4.1 标量机会约束的保守凸近似的鲁棒对等表示

回想一下，机会约束（4.0.1）的保守近似是变量 z 的凸约束组 S ，其中可能有额外的变量 u ，以至于约束组可行集在 z 变量空间上的投影 Z [ S ]包含在机会约束的可行集中（参考定义2.2.1）。在第2章中，我们处理了一个特殊的近似方案（将在下面的4.2节中重新讨论），它产生了一个鲁棒对等近似：

其中 显然是一个给定的凸紧集。换句话说，近似约束要求从 z 开始对具有适当定义的“人工的”不确定性集 的不确定约束（4.0.2）是鲁棒可行的。

我们将要证明式（4.0.1）的保守凸近似的“鲁棒对等表示”是机会约束的广泛近似的一个共同性质，而不是第2章中考虑的近似的一个特定性质。

我们首先观察式（4.0.1）中定义的机会约束的真正可行集 Z _* ，它具有以下性质。

（i） Z _* 是一个锥集，意味着无论何时 z ∈ Z _* 并且 λ ≥0时，都有0∈ Z _* 并且 λ z ∈ Z _* ；

（ii） Z _* 是封闭的；

（iii）集合 ，其中 z ₀ ＜0，并且足够大的| z ₀ |包含在 Z _* ；

（iv）集合 Z [ z ₀ ]，其中 z ₀ 足够大，不与 Z _* 相交。

对于式（4.0.1）的保守凸近似 S ，集合 Z [ S ]总是继承 Z _* 的性质iv。我们介绍以下内容。

定义4.1.1 如果 Z [ S ]继承 Z _* 的性质i～iii（以及所有四个性质），则式（4.0.1）的保守凸近似 S 被称为是标准的。

评注4.1.2 对于式（4.0.1）的保守凸近似 S ，集合 Z = Z [ S ]是凸的。由此可立即得出，保守近似 S 的标准性等价于这样一个事实： Z = Z [ S ]⊂ Z _* 是一个闭凸锥，且 e ≡[-1；0；…；0]∈int Z 且 -e ∉ Z 。

我们对机会约束的标准保守近似的兴趣源于以下简单的观察。

命题4.1.3 设 S 是机会约束（4.0.1）的标准保守凸近似。则近似是鲁棒对等表示：存在一个凸紧不确定性集 Z ，使得

证明 假设 S 是标准的。如我们所知，集合 Z = Z [ S ]是一个闭凸锥，其中 e ∈int Z 且 -e ∉ Z 。对于每一个闭凸锥， Z 是其反对偶锥 Z _- 的反对偶：

Z 有一个非空的内部， Z _- 是一个闭合的尖凸锥，且 e ∈int Z ，集合

是一个与来自 Z _- 的所有非平凡射线相交的凸紧集。因此，集合 Z ={ _ζ ∈ℝ ^L ：[1； _ζ ]∈ Z _- }是一个凸紧集，并且

命题4.1.3表明，机会约束的不确定线性不等式的自然保守近似只不过是这个不确定不等式的RC，且与适当的凸紧不确定性集相关联。当这个近似问题是易处理的，这个不确定性集也是易处理的（模弱正则性假设）。我们现在的工作是，引入一些具体的保守近似方案。 MZ+Tb/hGOX6701VPYEkkcOCIBpdswIB2dBjYtvyDozzSxSrnYSXsW5PeUiD4/2cq