4.3 在风险与收益方面从Bernstein近似值到条件值

Bernstein近似是一种限定随机变量的概率为正的特殊情况，它是概念上的简单方法。方法如下。

4.3.1 基于生成函数的近似方案

考虑随机变量

z 是参数的确定性向量， ζ _ℓ 是具有明确定义期望的随机扰动。根据以上对

p （ z ） =Prob{ ξ ^z ＞0}

进行限制，我们将一个生成函数 γ （ s ）固定在轴上，其中 γ （·）是凸的且不减的函数，

既然 γ 在原点处是不减的且≥1，对于所有的 s ≥0有 γ （ s ）≥1；除此之外， γ 是非负的， Ψ _* （ z ） ≡ E { γ （ ξ ^z ） }在 p （ z ） 上是一个上界：

p （ z ） ≤ Ψ _* （ z ）

注意 Ψ _* （ z ） 是 z 的一个凸函数；从现在起，我们假定它处处都是有限的。在这个假设下，我们有

假设我们能找到一个在ℝ中取值的凸函数 Ψ （ z ） ，使

以至于对所有的 z 都有 p （ z ） ≤ Ψ （ z ） 。既然对于所有的 α ＞0都有 p （ z ） = p （ α z ） ，我们有

我们基本上得出了以下简单的结论。

命题4.3.1 给定 ∈（0，1）且满足式（4.3.1）的生成函数 γ （·），让 Ψ （ z ） 是一个满足式（4.3.2）的有限凸函数。我们设置

则 是以下凸不等式（如式（4.2.6））的解集：

这个不等式是机会约束（4.0.1）的保守标准近似。

该命题的有关证明，请参见附录B.1.4。

注意Bernstein近似，本质上是与命题4.3.1相关联的近似方案的一种特殊情况，对应于选择 γ （ s ）=exp{ s }。通过这种生成函数的选择，ln（ Ψ _* （ z ） ）是一个凸函数，它允许我们在“对数尺度”中操作，即，以在ln Ψ _* （ z ） 上的凸强函数 Φ （ z ） 开始，并使用边界（4.3.3）的等效版本

∀（ α ＞0， z ） ：ln p （ z ） ≤ Φ （ α z ）

4.3.2 的鲁棒对等表示

除了命题4.3.1的前提，假设

其中 ψ （·）是一个具有有界水平集的适当选择的下半连续凸函数。应用定理B.1.2，我们得出对于每一个 ∈（0，1），集合

是一个非空凸紧集，并且

换句话说， 只是不确定线性不等式

的鲁棒可行集，且 与凸紧不确定性集 有关。

从美学的角度来看，有关 鲁棒对等表示的一个缺点是，在式（4.3.5）中 z ₀ 的系数变得不确定，而不是和我们之前所有的结果一样等于1。不过这很容易矫正。事实上，让

我们称 ，其中 是凸紧集，且

其中 是不确定线性不等式

的鲁棒可行集，同时 是不确定性集。为了证明我们的说法，首先，请注意式（4.3.2）中的第二个关系式同 Ψ 的凸性结合起来，表示对于每一个有界集合 U ⊂ℝ ^L ，只要 t 足够大，对于 z ∈ U 的所有向量[ -t ； z ]∈ℝ ^{L +1} 都包含在 中。既然 是一个锥，则 e =[-1；0；…； 。如果存在一个向量 ，则向量 ζ = 0 。事实上，我们知道

假设某一 时， ζ ₀ ≤0，我们由式（4.3.7）可得 ，事实并非如此。事实上，同样观察到 的情况，与式（4.3.7）不同，此时 =ℝ ^{L +1} ，这与我们所知道的 不同。底线是这样一种情况，即 是一个封闭凸集，且被包含在 ζ ₀ ≥0的半空间中，且与该半空间的边界超平面 ζ ₀ =0相交，如果有的话，在唯一一点 ζ = 0 存在，但是不能化简到该点；因此，向量 在 是密集的，其中 ζ ₀ ＞0，这结合了式（4.3.7）和 的定义，并表明

此外，集合 ，根据其构造，是凸的（因为 也是这样），且是非空和封闭的。唯一没有被证明的部分是 是有界的；但这是式（4.3.8）的直接结果且事实是 。

4.3.3 风险条件下生成函数和条件值的最优选择

一个很自然的问题是，如何选择函数 γ （·）。如果唯一的标准是边界（4.3.3）的质量，答案将是

或者在我们的上下文中是一样的，即 γ （ s ）=max[1+ αs ，0]，其中 α ＞0（注意生成函数 γ （ s ）和 γ _α （ s ）= γ （ αs ）， α ＞0产生同样的近似 ）。事实上，设 γ （·）是一个生成函数（即满足式（4.3.1）的函数）， Ψ （ z ） 是一个凸函数，使得

并使

我们称 Ψ _# （ z ） 是ℝ ^L 上的一个有限凸函数且

所以与 Ψ _# 相关的边界（4.3.3）至少和 Ψ 相关的边界一样好，因此式（4.0.1）的可行集的保守近似 不再像 的近似一样保守。

事实上， ζ _ℓ 有明确定义的期望，所以 Ψ _# 可以良好定义。由于 γ 满足式（4.3.1），显然得到 γ ′（+0）＞0。将 γ （ s ）替换为 γ （ βs ）， β ＞0（从而将 Ψ （ z ） 替换为 Ψ （ β z ） ），我们不改变式（4.3.3）的右边；以这种方式“缩放” γ ，我们可以强制 γ ′（+0）=1。在后一种情况下，对于所有的 s （回忆一下 γ 是凸的且 γ （0）≥1），我们有 γ （ s ）≥ γ （0）+ γ ′（+0） s ≥1+ s 。此外，由于 γ （·）≥0，我们得出结论，对于所有的 s ， γ （ s ）≥ γ _# （ s ），也因此对于所有的 z 有 Ψ _# （ z ） ≤ Ψ （ z ） ，这表明了式（4.3.10）中所述的所有事实。

对于扰动向量 ζ 的给定分布 P ， Ψ 的“最优”选择

与条件风险价值 紧密相关，其与参数随机变量 相关。对于一个期望被良好定义的随机变量 ξ 且 ∈（0，1），则相关的条件风险价值定义为

众所周知，得到了这个关系式右边的下确界，并且 。除此之外，如果 ξ 是参数形式 和所有 ζ _ℓ 有良好定义期望，则 是 z 上的凸函数，因此关系

是一个关于 z 的凸不等式，并且它的有效性是Prob{ ξ ^z ＞0}≤ 的充分条件。这个条件和结构之间的联系在下面的观察中解释。

命题4.3.2 设 ζ 是具有期望的分布 P 的一个随机扰动，设 ∈（0，1）并且 是式（4.3.10）中的相关集合。于是有

证明 我们有

从后一种关系可以立即得出 。正如我们所提到的， 是 z 的一个有限凸函数，所以这个函数是连续的，因此 C 是一个闭集。因此，上述结论表明 。为了证明相反的结论，设 z ∈ C ，并证明 。为此，很清楚地观察到函数

是一个有限的凸函数，随着 ，因此，该函数在特定的 a = a _* 时达到最小值。由于 z ∈ C ，我们有

从后一个不等式中，得到 a _* ≤0。在 a _* ＜0的情况下，关系式（4.3.14）表示 。如果 a _* =0，那么式（4.3.15）表明，在 ξ ^z ≤0时的概率为1，据此，设置 z ′ =[ z ₀ -δ ； z ₁ ；…； z _L ]， δ ＞0，我们得到在 时概率为1。在后一种情况下，对于所有小的正数 α ，我们有 。根据关系式（4.3.14），表明 。随着 δ →+0， z ′→ z ，我们得到 。

4.3.4 易处理的问题

我们已经看到，在所有基于生成函数的近似方案产生的近似中，机会约束（4.0.1）中的“CVaR近似” ，是最好的，即最不保守的。鉴于这个事实，为什么我们会对其他更保守的近似，例如Bernstein近似感兴趣呢？

答案是，保守程度并不是唯一的考虑因素：我们感兴趣的是计算易处理的近似，为此，潜在的函数 Ψ 应该是可有效计算的。对于Bernstein近似，确实是这样，只要随机扰动 ζ _ℓ 独立，且不属于太复杂的分布族（参见4.2节中的示例）。相反，函数 Ψ _# 在CVaR近似下是不能有效计算的，即使 ζ _ℓ 是独立的并且具有简单的分布（例如，在[-1，1]中是均匀分布的）。似乎我们在计算 Ψ _# 时没有困难的唯一的一般情况是，当 ζ 被支持在一个有限的中等基数的集合上，在这种情况下，CVaR近似由以下给出。

命题4.3.3 让 ζ ∈ℝ ^L 是一个取值 ζ ¹ ，…， ζ ^N 时概率为 π ₁ ，…， π _N 的离散随机向量。于是

并且CVaR近似的鲁棒对等表示是

证明 我们有

相应地，由4.3.2节可得

这与命题中所陈述的内容是等价的。

4.3.5 向量不等式的扩展

概述的方法可以应用于随机扰动向量不等式的机会约束版本

其中

其中， z ⁰ ， z ¹ ，…， z ^L ∈ℝ ^d 是确定性参数， _ζℓ 是随机扰动且 K 是ℝ ^d 内部非空给定的闭凸锥。为此，选择一个凸函数 γ 以满足条件，当ℝ ^d →ℝ时， K 是单调的。

γ （ y + h ） ≥ γ （ y ） ，∀ （ h ∈ K ， y ∈ℝ ^d ）

并且满足关系

γ （ y ） ≥0，∀ y ； γ （ y ） ≥1，∀ （ y ∉ -K ）

和

∃ e :∀ y : γ （ y + t e ） →0， t →∞

例如，我们可以选择一个在ℝ ^d 上的范数 ，设

并且利用 e 使用来自-int K 的一个方向。

如上所述，给定一个 γ （·），假设在处理中，我们有一个处处有限的函数 Ψ （ z ） ，它在 z =[ z ⁰ ； z ¹ ；…； z ^L ]上是凸的，并且在 E { γ （ ξ ^z ） }上是一个上界， ψ （ u ） 是凸的下半连续函数，且 ψ （ u ） 具有有界的水平集，使得

在概述的情况下可以很容易证明以下内容。

（i）

（ii）集合 }满足在 时， ；

（iii）集合 只是不确定线性约束

的鲁棒可行集，且集合 与非空凸紧扰动集 相关。

4.3.6 在Bernstein近似和CVaR近似之间架起桥梁

我们已经看到机会约束（4.0.1）的Bernstein近似是构建约束的保守凸近似的一般生成函数方案的特殊情况，而且这种特殊的近似在保守性方面不是最好的。什么使它有吸引力，是在某些结构假设下（即 ζ ₁ ，…， ζ _L 的独立性加上函数ln（ E {exp{ sζℓ }}）的有效可计算的凸上界的可用性），这种近似在计算上是易于处理的。我们现在要解决的问题是，如何在不牺牲计算易处理性的前提下，在一定程度上降低Bernstein近似的保守性。其思路如下，我们有以下假设。

A．随机扰动 ζ ₁ ，…， ζ _L 是独立的，我们可以有效地计算相关的矩生成函数

Ψ _ℓ （ s ）= E {exp{ sζℓ }}：C→C

在此假设下，当 是一个指数多项式，可以有效地计算函数

换句话说，

（！）当生成函数 γ （·）：ℝ→ℝ为指数多项式时，且满足式（4.3.1），则与 相关的上界

是有效可计算的。

我们现在可以在以下结构中使用（！）。

给定设计参数 T ＞0（“窗宽”）和 d （“近似度”），我们建立了三角多项式

通过求解以下最优一致近似问题：

使用（！）中的指数多项式

可以立即证实以下结论。

（i）概述的结构定义良好，生成函数 γ _{d ， T} （ s ）的结果是一个指数多项式，满足式（4.3.1）的要求，从而在 p （ z ） 上产生一个有效可计算的凸上界。

（ii）根据（！），得到的 p （ z ） 的上界小于或等于与 γ （ s ）=exp{ s }相关的Bernstein上界。

生成函数 γ _11，8 （·）如图4-2所示。

模糊机会约束的情况 。与普通近似相比，改进的Bernstein近似的一个缺点是，改进的近似需要独立随机变量 ζ _ℓ 的矩生成函数 E {exp{ sζℓ }}， s ∈C的精确知识，而那些已知部分 ζ _ℓ 的分布情况的原始近似需要知道这些函数的上界，因此适用于模糊机会约束。这样的部分信息等价于这样一个事实，即 ζ 的分布 P 属于在ℝ ^L 上乘积概率分布空间中的一个给定族 P 。在这种情况下，我们所需要的是有效计算凸函数

凸函数与 P 与满足式（4.3.1）的给定生成函数 γ （·）相关。当 ΨP （·）可用时，模糊机会约束

的一个计算上易于处理的保守近似是

目前，在我们已经考虑过的“普通的”Bernstein近似的所有应用中，族 P 包含了关于 P _ℓ 的所有乘积分布 P = P ₁ ×…× P _L ，这些“简单”的 P _ℓ 通过给定族 P _ℓ 在轴上的概率分布，允许我们直接计算函数

在我们的处理中且在 γ （ s ）=exp{ s }的情况下，函数

是容易获得的，它仅仅是 。然而，请注意，当 γ （·）是一个指数多项式而不是指数时，与之相关的函数 ΨP （ z ） 不能通过函数 Ψ _ℓ （·）简单的表示。因此，在机会约束模糊的情况下，如何实现改进的Bernstein近似确实是不清楚的。

我们当前的目标是在一个特定的模糊机会约束（4.3.19）的情况下实现改进的Bernstein近似，即当 P 由所有的乘积分布 P = P ₁ ×…× P _L 组成时，且 P _ℓ 在已知 （如例4.2.8）时满足约束

结果如下。

命题4.3.4 对于刚刚定义的族 P ，当 γ （·）满足式（4.3.1）时，有

其中 ，且 是由

给定且在区间[-1，1]端点处成立的分布。

特别地，当 γ （·）≡ γ _d ， T （·）时，函数 ΨP （ z ） 是有效可计算的。

证明 只要证明以下几点就足够了。

要求：如果 P = P ₁ ×…× P _L ，其中 P _ℓ 满足式（4.3.20）且 ℓ _* ∈{1，…， L }，然后从分布 P 到分布 （显然也属于 P ），我们不减少相关的量 。

在证明时，我们可以假设 ℓ _* =1。

让我们设置

由于 γ （·）满足式（4.3.1），函数 是一个有限凸函数，且当 z ₁ ≥0时不减小，当 z ₁ ＜0时不增加。在 方面，我们称

后一个关系式的证明是直接的。令 ，且 是凸的，我们有

既然当 z ₁ ≥0时 不是递减的，且 z ₁ ＜0时 不是递增的，则当 z ₁ ≥0，区间 时，函数 ϕ （ r ）不是递减的，当 z ₁ ＜0，在同样的区间内则不是递增的。既然 _{μ 1} 属于式（4.3.20）的这个区间，当 z ₁ ≥0时我们有 ，且当 z ₁ ＜0时 ，这意味着在这两种情况下有 （参见式（4.3.21）中的等式），因此式（4.3.22）表明了式（4.3.21）中的不等式。

4.3.6.1 说明Ⅰ

为了阐述我们的发现，假设在式（4.0.1）中，所有关于随机扰动 _ζℓ 的先验信息是它们是独立的，且在[-1，1]上成立，均值为零。让我们阐述相应的模糊机会约束的保守近似

其中 P 在[-1，1]上成立，且均值为零，是所有 L 概率分布集合的族。请注意，在最近的检查中，当我们所讨论的不是模糊的机会约束，而是通常的约束，下面列出的所有近似方案得到的结果保持不变， _ζ 均匀地分布在单位盒 的顶点上。

我们将阐述这些近似，它们的保守性在上升且它们的复杂性在下降。在可能的情况下，我们给出了近似的“不等式形式”（通过一种显式凸约束组）和“鲁棒对等形式”

● CVaR近似 [命题4.3.2]

尽管CVaR近似是在基于所有生成函数的近似中最不保守的，但它通常是难以处理的。当从模糊的机会约束情况到 ζ _ℓ 在[-1，1]上均匀分布时（这相当于用 替换式（4.3.24）中的 ，它仍然是难以处理的。

我们“提出”了CVaR近似的不等式形式。通过命题4.1.3和命题4.3.1，这种近似承认鲁棒对等形式；后者“存在于自然界”，但在计算上难以处理，因此用处不大。

● 桥接的Bernstein-CVaR近似 [命题4.3.4]

其中 d ， T 是结构参数以及 γ _d ， T 是式（4.3.18）中的指数多项式。注意，我们使用命题4.3.4来处理感兴趣的机会约束的模糊性。

尽管式（4.3.25）的表示极其复杂，但函数 Ψ _{d ， T} 是有效计算的（通过命题4.3.4中的公式，而不是式（4.3.25））。因此，我们的近似在计算上是易于处理的。回想一下，这个易于处理的保守近似没有一般的Bernstein近似保守。

由于命题4.1.3和命题4.3.1，式（4.3.24）中的近似展示出鲁棒对等形式，现在涉及一个计算上易处理的不确定性集 Z ^BCV ；然而，这个集合似乎没有显式表示。

● Bernstein近似 [例4.2.8]

● 具有球-盒不确定性的鲁棒对等近似 [命题2.3.3，或等价地，例2.4.9以及定理2.4.4]

可以立即看出式（4.3.27）是式（4.3.26）的简化保守版本，即，从式（4.3.26）看出，式（4.3.27）可由熵 ϕ （ u ）的二次下界求得，其中

（为了得到这个边界，注意当 时 ϕ （0）= ϕ ′（0）=0且 ，因此

● 具有预算不确定性的鲁棒对等近似 [命题2.3.4]

注意（4.3.28）显然是由不等式

给出的式（4.3.27）的简化保守版本，这意味着 Z ^BIBx ⊂ Z ^Bdg 。

我们列出的计算上易处理的不确定性集形成一个链：

Z ^BCV ⊂ Z ^Brn ⊂ Z ^BIBx ⊂ Z ^Bdg

在图4-3中，我们绘制了嵌套不确定性集的随机二维横截面，这给人的印象是这个链中的“缝隙”。

4.3.6.2 说明Ⅱ

这个说明是例4.2.9的延续，我们使用上述近似方案来建立以下模糊机会约束问题的保守近似：

其中，像之前一样， P 在[-1，1]上成立，且其是概率分布的 L 元组集合并且均值为零。由于我们的机会约束的简单性，在这里可以有效地建立问题的CVaR近似。此外，我们还可以精确地求解机会约束问题

其中， U 均匀地分布在单位盒 的顶点上。这实际上是例4.2.9中的问题（ P ）。显然，Opt ⁺ （ ）是式（4.3.29）中模糊机会约束问题的真正的最优值Opt（ ）的上界，而我们的近似的最优值是Opt（ ）的下界。在实验中，我们使用 L =128。结果如图4-4和表4-1所示。