鲁棒优化最新章节_阿哈龙·本-塔尔著

4.4 优化

有一种可以从上述的概率 }上进行限定的方法，其中 ζ _ℓ 是独立随机变量。这种方法是用“更分散”的随机变量 ξ _ℓ 来替换 ζ _ℓ （意思是当我们用 ξ _ℓ 替换 ζ _ℓ ，此问题的概率会增加），这使得量（现在所讨论的是概率上限）很容易处理。我们的目标是在具有关于0对称和单峰的概率分布的随机变量下研究概述的方法。

在第2章中，关于0单峰的随机变量被定义为具有在ℝ _- 上非递减且在ℝ ₊ 上非递增的概率密度的变量，与此相反，现在变量取值为0且概率为正是很方便的。因此，以下在轴上关于0对称单峰的概率分布 P 是由给定的分布，其中 A 是ℝ的一个可测量的子集， p （·）≥0是在ℝ ₊ 函数上不递增的偶函数，使得，且 δ （ A ）要么是要么是0，这取决于0是否属于 A 。我们称 p （·）为 P 的密度，如果 p （·）是一个通常的概率密度，则说 P 是规律的，即（或者，等价地，在0处没有重要的概率质量）。

接下来，我们用 P 表示所有关于0对称和单峰的随机变量的密度族，用∏表示这些随机变量的密度族。

如果我们想让概述方案发挥作用，“更分散的”随机变量的概念应该包含以下内容：如果 p ， q ∈ P 且 q 比 p 是“更分散的”，即，对于每一个 a ≥0，我们应该有。我们将这个需求定义为“更分散的”。

定义4.4.1 让 p ， q ∈ P 。如果

则 q 比 p 更分散（注释：或者）。

当 ξ ， η ∈∏，如果对应的密度是相同的关系，我们说 η 比 ξ 更分散（注释：。

可以立即看出，这种关系在 P 上是偏序的；这种顺序被称为“单调优势”。众所周知，下面给出了这个顺序的等价描述。

命题4.4.2 让 π ， θ ∈∏，让 ν ， q 是 θ 的概率分布和密度，并且让 μ ， p 是 π 的概率分布和密度。最后，设 M _b 是在轴上连续可微的偶和有界函数的族，且在ℝ ₊ 上非递减。则当且仅当

等价于当且仅当

此外，当式（4.4.1）发生时，不等式（4.4.1）和（4.4.2）对轴上的每一个偶函数都成立，且在ℝ ₊ 上非递减。

该命题的有关证明，请参见附录B.1.5。

例4.4.3 让 _ξ ∈∏是一个[-1，1]上的随机变量， ζ 是一个[-1，1]上的均匀分布且遵循 η ～ N （0，2/ π ）。我们称。

事实上，设 p （·）， q （·）为随机变量 π ， θ ∈∏的密度。则函数和在 t ≥0时是凸函数并且在 P （ t ）≤ Q （ t ）时，。设在[-1，1]上 π ∈∏，且 θ 在[-1，1]上是均匀的。则当 P （0）≤1/2且在[0，∞）时， P （ t ）是凸函数，在 t ≥1时， P （ t ）≡ P （1），在 t ≥0时， Q （ t ）=1/2max[1 -t ，0]。由于 Q （0）≥ P （0）， Q （1）= P （1），且 P 是凸函数， Q 在[0，1]上是线性的，所以对于所有 t ∈[0，1]，都有 P （ t ）≤ Q （ t ），因此对于所有的 t ≥0，有 P （ t ）≤ Q （ t ），因而。假设 π 在[-1，1]上均匀分布，则 P （ t ）=1/2max[1 -t ，0]且 θ 服从 N （0，2/ π ），因此 Q （ t ）是一个凸函数，从而对于所有 t ≥0，有 Q （ t ）≥ Q （0）+ Q ′（0） t =（1 -t ）/2。结合 Q （ t ）≥0， t ≥0，得到对于所有的 t ≥0， P （ t ）≤ Q （ t ），因而。