2.4 扩展

在上一节中，我们重点关注了如何构建随机扰动线性约束（2.2.1）的机会（2.2.3）的保守近似。在式（2.3.1）的特定假设情况下，我们选择了适当的扰动集 Z ，以式（2.2.1）中的RC形式构建了一个近似。我们把这种近似结构推广到比式（2.3.1）关注的范围更为广泛的随机扰动族。具体来说，我们假设影响式（2.2.1）的随机扰动 ζ 具有以下性质。

P.1. ζℓ ， ℓ =1，…， L 是独立的随机变量；

P.2．由 _ζℓ 组成的分布 P _ℓ 为

其中，已知常数 。

性质P.2可以在稍后将要考虑的几个有趣例子中得到验证。现在，我们来推导性质P.1～P.2的一些结果。

给定P.1～P.2，考虑事件 的概率 p （ z ） 的边界问题，其中 z =[ z ₀ ； z ₁ ；…； z _L ]是一个给定的确定性向量。我们设

进而，通过P.1～P.2，对所有确定性实数 w ₁ ，…， w _L 有

我们有

我们已经得到不等式

∀ α ＞0：ln p （ z ） ≤ αz ₀ + Φ （ α [ z ₁ ；…； z _L ]）

如果，对于某个 α ＞0，这个不等式的右边小于或等于ln ），则这个不等式表明 p （ z ） ≤ 。我们可以得出以下结论。

（*）无论何时，对于给定的 ∈（0，1）和 z ，则存在 α ＞0使得

有

换言之，集合

包含在机会约束（2.4.5）的可行集中。

现在，式（2.4.5）的可行集是明确闭合的，由于该可行集包含集合 ，所以它也包含集合

我们需要寻找到对集合 更加清楚的描述。首先，我们应该了解当一个给定的点 z 是属于集合 的情况。根据后一个集合的定义，当且仅当

假设 ，函数 f _z （ α ）在[0，∞）上达到它的最小值，并且这个最小值是 f _z （0）=0（当 a （ z ） ≥0时）或 （当 a （ z ） ＜0时）。由于ln（ ）＜0，所以我们得出结论，在 b （ z ） ＞0的情况下，关系式（2.4.7）成立的充要条件是 0，即

当 b （ z ） =0时，当且仅当 a （ z ） ＜0时，关系式（2.4.7）成立。总结：当且仅当 z 满足式（2.4.8），且 a （ z ） ＜0时， 。这个集合的闭包 正是式（2.4.8）的解的集合。我们已经证明了以下几点。

命题2.4.1 在假设P.1～P.2的条件下，关系式（2.4.8）是式（2.4.5）成立的一个充分条件。换句话说，变量 z 的显式凸约束（2.4.8）是机会约束（2.4.5）的保守近似。

作为直接推论，我们得到以下有用的陈述。

命题2.4.2 令 ζ _ℓ ， ℓ =1，…， L 是满足P.2分布的独立随机变量。然后，对于每个确定性向量[ z ₁ ；…； z _L ]和常数 Ω ≥0，有

证明 设

我们保证式（2.4.8）是有效的；根据命题2.4.1，有

考虑到 z ₀ 的初始值，该式即为式（2.4.9）。

现在让我们做以下观察。

（**）考虑由以下锥二次表示式给出的扰动集 Z ：

其中，根据定义， a ² /0 ² 为0或+∞取决于 a =0或 a ≠0。那么对于每个向量 y ∈ℝ ^L 有

事实上，我们有 ，来源于

我们可以将我们的发现总结如下。

定理2.4.3 令影响式（2.2.1）的随机扰动服从P.1～P.2，并考虑对应于扰动集（2.4.10）的（2.2.1）RC。这个RC可以用显式凸不等式等价表示为

对于机会约束（2.2.3），该不等式的每个可行解都是可行的。

证明 根据定义，当且仅当

或者

时， x 对所讨论的RC是可行的。

根据（**），后一个不等式就是式（2.4.11），并且根据命题2.4.1，对于这个不等式的每一个解，我们都有

其中，随机向量 ζ 服从P.1～P.2。

2.4.1 有界扰动情况下的改进

除假设P.1～P.2之外，我们假设 ζ _ℓ 具有有界范围：

其中， 是确定性的。在这种情况下，定理2.4.3允许进行以下改进（参见命题2.3.3）。

定理2.4.4 假设影响式（2.2.1）的随机扰动服从P.1～P.2和式（2.4.12），且对于所有的 ℓ ，有 ，并考虑对应于以下扰动集的（2.2.1）的RC（参考式（2.4.10））：

其中，根据定义， a ² /0 ² 为0或+∞取决于 a =0或 a ≠0。这个RC可以用凸不等式组等价表示为

其中， x ， u ，v为变量。此外，任何 x 都可以扩展为后一个组的可行解 （ x ， u ，v），对于机会约束（2.2.2）而言都是可行的。

证明1 ⁰ 让我们来证明一下当 时，每个向量 z =[ z ₀ ； z ₁ ；…； z _L ]可等价为

可以立即看出，这种等价方式的有效性在系数“位移” 情况下保持不变，因此，我们可以假设，不失一般性地，有

我们首先证明式（2.4.15. b ）可以表明式（2.4.15. a ）；令 u ，v满足关系式（2.4.15. b ），并令 η ∈ Z 。然后，对于每一个 ℓ ，有 ，它与式（2.4.15. b .2）结合在一起可以表明

除此之外，由于 Z 的定义条件中的限制，我们有 η = η ⁰ + η ¹ 并且 Ω ² 。因此，

其中结论不等式由式（2.4.15. b .3）给出。结合式（2.4.17），式（2.4.18）和式（2.4.15. b .1），我们得到式（2.4.15. a ）。

接下来我们证明式（2.4.15. a ）可以表明式（2.4.15. b ）。令

使得 P ， Q 是凸紧集且 Z = P ∩ Q ；除此之外，我们显然有 ，1≤ ℓ ≤ L }。首先，假设，对于所有 ℓ ，有 ，因此int P ∩int Q ≠∅。在这种情况下，根据众所周知的凸分析结果，向量 z =[ z ₀ ；…； z _L ]满足关系式

当且仅当存在一种分解方式 z = u +v且

第一个不等式清楚地表明 u 满足式（2.4.15. b .2），而第二个不等式通过（**），表明v满足式（2.4.15. b .3）。因此， z 满足式（2.4.15. b ），如证明要求所述。

我们证明了若 z 满足式（2.4.15. a ）并且所有不等式 严格成立，则 z 满足式（2.4.15. b ）；为了完成式（2.4.15）的证明，我们所需要做的就是证明在某些情况下，不等式 是等式时，后一个结论仍然有效。为此，假设 z 满足式（2.4.15. a ），令 t 为一个正整数，令 ，并且对 进行与之同理的假设。令

根据 z 满足式（2.4.15. a ）的事实，通过标准的紧性参数，可以得出如下结论：

令 ，1≤ ℓ ≤ L ，有

根据（2.4.15. a ）⇒（2.4.15. b ）的证明过程，当用 代替 ，用 z ^t 代替 z 时，从不等式（2.4.15. b ）中获得的由变量 u ， v 约束的组 S ^t 允许 u ^t ， v ^t 作为可行解。从式（2.4.16）可以得出，如果 u ， v 是 S ^t 的解，且 u ＇， v ＇满足 ， u ＇+ v ＇= u + v 的形式，以及 ，1≤ ℓ ≤ L 与 u ， v 对应的项的符号相同且数值较小，那么 u ＇， v ＇也是 S ^t 的解。由此可知，上述 u ^t ，v ^t 可以选择一致有界。

事实上，如果对于某一 ℓ ≥1，我们有 ，那么，用 和 代替 u ^t ， v ^t 中的第 ℓ 个坐标，并保持 u ^t ，v ^t 其余的项不变，我们可以得到一个 u ， v 中的第 ℓ 个坐标以 大小为界的 S ^t 的新的可行解。类似 的修正是可能被采用的；应用这些修正，对于任一 ℓ ≥1，我们可以确保 不超过 。当然，在这种归一化的情况下， S ^t 的解不需要具有太大数值的项 。

对于 u ^t ， v ^t 一致有界，传递到一个子序列的情况，我们可以假设随着 t →∞，有 u ^t → u ， v ^t → v ；因为随着 t →∞， z ^t = u ^t + v ^t → z ，由于 d _t →0， t →∞，所以“扰动”数据 收敛于“真实”数据 ， u ， v 的事实证明了 z 满足式（2.4.15. b ）。

2 ⁰ 由式（2.4.15）可知，式（2.4.14）中的约束组等价于表示 x 对于不确定不等式（2.2.1）是鲁棒可行的，扰动集为（2.4.13）。我们需要证明的是，当 x 可以扩展为式（2.4.14）的可行解 （ x ， u ， v ） 时， x 对于机会约束（2.2.2）是可行的。设 z _ℓ =[ a ^ℓ ] ^T x -b ^ℓ ， ℓ =0，1，…， L ，并调用式（2.4.14. a ），我们可以得到

由于 ζ 从盒 ，1≤ ℓ ≤ L }中取值的概率为1，根据式（2.4.14. b ），我们一定有 A ≤0。将命题2.4.1应用于 v ，作为 z ，并调用式（2.4.14. c ）。我们得出结论Prob{ B ＞0}≤ 。因此，Prob{ A + B ＞0}的值，即 x 违反机会约束（2.2.2）的概率，是小于或等于 的。

2.4.2 实例

为了使定理2.4.3、2.4.4中提出的结构有用，我们应该理解如何将扰动向量 ζ 中 ζ _ℓ 分布的部分先验知识“转换”为P.2中的参数 ， σ _ℓ 的具体值。我们将举出几个具有启发性的实例来说明这种“转换”方法（其中大多数源自文献[83]）。

2.4.2.1 关于归一化的说明

为了避免公式出现混乱，我们对 ζ _ℓ 的分量进行适当的归一化。我们感兴趣的是一个随机扰动不等式

根据满足P.1～P.2的随机量 ζ =[ ζ ₁ ；…； ζ _L ]，以及命题2.4.1给出的特定界限，这个不等式将被违反。现在假设我们对每个分量 ζ _ℓ 进行确定性仿射变换，设

其中， β _ℓ ＞0， α _ℓ 是确定性的。通过这种替换，式（2.4.19）中的左边部分变为

当然，还有

现在，如果 ζ 满足P.1～P.2中的某些参数 ，那么 满足相同的假设，且参数 由下式给定

由此可见，命题2.4.1、2.4.2和定理2.4.3、2.4.4遵循了替换（2.4.20）：当我们使用这种机制时，关于概率（2.4.22）的结论是，使用^量得出的结论与我们在使用原始量时相同。例如，原始量中的关键条件（2.4.8）与^的量完全相同。因为对应于式（2.4.21）和式（2.4.23），我们有

底线是：当原始随机变量从 ζ _ℓ 按比例缩放至 时，我们没有任何损失。下面，我们主要研究变量 ζ _ℓ 在给定的有限范围[ a _ℓ ， b _ℓ ]， a _ℓ ＜ b _ℓ 内的变化情况。当 变量的变化范围在[-1，1]上时，对 ζ _ℓ 进行缩放是很方便的。我们总是假设这个缩放是提前进行过的，所以变量 ζ _ℓ 本身的取值范围即限定在[-1，1]上。

2.4.2.2 高斯扰动

例2.4.5 假设 ζ ₁ ，…， ζ _L 是已知部分期望 μ _ℓ 和方差 信息的独立高斯随机变量；具体来说，我们所知道的是 ，且 和 σ _ℓ ，1≤ ℓ ≤ L 是已知的。对于 μ ∈[ μ ^- ， μ ⁺ ]且 ζ ～ N （ μ ^， σ ² ），我们有

我们发现 ζ 满足P.1～P.2的参数为 ， σ _ℓ ， ℓ =1，…， L 。由定理2.4.3给出的式（2.2.3）的保守易处理近似为

当 ， σ _ℓ =1， ℓ =1，…， L 时，该式即为式（2.2.1）在 时的球RC（2.2.3）。

请注意，在所讨论的简单情况下，模糊的机会约束（2.2.3）不需要近似值：当 1/2时，它完全等价于凸约束

其中，ErfInv是逆误差函数（2.3.22）。当我们假设 ζ 是高斯分布时，情况也是如此，我们所知道的关于 ζ 的期望 μ 和协方差矩阵 Σ 的所有信息是 。请注意，式（2.4.25）的结构与式（2.4.24）完全相同，唯一的区别在 因子上。在式（2.4.24）中，该因子是 ，而在式（2.4.25）中，该因子是 。但是，这个区别并没有那么大，从下面的比较中可以看出来：

2.4.2.3 有界扰动

例2.4.6 假设我们所知道的概率分布 P 的支持范围是[-1，1]。那么

因此， P 满足P.2且 μ ^- =-1， μ ⁺ =1， σ =0。

特别地，如果我们知道影响式（2.2.1）的随机扰动 ζ 是在[-1，1]中独立变化的 ζℓ ，即，对于所有的 ℓ ，有 ， σ _ℓ =0，那么RC（2.4.11）变为

这只不过是盒RC（2.3.15），它提供了对不确定性100%的免疫。注意，由于有了先验信息， _ζ 可以是来自单位盒的任意确定性扰动，因此在这种情况下，这个RC是我们能够构建的最佳RC。

2.4.2.4 有界单峰扰动

例2.4.7 假设我们所知道的概率分布 P 的支持范围是[-1，1]，并且是关于0的单峰分布，也就是说，具有关于0的单峰分布密度 p （ s ）（即，当 s ＜0时为非递减，当 s ＞0时为非递增）。在这种情况下，假设 t ≥0，我们有

可以明显看出后一个 p （·）的泛函数，仅限于关于0的单峰分布密度，当 p （ s ）在[-1，0]上取零时获得它的最大值，并且在[0，1]上 p （ s ）≡1。因此

事实上，假设 P 拥有仅存在于[-1，1]上，且当 s ＜0时不减， s ＞0时不增的平滑密度 p （ s ），并且设 。我们有

其中， 。由于 p 是上述提到的关于0的单峰分布，并且仅存在于[-1，1]上，函数 q （ s ）= -sp′ （ s ）是非负的，并且也仅存在于[-1，1]上；除此之外， ，即， q （·）表示分布在[-1，1]上的概率分布密度。此外，函数 F （ s ）/ s 在 s 定义域上显然是非递减的（回顾一下 t ≥0的情况）。因此

正如式（2.4.26）中所要求的。

我们已经证明了，当 P 的分布密度是仅存在于[-1，1]上，平滑的关于0的单峰分布密度函数时，式（2.4.26）是成立的。现在，对于每一个连续函数 ϕ （·），每一个分布在[-1，1]上的关于0的单峰分布概率密度函数 p （ s ）都可以近似为一个仅存在于[-1，1]上的平滑的单峰序列，这里的意义体现为 。指定 ϕ （ s ）=exp{ ts }，并注意到，正如我们已经看到的， ，我们总结出式（2.4.26）对于每一个仅存在于[-1，1]上的关于0的单峰分布 P 都是有效的。

根据对称性，我们从式（2.4.26）中得到

由此可得

现在，直接计算表明， h （0）=0， 并且 。对于所有 t ≥0的情况，有一个很自然的猜测是

这个猜测的确是正确的：

其中，将exp{ ts }和 展开成泰勒级数得到结论式。可以看出，式（*）右边的级数在项上优于左边的级数，因此最后一个“？≤？”的确是“≤”。

我们得出结论， P 满足P.2且

2.4.2.5 有界对称单峰扰动

例2.4.8 假设我们所知道的概率分布 P 的支持范围为[-1，1]，且是关于0的单峰分布和关于0的对称分布。在这种情况下，我们有

这里很容易看出，当 ^， -1≤ s ≤1时，后一个泛函数在[-1，1]上的单峰对称概率密度值达到最大，因此

事实上，正如式（2.4.26）中的证明，当 p （ s ）为光滑均匀密度，仅存在于 s ＜1上且在 s ＞0上为非增函数时，就足以证明式（2.4.27）成立。设 且 q （ s ）=-2 sp′ （ s ），正如式（2.4.26）的证明内容，我们有 ，函数 F （ s ）/ s 是非减函数，并且 q （ s ）是[0，1]上的概率密度函数，此时 。

直接计算表明，函数 h （ t ）=ln f （ t ）满足 h （0）=0， ，一个很自然的猜测是

对于所有 t ，下式也成立：

由例2.4.7中相同的参数可知，式（*）确实成立。我们得出结论， P 满足P.2且 μ ^- = μ ⁺ =0， 。

2.4.2.6 范围和期望信息

例2.4.9 假设我们所知道的概率分布 P 的支持范围为[-1，1]，并且相关随机变量的期望属于给定的区间[ μ ^- ， μ ⁺ ]中；当然，我们可以假设-1≤ μ ^- ≤ μ ⁺ ≤1。令 μ 是 P 的均值。给定 t ，考虑以下函数

ϕ （ s ）=exp{ ts }-sinh（ t ） s ，-1≤ s ≤1

这个函数在[-1，1]上是凸的，因此在这段区间的端点处达到最大值。由于 ϕ （1）= ϕ （-1）=cosh（ t ），我们有

因此，

注意，在这种情况下——当 P 是一个两点分布，分配（1+ μ ^）/ 2给点 s =1，分配（1 -μ ^）/ 2给点 s =-1时，边界（2.4.28）是最好的；事实上，这种分布的支持范围在[-1，1]上且数学期望为 μ 。

设 h _μ （ t ）=ln f _μ （ t ），我们有

以及对所有 t ，均有 。我们得出这样的结论

（！）当 μ ^- ≤ μ ≤ μ ⁺ 时，我们有 。

现在我们设

图2-2a中绘制了 Σ （1）（ μ ^- ， μ ⁺ ），-1≤ μ ^- ≤ μ ⁺ ≤1的图像。通过（！）， Σ （1）（ μ ^- ， μ ⁺ ）有了较好的定义且小于或等于1，回顾式（2.4.28），

因此， P 满足P.2且参数 μ ^± ， σ = Σ （1）（ μ ^- ， μ ⁺ ）≤1。

评注2.4.10 我们已经证明了命题2.3.1。事实上，在这个命题的前提下，例2.4.9（此处设 μ ^± =0）表明随机变量 ζ _ℓ 满足P.1～P.2且参数 ， σ _ℓ =1， ℓ =1，…， L ，这使得命题2.3.1成为命题2.4.2的一个特例。

2.4.3 更多实例

例2.4.9是非常有意义的，我们可以继续从这个例子中概述的方向出发，利用越来越详细的 ζ _ℓ 分布信息。

在进一步讨论这种类型的实例之前，让我们先理清例2.4.9中所使用的主要推理因素，即我们建立关键不等式（2.4.28）的方式。类似的推理可以用于下面所有实例中。这个问题的本质是：给定轴上的函数 w _t （ s ）（在例2.4.9中是exp{ ts }）和“矩型”信息

其中，概率分布 P 的范围是给定轴上的 Δ 区域（在例2.4.9中， J ₌ ={1}， J _≤ =∅， μ ₁ = μ ^， g ₁ （ s ）≡ s ，且 Δ =[-1，1]），我们希望从∫ w ^t （ s ）d P （ s ）的值以上限定边界。我们使用的是一种拉格朗日松弛方法：我们观察发现 P 的分布信息表明，当 λ _j ， j ∈ J ₌ ∪ J _≤ 时， λ _j ≥0对所有的 j ∈ J _≤ 均成立，我们有

其中，结论不等式由以下事实给出： P 是一个支持范围为 Δ 的概率分布，与我们的先验矩信息一致。

在接下来的例子中，当证明类似于式（2.4.28）的不等式时，我们选择了恰当 λ _j （在式（2.4.28）的情况下， λ ₁ =sinh（ t ））的概述边界方案。事实上，使用的 λ 是由 λ 内所得的界的极小化给出的，但我们不妨直接证明这个事实；我们只是证明所得的界是不可改进的，因为它在某些分布 P 上是相等的，与我们的先验信息一致。

2.4.3.1 范围、均值和方差信息

例2.4.11 假设我们所知道的概率分布 P 的支持范围是[-1，1]且Mean[ P ]∈[ μ ^- ， μ ⁺ ]，Var[ P ]≤ ν ² ，其中 ν 和 μ ^± 都是已知的。不失一般性地，我们可以关注 μ ^± ≤ ν ≤1。

（i）在 μ =Mean[ P ]条件下，有

而边界（2.4.31）在以下情况下是最可能的：当 t ＞0时，它是两点分布，分别将（1 -μ ^）2 /（1-2 μ + ν ² ）和（ ν ² -μ ² ）/（1-2 μ + ν ² ）分配给点 和1。这种 分布和我们的先验信息： 是一致的。当 t ＜0时，当 P 是 关于0的“反射” 时，达到边界（2.4.31）。

（ii）对所有 t ，函数 h _μ ， _ν （ t ）=ln f _μ ， _ν （ t ）满足 。因此，函数

有了较好的定义并且小于或等于1，而且 P 满足P.2且具有参数 μ ^± ， σ = Σ （2）（ μ ^- ， μ ⁺ ， ν ）。

注意，函数 Σ _（1） （ μ ^- ， μ ⁺ ）即为函数 Σ _（2） （ μ ^- ， μ ⁺ ，1）。图2-2b绘制了 Σ _（2） （ μ ^-， μ ⁺ ， ν ）的图像。

事实上，通过连续性，在 μ ＜| ν |≤1的情况下证明式（2.4.31）成立就足以证明（i）成立了；根据对称性，我们可以假设 t ＞0。设 ，由于| μ |＜ ν ＜1，因此， 。考虑函数

ϕ （ s ）=exp{ ts } -λ ₁ s-λ ₂ s ²

其中， λ ₁ 和 λ ₂ 的值通过以下方式选择

即，

对 λ ₂ ≥0的结构进行观察。对于-1≤ s ≤1，我们认为 ϕ （ s ）≤ ^ϕ （1），因此

（比较式（2.4.30）），将 ， λ ₁ 和 λ ₂ 的值代入，得到的边界为（2.4.31）。

我们仍然需要证明在[-1，1]上 ϕ （ s ）≤ ^ϕ （1）。我们很快发现 。因此，当 s 从 增加到1，函数 ϕ （ s ）首先会减小，且初始值为 ；接下来会发生什么，我们并不清楚，但当 s 的值达到1时， ϕ 恢复到它的初始值 。由此得出， ϕ ′（ s ）在开区间 中为零。进一步，假设 ，函数 ϕ _′ （ s ）在 上至少有2个不同的零解；除此之外，由 可以得到 ϕ _′ （ s ）至少有3个不同的零解。但是 ϕ ′（ s ）是 s 的凸函数；有至少3个不同的零解，显然，在非平凡线段上，它并非一直为零。因此，当 时， 。为了证明当 时，同样的不等式成立，观察到随着 s 从 减小至-1， ϕ （ s ）先减小（由于 。接下来会发生什么，我们并不知道，但根据刚才所说的，可以得出结论：如果在 上的某个范围内， ϕ （ s ）＞ ，那么， ϕ _′ （ s ）在 上有一个零解；当零解在 上（根据结构）或者在 上的某一处（我们已经看到了这一种情况），这至少给出了 ϕ ′的3个不同的零解，根据我们刚才的解释，这是不可能发生的情况。因此，如上文所述，在整段区间[-1，1]上， ϕ （s）≤ 。

请注意，为了验证（ii），正如我们已经看到的， f _{μ ， ν} （ t ）是分布在[-1，1]上的所有概率分布 P 的∫exp{ ts }d P （ s ）的最大值，使得Mean[ P ]= μ ，Var[ P ]≤ ν ² ；但后一个最大值在 ν 中显然是不减的。至于 f _{μ ，1} （ t ），当然，这只是例2.4.9中的函数 f _μ （ t ）；正如我们在这个例子中所看到的， ，所以同一个上界对 h _{μ ， ν} （ t ）有效。

2.4.3.2 范围、对称性和方差

例2.4.12 假设我们所知道的概率分布 P 的支持范围是[-1，1]并且是关于0的对称分布，且Var[ P ]≤ ν ² ，0≤ ν ≤1， ν 已知。我们有以下结论。

在这种情况下，即：当 P 为三点分布时，将 ν ² /2赋给点±1，将1 -ν ² 赋给点0的情况下，这个边界是最佳的可能情况。

（ii）函数 h （ t ）=ln f （ t ）是凸函数，并且也是偶函数和二阶可微的，其二阶导数在整个实轴上以1为边界，且 h （0）=0， h′ （0）=0。因此，函数

在0≤ ν ≤1上有较好的定义，同时， P 满足P.2且 μ ^± =0， σ = Σ （3）（ ν ）。

图2-2c中绘制了 Σ _（3） （·）的图像。我们将要求的证明留作练习2.1。

2.4.3.3 范围、对称性、单峰性和方差

例2.4.13 假设我们所知道的概率分布 P 的支持范围是[-1，1]，并且是关于0的对称分布和单峰分布，另外，Var[ P ]≤ ν ² ≤1/3（ ν 的上界是自然的——可以看出这是由 P 的其他假设所隐含的）。我们有以下结论。

并且在这种情况下，这个边界是最佳的可能情况。（要知道边界为什么不能被改进，可以看一下当[-1，1]上 P 的密度等于3 ν ² /2时发生了什么，除了原点的小邻域 ，其中密度等于 。）

（ii）函数 是均匀平滑的，同时其二阶导数在整个实轴上有界且为1，因此函数

有较好的定义，且小于或等于1。因此， P 满足P.2且参数 μ ^± =0， σ = Σ （4）（ ν ）。

要证明（i），只需验证当 P 的密度 p （ s ）是平滑、均匀、关于0的单峰分布且仅存在于[-1，1]上的式（2.4.35）即可（参考式（2.4.26）的证明）。除此之外，根据连续性，我们可以假设 t ≠0。我们有

现在，令 λ 为如下函数

满足 ϕ （0）= ϕ （1）时的值，即

设 且 q （ s ）=-2 sp′ （ s ），以及例2.4.8，我们观察到，当0≤ s ≤1时， q （ s ）是一个概率密度，且

除此之外，我们有

通过观察，由于 q 是[0，1]上的概率密度函数，后一个链式中的等式表明 · ，这就证明了Var[ P ]的上界1/3，并且因此得到边界 ν ² ≤1/3。

我们现在可以按以下步骤进行：正如我们所见到的，

来源于

（这里考虑 λ ＞0）。我们现在认为 ，其与式（2.4.38）结合表明

从 λ 的表达式来看，后一个边界正好是式（2.4.35）。

我们认为当0≤ s ≤1时， ϕ （ s ）≤ ^ϕ （0）= ϕ （1）=1的说法仍然需要被证明。我们可以看到

由此可知，当 s 从0增加到1时，函数 ϕ （ s ）从 ϕ （0）=1首先开始减小。接下来会发生的情况，除了当 s 达到1时， ϕ （ s ）恢复其初始值 ϕ （1）= ϕ （0）=1之外，其他的我们并不能确切地知道。结果表明，如果 ，那么 ϕ ′（ s ）在（0，1）上至少有2个不同的零解，当 ϕ ′（0）=0时， ϕ ′至少有3个不同的零解。但是 ϕ ′（ s ）是一个凸函数，为了使它具有3个不同的零解，它必须在一个非平凡的区间上为零，但实际情况显然不是这样。

2.4.4 总结

表2-3和图2-2给出了我们所考虑的实例的总结。