04 竖式乘法：古人的方法更简单？

九九乘法表可以辅助计算个位数之间的乘法，当遇到多位数的乘法时，最常用的方法就是列竖式计算了，下面我们就来了解这种算法的历史。

什么是竖式乘法

把相乘两数一上一下写在一起，相应数位分别对齐，然后用乘数每一位上的数依次去乘被乘数的每一位数。最后将所有竖直方向对应数位上的乘积相加即为所求。例如计算43×28:

格子乘法

事实上，竖式乘法源于更古老的格子乘法。格子乘法，顾名思义就是用画格子的方法来计算乘法，还是以43×28为例。按照相乘两数的数位绘制一个矩形表格，本题需要画一个2行2列的表格，并画出每一格的对角线。将相乘两数43和28分别按照从左到右和从上到下的顺序写在矩形表格上方和右方的表格外侧，且每个数字与相应的格子对齐。

接下来，将乘数中的每一位数字分别乘被乘数中的每位数字，把乘积写在对应行与列交叉的方格中。如果乘积仅为个位数字，则写在对应方格里右下角的三角形中，左上角的三角形中补数字0;如果乘积有十位数字，则将十位数字写在对应方格里左上角的三角形中。

现在按照从右到左的顺序把每一斜行的数字分别相加，将结果写在表格下方的结果行，注意进位。本题43×28=1 204。

阿拉伯人的智慧

当某种记数法出现后，随着问题的复杂化和运算数字的增大，就逐渐演化出与相关记数法和计算工具相匹配的运算方法。前面说过，印度人最初使用的计算工具是土盘，计算时需要在木板上铺上土或者细沙，然后用木棍或手指操作完成。印度数字和土盘这种工具于9世纪传入阿拉伯世界并开始广泛流传，随后阿拉伯数学家对相关运算方法进行了改进。上述格子乘法最早出现在阿拉伯数学家乌格里迪西（Abu'l Hasan Ahmadibn Ibrāhīm Al-Uqlīdisī，约920—约980）的著作《印度算术书》（952或953）中。为了适应十进位值制数字和土盘这种运算工具，乌格利迪西在乘法运算中首次引入方格，但是起初没有添加斜线。后来的阿拉伯数学家逐渐引入方格中的斜线，使格子乘法逐渐成熟，到了15世纪初，该算法已经家喻户晓。

随着造纸技术的成熟和普及，阿拉伯人开始利用纸笔计算来代替土盘这种计算工具。例如,15世纪初阿拉伯数学家阿尔·卡西所编写的初等数学教科书《算术之钥》，在介绍了多种形式的格子乘法之后，还介绍了与今天相同的竖式乘法。

格子乘法传入欧洲

意大利数学家斐波那契所著《计算之书》中就介绍了乌格里迪西书中利用没有斜线的方格计算乘法的方法，这是阿拉伯格子乘法首次传入欧洲。1478年，在威尼斯共和国印刷出版的数学著作《特雷维索算术》是已知欧洲最早的数学印刷品。其中详细介绍了带有斜线的多种阿拉伯格子乘法。因为这一表格形似威尼斯贵族女性窗户上按照拜占庭习俗安装的格栅，在意大利也被称为“格栅算法”。

除了上述格子乘法之外，《特雷维索算术》还给出了与今天相同的没有方格的竖式乘法，这可看作是格子算法向现代笔算竖式乘法的过渡。事实上，阿拉伯数学在13—15世纪持续不断地影响着欧洲。前面提过的“纳皮尔筹”便是1617年英国数学家纳皮尔在格子乘法的基础上发明的计算工具。

写算和铺地锦

13世纪的中国与阿拉伯世界存在贸易、文化等多方面交往，阿拉伯的格子乘法也随之进入中国。文献记载，元代回回司天台的天文学家扎马鲁丁（13世纪）等人都会使用阿拉伯世界传入的印度“土盘算法”，这自然包括格子乘法。明代数学家吴敬（约15世纪）在《九章算法比类大全》（1450）首卷中介绍了一种“写算”法，即格子乘法。明代数学家程大位在《算法统宗》中将格子乘法称为“铺地锦”。

从格子乘法的传播路径可以看出,13—17世纪的亚欧大陆各主要文明在数学文化领域存在着长期和频繁的交流。清初数学家梅文鼎（1633—1721）便发现纳皮尔筹的构造原理与“铺地锦”有关。但总的来说，中世纪阿拉伯数学在我国元代和明代的影响不如它对欧洲数学所产生的影响。

思考题

1.用格子乘法计算69×35。

2.已知6×0.7=4.2,6.6×6.7=44.22,根据规律直接写出下面算式的结果，再用计算器进行检验。

6.66×66.7=

6.666×666.7= 5xSWHg5CcPh+1vfZ6O3hN89OgVSE0W0HFVwQJ1+qi38ejog4LvHmYQFQWKsP183r