 1/r
其中r＝δ/（δ－1）＝1－σ。
b．证明问题a中计算出的函数是关于价格和收入的零次齐次函数。
c．证明此函数是收入的严格递增函数。
d．证明对于任何价格，该函数都是严格递减的。
e．证明此种情况下的CES效用函数的支出函数为：
E＝V（p x r ＋p y r ） 1/r
f．证明问题e中计算出的函数是关于商品价格的一次齐次函数。
g．证明支出函数是关于任何价格的递增函数。
h．证明函数是任何价格的凹函数。
解： a．设两种商品的价格分别为p x 、p y ，收入为I，则消费者效用最大化问题：
构造拉格朗日函数：L＝（x δ ＋y δ ） 1/δ ＋λ（I－p x x－p y y）。
一阶条件：
解得：
将上式代入U（x，y）＝（x δ ＋y δ ） 1/δ ，得间接效用函数：V＝I（p x r ＋p y r ） － 1/r （其中r＝δ/（δ－1）＝1－σ）。
b．对于任意正数t＞0，有：
所以说，函数V＝I（p x r ＋p y r ） － 1/r 是关于价格和收入的零次齐次函数。
c．∂V/∂I＝（p x r ＋p y r ） － 1/r ＞0，所以说此函数是收入的严格递增函数。
d．
同理可得
，所以说，对于任何价格，此函数是严格递减的。
e．反解间接效用函数得此函数的支出函数：E＝U（p x r ＋p y r ） 1/r 。
f．对于任意正数t＞0，有：E（tp x ，tp y ，U）＝U[（tp x ） r ＋（tp y ） r ] 1/r ＝t·E（p x ，p y ，U）。所以说，函数E＝U（p x r ＋p y r ） 1/r 是关于商品价格的一次齐次函数。
g．
同理可得
，所以说支出函数是关于任何价格的递增函数。
h．对支出函数关于p x 求二阶偏导数得：
所以说，此函数是任何价格的凹函数。
14 利他主义
米歇尔有一个相对高的收入I，并且他十分同情生活贫困、收入很低的索菲亚。假设米歇尔的偏好可由以下效用函数表示：
式中，c 1 、c 2 分别表示米歇尔和索菲亚的消费水平，函数形式和两商品的柯布-道格拉斯效用函数类似。假设米歇尔可以随意支配自己的收入，既可花在自己身上，也可花在索菲亚身上（通过慈善捐赠），并且1美元可为米歇尔或索菲亚带来1单位相等的效用（也就是说，消费的“价格”为p 1 ＝p 2 ＝1）。
a．通过讨论a＝0和a＝1时的极端情况，说明指数a可用于衡量“利他”程度。当a的值为多少时，米歇尔会是一个完美的利他主义者（把别人看作和自己同等重要）？
b．求解米歇尔的最优化选择，并说明其如何随着a的变化而变化。
c．假设所得税为t，求解此时米歇尔的最优化选择。在慈善捐款可税前扣除（用于慈善捐款的那部分收入不纳税）的情况下，米歇尔的选择会发生怎样的变化？对于利他主义程度高和程度低的两种人，慈善捐款扣除对哪一种人的激励作用更大？
d．回到没有税收的简单情况下，假设米歇尔的利他主义可由以下效用函数表示：
该式和前一章扩展部分E3.4相似，根据定义，米歇尔直接关心索菲亚的效用水平，间接关心索菲亚的消费水平。
（1）若索菲亚的效用函数和米歇尔是对称的，即
计算米歇尔的最优选择，并和问题b中的结果加以对比。米歇尔的利他主义程度是更大了还是更小了？解释这一结果。
（2）若索菲亚的效用函数为U 2 （c 2 ）＝c 2 ，重新分析上述问题。
说明： 在查阅英文版教材后，本书认为问题c中的“所得税为t”是指所得税税率，并据此进行解答。
解： a．当a＝0和a＝1时，此时米歇尔的效用函数分别为：
U 1 （c 1 ，c 2 ）＝c 1
U 1 （c 1 ，c 2 ）＝c 2
即当a＝0时，米歇尔效用大小只取决于自己的消费，她是一个纯粹的利己主义者；而当a＝1时，其效用大小完全取决于索菲亚的消费，她是一个纯粹的利他主义者。
当a＝1/2时，米歇尔会是一个完美的利他主义者（把别人看作和自己同等重要），其效用函数为：
b．设米歇尔的收入为m，利用柯布-道格拉斯效用函数的性质可得米歇尔的最优选择为：
进一步可求得：
所以，随着a的提高，在米歇尔的最优选择处，米歇尔的消费水平会降低而索菲亚的消费水平会增加。
c．如果所得税税率为t，此时米歇尔的最优化选择为：
设慈善捐款额为s（0＜s＜m），在慈善捐款可税前扣除（用于慈善捐款的那部分收入不用缴纳所得税）的情况下米歇尔的最优化问题为：
解得米歇尔的最优选择为：
在慈善捐款可税前扣除的情况下，慈善捐款额为s＝c 2 ＝am，而用于慈善捐款的那部分收入也需要缴纳所得税的情况下，慈善捐款额为s＝c 2 ＝am（1－t）。两种情况下慈善捐款额的变化为Δs＝am－am（1－t）＝amt，从而有
因此，利他主义程度越高，慈善捐款扣除对其的激励作用越大。
d．（1）若米歇尔的效用函数
且索菲亚的效用函数
由此可以推出米歇尔的效用函数：
米歇尔的最优选择：
所以，随着a的提高，在米歇尔的最优选择处，米歇尔的消费水平会降低而索菲亚的消费水平会增加。
（2）若索菲亚的效用函数为U 2 （c 2 ）＝c 2 ，此时米歇尔的效用函数为
和问题b中的情况相同。