1.4 非仿射扰动

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到目前为止，我们假设一个不确定LO问题的不确定数据是由一个封闭凸集 Z 中的扰动向量 ζ 仿射参数化的。我们已经看到，这个假设，加上 Z 是计算易处理的假设，意味着RC的可处理性。当扰动以非线性方式输入不确定数据时会发生什么？不失一般性，假设不确定数据中每项 a 都是以下形式

其中 是给定系数（取决于相关数据项）， f ₁ （ ζ ） ，…， f _K （ ζ ） 是某些基础函数，定义在扰动集 Z 上的函数可能是非仿射的。不失一般性地假设目标函数是确定的，我们仍然可以定义不确定问题的RC作为最小化原始目标函数问题的鲁棒可行解，那些对任何值的数据都可行的解来自 ζ ∈ Z ，但这个RC的易处理性呢？一个直接的观察结果是，非线性扰动数据的情况可以立即简化为数据受到仿射扰动的情况。为此，只要从原始扰动向量 ζ 传递到以下新的向量就足够了。

因此，不确定数据成为新的扰动向量 的仿射函数，该扰动向量 在映射 下穿过原始不确定性集 Z 的像 。正如我们所知，在仿射数据扰动的情况下，当用其封闭凸包替换一个给定的扰动集时，RC保持完整。因此，我们可以将不确定LO问题看作仿射扰动问题，其中扰动向量是 ，该向量通过封闭凸集 。可以看到，从形式上讲，一般型扰动的情况可以简化为仿射扰动之一。不幸的是，这并不意味着非仿射扰动不会造成困难。事实上，为了最终得到一个计算上易于处理的RC，我们需要的不只是扰动的仿射性和扰动集的凸性——我们需要这个集合在计算上是易于处理的。即使 Z 和非线性映射 都很简单，集合 可能无法满足这一要求，例如，当 Z 是一个盒且 时（当不确定数据被原始扰动 ζ 二次扰动时）。

我们将介绍两个一般的情况，其中没有发生刚刚概述的困难（关于理由和更多的例子，请参见14.3.2节）。

椭球扰动集 Z ， 二次扰动 。这里 Z 是一个椭球，基本函数 f _k 是常数、 ζ 的坐标和这些坐标的两两乘积。这意味着不确定的数据项是扰动的二次函数。我们可以假设椭球 Z 以原点为中心： ，其中Ker Q ={0}。在这种情况下，将 作为矩阵

我们可以得到下列的半定表示 ：

（关于证明，请参阅引理14.3.7。）

可分离的多面体扰动 。扰动结构如下： ζ 通过盒 运行，不确定数据项的形式是

其中 是给定次数不超过 d 的代数多项式；换句话说，基本函数可以分为 L 组，第 ℓ 组的函数为 。因此，函数 由下式给定：

设置 ，我们得出结论 可以与集合 一起定义，由此 是集合 ，其中 P =Conv（ P ）。需要注意的是，设置 P 是一个显式半定表示，参见引理14.3.4。 5UwJ6iujRomRmCqHWIWZBvY5j5HgemtNxH2ZavOXz8/TO9vb1Val0An4OJuraiof