3.1 全局鲁棒对等
——动机和定义

让我们回到鲁棒对等的基础概念，即，假设A.1～A.3，并重点关注A.3。这一假设不是“普遍真理”——事实上，确实有一些约束要求是不能被违反的（例如，你不能要求一个负的供应），但是某些对约束的违反，虽然是不可取的，但在某种程度上它们是被允许存在的（例如，有时你可以通过一些“紧急措施”容忍某种资源短缺，如在市场购买它、雇用分包商、办理贷款等）。对这种针对数据不确定性的“软”约束进行免疫，也许应该用一种比一般的鲁棒对等方法更灵活的方式来完成。在前一种情况下，我们需要确保约束对来自给定不确定性集的所有数据都具有有效性，而不关心数据在该集合之外时会发生什么。对于软约束，我们也可以考虑在后一种情况下会发生什么，也就是说，当数据远离不确定性集时，通过确保约束的控制恶化来考虑。下面是针对上述要求的一个简单数学模型。

考虑变量 x 中的不确定线性约束

其中， ζ 是扰动向量（参考式（1.3.4）和式（1.3.5））。令 Z ₊ 是所有“物理上可能的”扰动的集合， Z ⊂ Z ₊ 是扰动的“正常范围”——满足约束条件的范围。使用一般的鲁棒对等方法，我们处理唯一的扰动集 Z ，并要求一个候选解 x 来满足所有 ζ ∈ Z 的约束。在我们的新方法中，我们增加了这样一个要求：当 ζ ∈ Z ₊ \ Z （这是超出正常范围的“物理上可能的”扰动）时，对约束的违反程度应该以一个常数乘以 ζ 到 Z 的距离为界限。这两个要求——对 ζ ∈ Z 的约束的有效性以及在 ζ ∈ Z ₊ \ Z 时违反约束的界限，可以由

表示，其中， α ≥0是给定的“全局灵敏度”。

为了让这一个要求易于处理，我们在处理步骤中添加了一些结构。具体来说，我们有如下假设。

（G.a）扰动向量 ζ 的正常范围 Z 是一个非空闭凸集；

（G.b）所有“物理上可能的”扰动的集合 Z ₊ 是一个 Z 和闭凸锥 L 的和：

（G.c）我们测量从点 ζ ∈ Z ₊ 到扰动集 Z 的正常范围的距离，这种方法和 Z ₊ 的结构（3.1.2）一致，具体如下式

其中， 是ℝ ^L 的固定范数。

在接下来的内容中，我们将（G.a～G.c）中的三重算子 作为不确定约束（3.1.1）的一个扰动结构。

定义3.1.1 给定 α ≥0和扰动结构 ，如果 x 满足半无限约束

我们认为向量 x 是不确定线性约束（3.1.1）的全局鲁棒可行解，具有全局灵敏度 α 。我们将半无限约束（3.1.4）称为不确定约束（3.1.1）的全局鲁棒对等（GRC）。

注意，全局灵敏度 α =0对应于最保守的状态，其中约束必须满足所有物理上可能的扰动；当 α =0时，GRC成为 Z ₊ 在扰动集作用下的不确定约束的一般RC。 α 越大，GRC的保守性越小。

现在，给出了一个含仿射扰动数据的不确定线性优化规划

（不失一般性地，我们假设目标是确定的）和扰动结构 ，我们可以用它的全局鲁棒对等替换每一个约束，从而以式（3.1.5）的GRC结束。在这个构造中，我们可以将不同灵敏度参数 α 与不同约束联系起来。此外，我们可以将这些灵敏度作为设计变量而不是固定参数，在这些变量上添加线性约束，并且 x 和 α 的优化函数都是原始目标和灵敏度加权和的混合目标函数。 g4mVp6uT1E4AF2u2HyGET9lCNdxPDLbOs4JpLW5UyO5nAwB3/6upCqvW1Gw2R/nM