2.5 练习

练习2.1 证明例2.4.12中的想法。

练习2.2 考虑简单机会约束的LO问题：

其中， ζ ₁ ，…， ζ _n 是均匀分布在[-1，1]上的独立随机变量。

（i）找到该问题的一种解决办法，并求出当 n =16256， =0.05，0.0005，0.000005时，该问题的真正最优解 t _tru 。

提示 ： x ₁ =…= x _n =1表示确定性约束。我们需要的是用一种有效的方法来计算均匀分布在[-1，1]上的 n 个非独立随机变量之和 ξ ⁿ 的概率分布Prob{ ξ ⁿ ＜ t }。 ξ ⁿ 的分布密度明显在[ -n ， n ]上，并且在每一个分段区间[ -n +2 i ， -n +2 i +2]，0≤ i ≤ n 上是一个 n -1次多项式。这些多项式的系数可以通过 n 次简单的递归运算得到。

（ii）对于和（i）中相同的（ n ， ）对，计算问题的可处理近似的最优解如下：

（a） t _Nrm ——在式（2.5.1）中，用“标准近似”（这是一个高斯随机变量，具有与 ξ ⁿ [ x ]相同的均值和标准差）代替“真”随机变量 ξ ⁿ [ x ]时得到的问题的最优解；

（b） t _Bll ——由命题2.3.1给定的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解；

（c） t _BllBx ——由命题2.3.3给定的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解；

（d） t _Bdg ——由命题2.3.4给定的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解；

（e） t _E.2.4.11 ——由例2.4.11提出的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解，其中，设 ；

（f） t _E.2.4.12 ——由例2.4.12提出的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解，其中，设 ；

（g） t _E.2.4.13 ——由例2.4.13提出的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解，其中，设 ；

（h） t _Unim ——由例2.4.7提出的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解。

将这些结果相互比较，并与（i）中的结果比较。

练习2.3 考虑独立随机变量 ζ ₁ ，…， ζ _n 以0.5的概率取值±1时的机会约束LO问题（2.5.1）。

（i）找到该问题的一种解决方法，并求出当 n =16256， =0.05，0.0005，0.000005时，该问题的真正最优解 t _tru 。

（ii）对于和（i）中相同的（ n ， ）对，计算问题的可处理近似的最优解如下：

（a） t _Nrm ——在式（2.5.1）中，用“标准近似”（这是一个高斯随机变量，具有与 ξ ⁿ 相同的均值和标准差）代替“真”随机变量 ξ ⁿ 时得到的问题的最优解；

（b） t _Bll ——由命题2.3.1给定的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解；

（c） t _BllBx ——由命题2.3.3给定的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解；

（d） t _Bdg ——由命题2.3.4给定的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解；

（e） t _E.2.4.11 ——由例2.4.11提出的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解，其中，设 μ ^± =0， ν =1；

（f） t _E.2.4.12 ——由例2.4.12提出的式（2.5.1）的保守易处理近似最优解，其中，设 ν =1。

将这些结果相互比较，并与（i）中的结果比较。

练习2.4 A）验证当 n =2 ^k 是2的整数次幂时，构建一个所有项均为±1的 n × n 矩阵 B _n ，其中，第一列的所有项均等于1，且行相互正交。

提示 ：使用递归 。

B）设 n =2 ^k 且 为如下所示的随机向量。我们从（A）中固定一个向量 B _n 。为了得到 ζ 的一个实现，我们生成随机变量 η ～ N （0，1），并在矩阵 η B _n 中随机选取（根据{1，…， n }上的均匀分布）一列，所得到的向量即为我们生成的 。

B.1）证明 ζ _j 的边际分布和 的协方差矩阵与随机向量 ）的完全相同。由此可见，最原始的检验分布也无法区分 和 的差别。

B.2）考虑在 ＜1/（2 n ）条件下的问题（2.5.1），并计算出当（a） ζ 是 ，（b） ζ 是 情况下的最优解。比较 n =10， =0.01； n =100， =0.001； n =1000， =0.0001条件下的结果。 MZ+Tb/hGOX6701VPYEkkcOCIBpdswIB2dBjYtvyDozzSxSrnYSXsW5PeUiD4/2cq