3.3 实例：天线阵列的综合问题

为了说明全局鲁棒对等的概念，我们考虑一个与天线阵列综合问题有关的实例。

3.3.1 建立模型

天线阵列 。发射天线最基本的元件是发射波长为 λ 和频率为 ω 的球形单色电磁波的各向同性谐波振荡器。当它们被调用时，振荡器产生一个电磁场，其在点 P 处的电分量为

其中，权重 z 是一个复数，它负责如何调用振荡器， t 是时间， d 是 P 和振荡器放置点之间的距离， 是一个虚数单位。由放置在 P 点的 n 个相干（即具有相同频率）各向同性振荡器阵列所产生的电磁场的电分量 P ₁ ，…， P _n 为

其中， z _k ∈C是第 k 个振荡器的权重。当 P 距原点的距离 r 较大时：

忽略 r ^-2 的项， E 的表达式就变成

其中， 且 ϕ _k （ e ） 为方向 e （从原点出发到 P _k ）和 e _k （从原点出发到 P ） 之间的角度。一个单位三维方向 e 的复值函数 D （ e ） 称为天线阵列图。结果表明，图中的平方模 与天线发出的电磁能量的方向密度成正比。 ^[1]

在一个典型的天线设计问题中，给定了各向同性单色振荡器的数目和位置，并用复杂的权重 z _k 来分配它们，从而得到的图（或其模）尽可能接近所希望的“目标”。在简单的情况下，这样的问题可以用线性优化程序来建模。

例3.3.1 考虑一个沿轴放置的 n 个元素组成的等距振子单元网格 P _k = k i ，其中， i 表示 x 轴的基向量。这种天线的图只取决于三维方向 e 与 x 轴方向 i 之间的夹角 ϕ ，0≤ ϕ _≤π ，且给定

（从这里开始，我们将 D （ e ） 写成 D （ ϕ ） ）。现在考虑设计问题，给定一个“感兴趣的角度” Δ ∈（0，π），应该选择权重 z _k 以便从天线发射的大部分能量沿着锥 K _Δ 发送，锥由所有0≤ ^ϕ ≤ Δ 的三维方向组成（即沿着普通的三维锥， x 轴的非负射线受到中心射线和“角宽”2 Δ 的作用）。有很多方法可以为我们的设计规范建模；我们选择如下简单的方法。首先注意，当所有权重乘以一个普通的非零复数时，我们不改变能量的方向分布；因此，我们通过要求 D （0）的实部大于或等于1对权值进行归一化，这样不会有损失。我们现在可以由以下量量化旁瓣角（ K _Δ 的补集）发送的能量：

（旁瓣电平），并将我们的问题作为半无限优化问题

这个天线设计模型（简化了的）有一个重要的优点：虽然它是半无限问题，但也是一个凸问题。我们可以通过将区间[ Δ ，π]替换为该区间的精细有限网格 Φ 来消除半无限，从而得到凸规划

这不是一个精确的LO规划，因为所讨论的绝对值是复数的模（即二维向量的欧几里得范数）。为了克服这个困难，让我们用“多面体范数”来近似一个复数 z 的模 ，具体来说，所用范数为

几何上，我们用外切 L 边完美多边形逼近单位二维圆盘。我们显然有

例如， p ₁₂ （| z |）近似于 z 的相对精度为3.5%，已经足够准确了。用 p ₁₂ （·）代替|·|，我们得到如下LO规划：

天线设计问题 ：给定振荡器个数 n ，波长 λ ，在区间[ Δ ，π]上感兴趣的角度 Δ 和一个有限的网格 Φ ，解决如下LO规划

不确定性的来源 。在天线设计问题中，至少有两个数据不确定性来源要考虑。

i）定位误差。 制造天线时，振荡器不能沿理想的等距网格放置。此外，由于温度、风等影响因素的变化导致天线变形，它们的位置随时间变化而变化。为了简化问题，假设定位误差只影响从原点到振荡器的距离，而不影响从原点到振荡器的方向，因此后者属于 x 轴。我们可以用集合 来模拟定位扰动，其中， δd _k 是第 k 个振荡器到原点的实际距离 d _k 与该距离的标准值 的偏差，并且我们假设定位扰动穿过盒 。

ii）驱动误差。 实际上，权重 z _k 是某些物理设备的特定参数，因此它们在计算时不能被精确地估计。可以将这些不可避免的驱动误差建模为乘性扰动 ，其中， ξk ∈C；我们把 作为驱动误差的水平。

显然，这两种不确定性来源都可以被认为是不确定性数据的来源。实际上，式（3.3.3）中的所有约束都是如下这种形式的

其中， p ， q 是确定的。扰动 的结果与没有定位扰动和驱动误差的结果是完全相同的，但是系数 ζ _k = ζk （ d _k ）会受到扰动

3.3.2 标准解：梦想和现实

在考虑如何使解免受数据不确定性的影响之前，有必要先思考一下我们是否需要考虑这种不确定性。毕竟，定位扰动和驱动误差都是相当小的（比如说，大约是相应标准值的1%）。此外，这个问题很明显是属于软约束范畴的——无论数据的扰动如何，标准解仍然具有物理意义（可以这么说，设计的天线不会爆炸）。唯一可能发生的糟糕事情是旁瓣电平的实际值将比标准值更差。如果这一水平的恶化与数据扰动是“相同量级”的（例如，在振荡器的位置和权重中1%的扰动导致旁瓣电平增加3%～5%），我们仍然可以满足于标准解的方案。不幸的是，情况并非如此——在天线设计问题中，即使很小（0.01%）的数据扰动也会导致设计标准的巨大（数百个百分比）变化。情况是否真的如此，取决于标准数据。下面是一个非常糟糕的参数示例：

在这种参数条件下，连续振荡器之间的距离等于波长的1/8，而感兴趣的空间角度——我们想要发送尽可能多能量的空间角度——由与轴向 i 的角度距离最多为30°的方向组成。注意，这些方向 ^[2] 集合的相对球面度量是1-cos（π/6）/2≈0.067。当用标准数据和等距90点网格 Φ 在[0，π]上求解式（3.3.3）时，我们最终得到一个如图3-1所示的漂亮的标准解。对于这个解，并且没有数据扰动，旁瓣电平低至0.0025，能量集中（沿着所需角度的总传输能量的比例）高达99.99%。不幸的是，这些美好的结果只是一个梦想——用非常小的（ =0.0001）随机扰动的定位，或随机驱动误差水平为 ρ =0.0001，我们的设计完全是一场灾难。例如，我们可以看一下，在振荡器和权重的随机扰动位置下，由标准设计产生的旁瓣电平和能量集中情况。首先需要注意的是，在数据的随机扰动下，天线图变得随机，因此不一定满足归一化要求R{ D （0）}≥1。为了解释这一现象，我们缩放样本图，使 D （0）等于1，并观察得到的图的旁瓣电平和能量集中。表3-1中的数据表明当 ρ =0.0001时，标准设计的旁瓣电平平均从其标准值0.0025跳到2.08，而能量集中从其标准值99.99%下降到仅8%——能量好像几乎均匀地向各个方向发送！另外，在我们面前的标准设计是多么的糟糕——不切实际的低！——数据的不确定性可以由图3-1所示的样本图反映出来，特别是由同一图中的“能量密度”图反映出来。

对于一个给定的图，它的能量密度定义如下。我们计算空间角度 K _s 与 i 最多形成角 s 的所有方向传输的能量，并将该能量视为 K _s 数的球面测度的函数，从而得到了[0，4π]上的函数。能量密度 p （ s ）不过是所得结果函数的导数。

图3-1中第二行图的结构如下：我们生成100个数据扰动的样本，其大小在图中显示，并在单个图上绘制100个由此产生的能量密度。图3-1中的密度图显示，在平均（超过0.01%的数据扰动）下，能量密度几乎是对称的，这意味着在数据扰动下，标准设计不区分感兴趣的方向和相反方向。底线是，即使存在的数据不确定性很小，标准设计也会变得毫无意义。

3.3.3 对不确定性的免疫能力

策略 。为了说明目的，我们准备以不同的方式对待这两种不确定性来源。具体来说，将定位误差对数据系数的扰动视为不确定性影响的正常范围，而驱动误差带来的影响将通过相应的全局灵敏度来控制。

指定扰动结构 。为了实现我们的策略，考虑一个来自式（3.3.3）的约束（3.3.4）。系数 ζ _k 的实际值为

其中， 以及 ϕ ∈[0，π]是固定的， δd _k 是定位误差， ξ _k 是驱动误差。我们希望确保

其中， p ， q 是给定的实数， α ≥0是给定的关于驱动误差的全局灵敏度。这和确保

是相同的。

考虑到 ，后一种关系清楚地表明

这和对变量 z _k ， τ 的要求

是相同的。

注意式（3.3.7. a ）表示

其中， Γ _k 是单位圆C=ℝ ² 上的弧 的凸包。这个凸包 Γ _k 是一个锥二次可表示集，使式（3.3.7. a ）等价于一个显式的锥二次不等式有限组（定理1.3.4）。我们倾向于简化GRC结构，将 Γ _k 替换成三角形 Δ _k （其外接弧为 γ _k ）（见图3-2）。在稍微增加保守性的同时，这种近似允许将式（3.3.7. a ）重写为显式凸约束

其中， v _{k 1} ， v _{k 2} ， v _{k 3} 是三角形 Δ _k 的顶点。用这种方法，式（3.3.4）的GRC由以下凸约束对给出

这就是式（3.3.4）对应于扰动结构的GRC，其中 Z = Δ ₁ ×…× Δ _n ， L =C ⁿ =ℝ ^{2 n} 且 。

式（3.3.3）的GRC是通过将式（3.3.3）中的每一个约束替换为相应的约束（3.3.8. a ）得到的，约束（3.3.8. a ）实际上给出了一个对设计变量的线性约束组，当谈到驱动误差时，通过添加约束（3.3.7. b ）来“负责”全局灵敏度（该约束对来自不同约束（3.3.3）的所有对式（3.3.8）都是通用的）。式（3.3.3）得到的GRC具有一个线性目标，一组线性约束和一个单个锥二次约束（3.3.7. b ）。 ^[3]

鲁棒设计 。为了说明目的，我们建立了两个鲁棒设计：第一个（称为“RC设计”）是在不考虑驱动误差的情况下免疫1%的定位误差（相当于GRC中 =0.01， α =∞）；结果设计对驱动误差的实际全局灵敏度为 α =9.404。第二个（GRC）设计是在保留 =0.01，并将全局灵敏度 α 设为3时获得的。所有三种设计（标准、RC和GRC）的性能见表3-1，并在图3-1中进行了说明。我们可以看到，客观来说，针对0.01量级定位误差的设计进行“免疫”的代价是相当昂贵的：RC旁瓣电平为0.106，而标准旁瓣电平为0.0025，在标准数据下评估的RC设计的能量集中为84%，比标准设计的99.99%低16%。然而，好消息是，虽然标准设计的良好性能纯粹是想象的问题——它完全被低至0.01%的定位/驱动误差破坏，RC设计的性能完全免受 =0.01的定位误差的影响，对驱动误差的灵敏度比标准设计的性能低得多（相应的全局灵敏度分别为9.4和3.0e6）。然而，RC设计的性能对驱动误差仍然过于敏感：当这些误差的水平 ρ 从0增长到0.03时，旁瓣电平平均值从0.11上升到0.28，能量集中从0.84下降到0.46。GRC设计就是为了缓和这种现象；这里我们要求对驱动误差的灵敏度最多为3（而RC设计产生的灵敏度为9.4）。因此，我们再次失去了最佳性：对于GRC设计，在没有数据扰动的情况下，旁瓣电平为0.15，能量集中为70%（相比之下，RC设计的旁瓣电平和能量集中分别为0.11和84%）。作为一种补偿，GRC设计与RC设计相比，很好地免疫了驱动误差：当这些误差水平为3%时（即 ρ =0.03），GRC设计的性能基本上与根本没有驱动误差（即 ρ =0）时相同。

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[1] 对于接收天线，其图（在数学上，完全类似于发射天线图）的平方模| D （ e ） | ² 与天线对沿某一方向 e 入射的频率为 ω 的平面波的灵敏度成正比。

[2] 回想一下，当方向是单位三维向量时，即单位球面上的点在ℝ ³ 中的情况。根据定义，方向集合 A （即，单位球面的子集）的相对球面度量是集合的面积除以整个单位球的面积4π。

[3] 通过 p ₁₂ （ z _k ），我们可以进一步近似式（3.3.7. b ）中的| z _k |，从而得到等价于LO规划的GRC模型。 MZ+Tb/hGOX6701VPYEkkcOCIBpdswIB2dBjYtvyDozzSxSrnYSXsW5PeUiD4/2cq