前言

不确定让人不舒服，可确定又是荒谬的。

——谚语

这本书致力于讨论鲁棒优化——一种用于处理不确定数据优化问题的特定及相对新颖的方法。此前言的第一个目标是让读者更清楚地理解以下两个问题：

●什么是数据不确定性，以及为什么要专门对它进行处理？

●在鲁棒优化中如何处理这一现象，以及这种处理方法和那些对不确定数据进行处理的传统方法相比如何？

第二个目标是概述本书主题以及描述相关内容。

A．优化中的数据不确定性

在本书中，我们打算解决的第一个问题是潜在现象（数据不确定性）是否值得专门处理。为了回答这个问题，考虑一个简单的示例——来自著名的NETLIB库中的问题PILOT4。这是一个线性规划问题，具有1000个变量和410个约束条件，其中一个约束条件（#372）是

根据CPLEX报告，该问题的最优解 x ^* 的相关非零坐标如下：

注意，机器保真度 x ^* 使式（C）为等式。

我们可以观察到，式（C）中的大多数系数是“丑陋的实数”，如-15.79081或-84.644257。这类系数（PILOT4也不例外）通常描述某些技术设备/过程、预测未来需求等，因此很难确切地知道它们的值。可以很自然地假设，“丑陋的实数”实际上是不确定的——它们与相应数据的“真实”值相符，精度最多在3～4位之间。唯一例外的是 x ₈₈₀ 的系数1，可以肯定的是，它可能反映了问题的结构，因此是严谨的。

假设 a 的不确定项是系数 “真实”向量的未知项中精度为0.1%的近似值，让我们看看这种不确定性在 x ^* 情况下对“真实”约束的影响是什么。情况如下：

●在系数与我们的不确定性为0.1%的假设相一致的所有向量中，的最小值＜-104.9；换句话说，对约束条件的违背达到不等式右侧的4.5倍。

●将上述最坏情况下的违背视为“最差情况”（为什么所有不确定系数的真实值应与式（C）中“最危险”的值不同？），考虑一种不那么极端的违背处理。具体来说，假设式（C）中不确定系数的真实值是通过随机扰动从“标准值”[如式（C）所示]获得的。在范围为[-0.001，0.001]的“相对扰动” ξ _j 上是独立且均匀分布的。典型的相对违背可以定义如下：

在 x ^* 下，“真实”（现在为随机）约束的相对违背是多少？答案几乎和最坏的情况一样糟糕（见表1）。

表1 PILOT4中约束372的相对违背（不确定数据中扰动为0.1%的1000个元素样本）

我们看到，“明显不确定”的数据系数的扰动非常小（仅0.1%），这使得“标准”最优解 x ^* 严重不可行，因此实际上毫无意义。

文献[7]的“案例研究”报告中显示，我们刚才描述的现象并不例外——在90个NETLIB线性规划问题中，有13个“丑陋”系数的0.01%扰动导致某些约束违背，在标准最优解中评估超过50%。在这13个问题中，有6个问题的约束违背幅度超过100%，在PILOT4（“冠军”）中，其规模高达210000%，也就是说，达到数据中的相对扰动的7个数量级。

本书中介绍的应用于NETLIB问题的技术可以使人们通过将标准最优解传递给鲁棒最优解来消除前文所述的现象。在0.1%的不确定性下，对于NETLIB中的每一个问题，这种“对不确定性的免疫”（从标准解到鲁棒解时目标值的增加）的代价不到1%（详情见文献[7]）。

从概述的案例研究和许多其他示例中可得出以下几个观察结果。

A．实际优化问题的数据往往是不确定的——不知道问题解决时的确切时间。数据存在不确定性的原因包括：由于不可能准确测量/估计代表物理系统/技术过程/环境条件等特征的数据项而产生的测量/估计错误等。

实现过程中的错误来自无法完全按照计算的方式实现解。例如，无论上述PILOT4中的标准解 x ^* 中的“实际”项是什么——物理系统的控制输入、用于各种目的分配的资源等——很显然它们无法达到与计算时相同的高精度。实现错误的影响，如，就好像没有实现错误一样，但PILOT4约束中的系数 a _ij 受的扰动。

B．在优化的实际应用中，人们不能忽视这样一种可能性，即使数据中的一个小的不确定性，也有可能使标准最优解在实际中失去意义。

C．因此，在优化中，确实需要一种能够在数据不确定情况下，检测严重影响标准最优解质量的方法，并在这些情况下生成一个对数据不确定影响产生免疫的鲁棒解。

鲁棒优化提供了满足这种需求的方法，同时这也是本书的内容。

B．鲁棒优化——范式

为了解释鲁棒优化（RO）的范式，我们首先讨论线性规划的特殊案例——通用优化问题，这可能是最知名以及在应用中最常用的。除了它的重要性，这个通用问题也非常适合我们目前的目的，因为线性规划（LP）程序的结构和数据是清楚的。给定规划的形式，结构是约束矩阵 A 的大小，而数据则由 （ c ， A ， b ） 中的数值组成。在鲁棒优化中，将不确定LP问题定义为在给定不确定性集 U 中数据 （ c ， A ， b ） 变化的情况下，一种通用结构的LP程序的集合。后者总结了解决问题时可用的“真实”数据的所有信息。从概念上讲，最重要的是要解决不确定LP问题意味着什么。这个问题的答案，正如鲁棒优化在其最基本的形式中所提及的，取决于三个隐含的“决策环境”假设。

A.1．决策向量 x 中的所有项都表示“此时此地”的决策：在实际数据“显示”之前，它们应作为解决问题的结果而获得特定的数值。

A.2．当且仅当实际数据在预先指定的不确定性集 U 的范围内时，决策者对所做出决策的结果负责。

A.3．问题中不确定LP的约束是“严格的”——当数据在 U 内时，决策者不能容忍约束违背的行为。

这些假设直接决定了对不确定问题的“不确定性免疫”解的定义。事实上，根据A.1，这样的解应该是一个固定的向量，根据A.2和A.3，无论 U 内的数据实现如何，这些约束条件都应保持可行；我们称其为鲁棒可行解。因此，在我们的决策环境中，一个不确定问题有意义的解就是它的鲁棒可行解。在这样的解中，仍然需要决定如何解释目标的值（也可能是不确定的）。应用到目标时，“以最坏情况为导向”的理念使我们很自然地通过原始目标的确定值来量化一个鲁棒可行解的质量，也就是通过它的最大sup{ c ^T x ： （ c ， A ， b ） ∈ U }。因此，最优鲁棒可行解就是解决下列优化问题的可行解：

或者，以下优化问题的可行解：

后一个问题称为原始不确定问题的鲁棒对等（RC）。RC的可行/最优解称为不确定问题的鲁棒可行/最优解。鲁棒优化方法（在其最简单的版本中）建议与一个不确定问题的鲁棒对等相关联，并将鲁棒最优解作为我们“实际生活”的决策。

在这一点上，将RO范式与更传统的方法进行比较，特别是将优化中的数据不确定性处理方法与随机优化和灵敏度分析进行比较，是具有指导意义的。

鲁棒优化与随机优化。 在随机优化（SO）中，不确定的数值数据被假定为随机数据。在最简单的情况下，这些随机数据服从事先已知的概率分布，而在更高级的设置中，分布仅部分已知。一个不确定的LP问题再次与一个确定的对等问题相关，特别是与下列机会约束问题相关：

其中＜＜1是给定的容差， P 是数据 （ c ， A ， b ） 的分布。当此分布仅部分已知时——众所周知， P 属于数据空间上概率分布的给定集合 P ——上述设置被模糊的机会约束设置所取代，

SO方法似乎没有面向最坏情况的RO方法保守。然而，这一结论的前提是，如果不确定数据确实具有随机性，如果我们足够聪明地指出相关的概率分布（或者至少是真实数据所属的一个“狭窄”分布族），如果我们确实准备接受由机会约束给出的概率保证。在信号处理、业务系统分析与综合等应用中，上述三个条件确实得到了满足。与此同时，在许多应用中，上述三个“如果”都过于严格。考虑个别问题的测量/估计错误，例如PI-LOT4。即使假设为PILOT4准备数据项确实涉及一些随机的东西，我们也许可以考虑在给定真实数据的情况下标准数据的分布，而不是我们实际需要的——在给定标准数据的情况下真实数据的分布。后者很可能没有意义——PILOT4代表一种具有特定决策数据（尽管我们不确定）的特定决策问题，对于给定标准数据的真实数据，我们只能说，真实数据位于标准数据的置信区间内（即使是这样，也可以假设，当测量真实数据以获得标准数据时，没有“罕见事件”发生）。此外，即使真实数据确实具有随机性，通常也很难正确识别其潜在分布。除非有充分的理由事先指定这些分布，只需要少数几个参数。（这些参数进一步可以从观测中估计出来），否则，要准确地确定“一般类型”的多维概率分布，通常需要的观测次数是完全不现实的。因此，随机优化往往被迫对实际分布进行过于简单的猜测（如股票收益的对数正态因子模型），而且通常很难评估这一新的不确定性的影响，即在概率分布中对基于SO决策质量的影响。

上述第三个“如果”——我们愿意接受概率保证，也可能引起争议。为了便于讨论，试想一下，我们拥有一个完美的股市随机模型，就像许多国家每周播放的透明彩票模型一样可靠。股市随机模型的相关性是否使养老基金绩效的相关概率保证对个人客户真的有意义，就像彩票案例中的类似保证一样有意义？我们相信，许多客户会对这个问题做出否定的回答，这是理所当然的。有些人经常买彩票，参与购买了数百次彩票，因此可以把大数定律作为一种迹象，表明概率保证对他们来说确实有意义。与此相反，每个人只购买一次“养老基金彩票”，这使得对概率保证的解释更加成问题。当然，当从不确定数据确切分布的机会约束问题（ChC）过渡到模糊的机会约束问题（Amb）时，上述三个“如果”的约束就变得没有那么严格，并且我们准备考虑的更广的分布族 P 变得限制更少。但是，请注意，从ChC到Amb的转换，从概念上来说，是朝着鲁棒对等方向迈出的一步——后者只不过是与给定集合 U 支持的所有分布中的族 P 相关的模糊的机会约束问题。

事实上，上述三个“如果”应该增加第四个，甚至是更严格的“如果”——只有当这些问题是计算可处理的情况时，机会约束设置ChC和Amb可以被视为“对不确定性免疫”决策的实际来源；当情况并非如此时，这些设置就更像是一厢情愿的想法，而不是实际的决策工具。事实上，机会约束问题的计算可处理性是一种非常罕见的途径——除了一些非常特殊的情况，对于机会约束问题，它很难验证给定的候选解是否可行（特别是当确实很小的时候）。此外，机会约束往往导致非凸可行集，这使得在ChC和Amb中需要的优化有很大问题。与此形成鲜明对比的是，无法确定的线性规划问题的鲁棒对等是可被计算处理的，这提供了潜在的不确定性集 U ，同时，集 U 满足弱凸性和可计算性假设（例如，通过有效计算凸不等式的显式系统给出）。

应该补充的是，与SO相比，RO的“保守”在某些方面是优势而不是劣势。在设计建筑物（如铁路桥）时，通过应用定量技术，工程师通常通过合理的余量增加与安全相关的设计参数（如杆增粗30%～50%），以考虑建模不准确、罕见但重要的环境条件等。借由鲁棒优化方法，通过扩大不确定性集，可以轻松实现“继续停留在保守状态”的愿望。在机会约束问题（ChC）中，情况并非如此，即“不确定性预算”总额是固定的——不确定数据所有实现的总概率质量必须为1，因此，当增加某些“场景”的概率使其更“可见”时，必须降低其他场景的概率，在有些情况下，这种现象是难以处理的。总之，为了保持“保守状态”，人们需要从机会约束问题转移到模糊的机会约束修改，即转向鲁棒对等。

在我们看来，随机优化和鲁棒优化是处理优化中数据不确定性的互补方法，两种方法都具有自己的优点和缺点。例如，如果存在数据不确定性的随机性信息，则可以在RO框架中加以利用，作为一种参考来构建不确定性集 U 。事实证明，后者可以以这样一种方式建立，通过使候选解对来自 U 的数据的所有实现免疫，我们自动使它对几乎所有（即实现总概率质量≤ ）随机扰动免疫，从而使得机会约束问题的解可行。实现这个目标的一个简单方法是选择 U 作为可计算的凸集，“（1 -）支撑”来自 P 中所有分布（即对于所有 P ∈ P ， P （ U ）≥1 -）。然而，在这本书中，我们表明，在不精确的假设下，为实现上述目标，有不明显和更不保守的方法来提出不确定性集。

鲁棒优化和灵敏度分析。 与随机优化一样，另一种处理优化中数据不确定性的传统知识体系是灵敏度分析。这里最重要的问题是通常（标准）的最优解作为潜在标准数据函数的连续性。可以看到，鲁棒优化和随机优化都旨在回答同一个问题（尽管设置不同），建立不确定性数据优化问题对于不确定性免疫的解，而灵敏度分析旨在分析完全不同的问题。

鲁棒优化的历史。 鲁棒优化在应用科学中有许多根源和前驱。其中有的联系是明确的，而有的联系则是一种具有前瞻性的方法，这种方法旨在解释在不同想法下发展起来的方法。我们提到了三个领域，在这些领域中，鲁棒性将继续发挥重要作用。

鲁棒控制。 20世纪90年代，控制系统设计者为了保证控制系统的稳定性对鲁棒控制进行了优化。从历史上看，对鲁棒性的追求可以追溯到20世纪30年代初，Bode等人在反馈放大器的背景下提出的稳定裕度概念。诸如“稳定裕度”这样的问题，即控制系统失稳所需的反馈增益量，自然会引出“最坏情况”的观点，在这种观点中，“坏”参数值太危险，即使概率低也不允许。20世纪80年代后期，当时基于随机优化理念的大规模反馈系统的经典控制方法受到批评，因为它无法保证提供任何稳定裕度。20世纪90年代初， H _∞ 控制的方法发展为对稳定裕度的多元推广。后来，该方法被扩展为 μ -控制，以处理更普遍的参数扰动（ H _∞ 范数度量了一种非常特殊的扰动的鲁棒性）。相应的鲁棒控制设计问题很难解决，但基于锥（精确、半定）优化的松弛方法是在线性矩阵不等式的基础上引入的。

鲁棒统计。 在统计学中，鲁棒性通常是指对异常值的不敏感性。Huber（文献[65]）提出了一种通过修改损失函数来处理异常值的方法。这与鲁棒优化的精确联系还有待建立。

机器学习。 最近，机器学习领域在支持向量机方面掀起了巨大热潮，支持向量机是一种分类算法，它能最大限度地提高对一种特殊不确定性的鲁棒性。我们将在第12章中具体说明。

鲁棒线性和凸优化。 除了前面所概述的，这里考虑的形式中，鲁棒优化本身的范式可以追溯到A.L.Soyster ^[109] ，早在1973年，他就率先考虑了现在所谓的“鲁棒线性规划”问题。据我们所知，在随后的二十年里，关于这一内容的出版物只有两本，即文献[52，106]。在此领域内的研究活动大约在1997年恢复，包括在整数规划（Kouvelis和Yu ^[70] ）和凸规划（Ben-Tal和Nemirovski ^[3，4] ，El Ghaoui等 ^[49，50] ）领域中。自2000年以来，RO领域的理论和应用研究蓬勃发展，全球范围内的研究人员众多，相关贡献的规模和多样性使我们无法在此具体说明。读者可以从文献[9，16，110，89]和其中的参考文献中获得相关研究信息。

C．鲁棒优化的研究范围与本书重点

就其本身而言，RO方法可以应用于每个通用优化问题，其中可以将数值数据（部分不确定且仅属于给定已知的不确定性集）与问题结构（事先知道并且对于不确定问题的所有实例都很常见）分开。特别地，该方法完全适用于以下问题。

●锥问题，即以下形式的凸问题：

其中 K 是给定的“结构良好”的凸锥体，与 A 的大小一起表示问题结构，而数值项 （ c ， A ， b ） 则构成问题的数据。锥问题看起来非常类似于LP程序，当 K 被指定为非负象限时恢复。锥 K 的另外两个常见选择是：

■不同维数的洛伦兹锥的直积。 k 维洛伦兹锥（也称为二阶锥或冰激凌锥）定义为

问题（C）与洛伦兹锥的直积在 K 的作用下被称为锥二次或者二阶曲线规划问题。

■不同大小的半定锥的直积。大小为 k 的半定锥由表示，是所有对称半正定 k × k 矩阵的集合，它“存在”于所有对称 k × k 矩阵的线性空间 S ^k 中。问题（C）与半定锥的直积在 K 的作用下被称为半定规划。

锥二次问题，特别是半定规划问题具有极其丰富的“表达能力”，事实上，半定规划“几乎捕获”了应用中出现的所有凸问题，参见文献[8，32，33]。

●整数和混合整数线性规划，即所有或部分变量进一步被限制为整数的线性规划问题。与鲁棒优化相关的研究广泛的问题可分为三大类。

●RO范式的扩展。事实证明，A.1、A.2、A.3的隐含假设使我们提出了不确定优化问题鲁棒对等的核心概念，这个概念虽然在许多应用中有意义，但在其他一些应用中并不能充分反映处理不确定数据的可能性。目前，以下两个扩展解决了这个灵活性问题。

■全局鲁棒对等。RC概念的扩展与我们修正假设A.2时的情况相对应。具体来说，现在我们需要一个候选解 x 来满足不确定数据在 U 中的所有实例的约束，此外，寻求当 U 中的不确定数据耗尽时，在 x 处评估的约束条件的受控恶化。与不确定（锥）问题的鲁棒对等相对应的是一种优化程序，称为全局鲁棒对等（GRC）：

其中，距离来自相应空间的给定范数， α _obj 、 α _cons 是给定的非负全局灵敏度。

■可调鲁棒对等。RC概念的扩展与以下情况相对应：当某些决策变量 x _j 表示真实数据部分显示时将要做出的“观望”决策，或者分析变量不代表决策时（例如，引入松弛变量，将原始问题转换为规定格式，比如说LP），允许这些可调变量根据真实数据进行调整。具体来说，我们可以假设每个决策变量 x _j 都依赖于（锥）问题的真实数据 （ c ， A ， b ） 的给定“部分” P _j （ c ， A ， b ） ：

x _j = X _j （ P _j （ c ， A ， b ） ）

其中 X _j （·）可以是任意函数。然后，我们要求得到的决策规则满足 U 中数据所有实现的不确定锥问题的约束。不确定锥问题的可调鲁棒对等（ARC）就是优化程序

需要强调的是，式（ARC）中的优化不像RC和GRC中的优化那样是在有限维向量上进行的，而是在无限维决策规则——相应的有限维向量空间上的任意函数 X _j （·）上进行的。在某种程度上，为了应对ARC的计算可处理性，可以限制决策规则的结构，最主要的是使它们在论证中变得合理：

当局限于仿射决策规则时，ARC就成为在有限的许多真实变量 q _j ， r _j ，1≤ j ≤ n 中的优化问题，该问题称为与信息库 P ₁ （·），…， P _n （·）对应的原不确定锥问题的仿射可调鲁棒对等（AARC）。

●鲁棒对等的可处理性问题。

对于不确定锥问题

普通的鲁棒对等

的结构比不确定问题本身的实例更为复杂：式（RC）是所谓的半无限锥问题，它由不确定性集的不确定数据 （ c ， A ， b ） 参数化无限多的锥约束得出。虽然式（RC）仍然是凸的，但半无限性质使它比相关的不确定问题的实例更难计算。式（RC）很有可能是难以计算的，即使不确定性集 U 是一个很好的凸集（例如，球或多面体），而锥 K 像锥二次和半定规划的情况一样简单。同时，为了让RO成为实用的工具，而不是一厢情愿的想法，我们需要RC在计算上是易处理的。毕竟，将问题简化为我们不知道如何计算的优化问题有什么意义呢？在我们看来，这激发了鲁棒优化的主要理论挑战：识别不确定锥问题的RC（GRC、AARC、ARC）允许计算上易于处理的等效重新表述，或者至少是一个计算上易处理的保守近似。在这里，保守意味着对于“真实”鲁棒对等，每个近似的可行解都是可行的。

就我们目前的知识水平而言，这里的“重点”如下：

■当锥 K “尽可能简单”时，即一个非负象限（不确定线性规划的情况），鲁棒对等（在温和的附加结构条件下，还有GRC和AARC）是可计算的，前提是潜在（凸）不确定性集 U 也是如此。后者意味着 U 是一个由有效可计算的凸约束显式系统给出的凸集（比如，一个由线性不等式显式列表给出的多面体）。

■当（凸）不确定性集 U “尽可能简单”时，也就是，一个多面体作为有限合理基数集的凸包（场景不确定性），每当 K 是计算易处理的凸锥时，和线性、锥二次和半定规划的情况一样，RC都是可计算的。

■在上述两个极端之间，例如，在不确定性集作用下的不确定锥二次和半定问题的情况下，RC一般是难以计算的。然而，也有一些对于应用来说很重要的特殊情况，其中RC是易处理的，甚至在更多时候，它允许保守易处理的近似值，这在一定意义上是严格的。

●应用。RO研究的这一途径旨在构建和处理在各种应用中出现的特定优化问题的鲁棒对等。

本书关于鲁棒优化以上三个主要研究领域的内容如下：重点是全面介绍鲁棒优化范式（包括上文提到的扩展，以及与机会约束随机优化的连接）和易处理性问题，主要针对不确定线性、锥二次和半定规划。

D．预备知识和本书主要内容

阅读这本书的前提条件相当简单——从本质上讲，期望读者掌握基本的分析、线性代数和概率知识，以及一般的数学知识。初步的“内容特定”知识（在我们的例子中，这种知识相当于凸优化的基础知识，主要是锥规划和锥对偶，以及凸规划中的可处理性问题）虽然受到高度欢迎，但不是必要的。所有必需的基本知识都可以在补充本书主体内容的附录中找到。

内容。 这本书的主要内容分为以下四个部分。

●第一部分是“此时此地”（即不可调的）鲁棒线性规划的基本理论，这一部分首先详细讨论不确定线性规划问题的概念及其鲁棒/全局鲁棒对等问题的概念。与其他结果一起，我们证明不确定LP问题的RC/GRC是计算易处理的，前提是不确定性集是易处理的。如前所述，这种一般易处理性结果是不确定LP的一个具体特征。第一部分的另一个主要内容是计算保守易处理的近似，它们是带有随机扰动数据的机会约束不确定LP问题的近似解。

第一部分（也许可跳过第4章）可以作为一本关于鲁棒线性规划的独立研究生教科书，或者作为一学期研究生鲁棒优化课程的基础。

●第二部分可以看作第一部分的“锥版本”，其中不可调的鲁棒优化的主要概念扩展到锥形式的不确定凸规划问题，重点讨论不确定锥二次和半定规划问题。正如前面提到的，除了（琐碎的）场景不确定性的情况，不确定CQP/SDP问题的鲁棒/全局鲁棒对等一般是在计算上难以处理的。这就是为什么将重点放在识别和说明一般情况的重要性上，即不确定锥二次/半定问题的RC/GRC允许易处理的重新表述，或保守易处理紧近似。第二部分中考虑的另一个内容是随机扰动数据的机会约束不确定锥二次和半定问题的保守易处理近似。与第一部分的“LP前身”相比，这个内容现在有了一个意外转折：事实证明，机会约束的锥二次/半定不等式的保守易处理近似比锥不等式的RC的严格保守易处理近似更容易构建和处理。这与不确定LP问题的情况完全相反，很容易精确处理RC，但不容易处理不确定线性不等式约束的机会约束。

第二部分的最后研究了在机器学习和线性回归模型中产生的特定“结构良好”不确定凸约束的鲁棒对等。由于在这种情况下出现的最有趣的不确定约束既不是锥二次约束，也不是半定约束，因此与这些约束的RC相关的易处理性问题需要专门处理，这是其他相应章节中的主要目标。

●第三部分致力于鲁棒的多阶段决策，特别是鲁棒动态规划，以及不确定锥问题的可调（重点是仿射可调）鲁棒对等，主要是不确定的多阶段LP。一如既往，我们强调的重点是易处理性问题。我们特别证明，AARC方法允许有效处理具有特定（且事先已知）动态的受不确定性影响的线性动态系统的线性控制器的有限阶段综合。此综合系统的设计规范可以通过对状态和控制的线性约束的通用系统给出，该系统在初始状态和外部输入方面具有鲁棒性。

●第四部分包含三个实例，详细阐述了RO方法的应用。虽然这些例子并不是假装给人一种RO应用广泛的印象，但我们相信，这些例子为我们对主要理论的处理增加了“一点现实”因素。

阅读模式。 我们认为，熟悉第一部分是阅读第二部分和第三部分的自然前提，然而，后两部分也可以独立阅读。此外，对机会约束内容不感兴趣的读者可以跳过第2、4和10章，对这部分内容感兴趣的读者可以在第一次阅读中跳过第4章。

致谢。 在关于鲁棒优化的长达十年的研究中，我们曾与许多优秀的同事和优秀的学生合作，这些合作对本书的内容贡献巨大。非常感谢那些有幸与我们在RO相关研究中以各种方式合作的人：A.Beck、D.Bertsimas、S.Boyd、O.Boni、D.Brown、G.Calafiore、M.Campi、F.DanBarb、Y.Eldar、B.Golany、A.Goryashko、E.Guslitzer、R.Hildenbrand、G.Iyengar、A.Juditsky、M.Kočvara、H.Lebret、T.Margalit、Yu.Nesterov、A.Nilim、F.Oustry、C.Roos、A.Shapiro、S.Shtern、M.Sim、T.Terlaky、U.Topcu、L.Tuncel、J.-Ph.Vial、J.Zowe。特别感谢D.denHertog和E.Stinstra允许我们使用他们在电视管制造中关于鲁棒模型的研究结果（15.1节）。

感谢以下几个机构的相关财政支持：以色列科技部（0200-1-98）、以色列科学基金会（306/94-3，683/99-10.0）、德国-以色列研发基金会（I0455-214.06/95）、德国密涅瓦基金会、美国国家科学基金会（DMS-0510324、MSPA-MCS-0625371、SES-0835531）和美国-以色列国家科学基金会（2002038）。

Aharon Ben-Tal
Laurent El Ghaoui
Arkadi Nemirovski
2008年11月