02 计算工具：在计算器发明以前，人们如何进行复杂的计算？

日常生活中，遇到复杂的计算问题，你可以借助计算器轻松获取答案，那么古人怎么办呢？事实上，早期人类的计算工具包括石子、手指、结绳、小木棍等。随着计算量增大，人们对计算效率的需求也不断提高，因此又出现了多种新的计算工具。

罗马嵌珠算盘

在阿拉伯数字传入之前，欧洲人使用的是罗马数字。罗马数字之间的运算十分烦琐，人们通过罗马算盘可以简化罗马数字间的运算。罗马算盘大约出现在公元元年，考古发现的实物较多。它有手掌大小，一般由青铜制造，有小珠嵌在上下两条沟槽中，可以滑动但不能取下。算盘共有九位，从左边起，第一位到第七位表示整数，在算盘中间标有字母I、X、C等，分别代表数位个、十、百等。每位有上、下两条沟槽，上部一颗珠，当五；下部四颗珠，每珠当一。第八位和第九位表示分数，这是为了适配罗马的度量衡以及货币计算。

土盘与算板

土盘是指铺上细沙的平板，这种工具可以用来写字和计算。土盘的历史很悠久，最早可以追溯到古代印度，伴随着古代印度数字一起传入阿拉伯世界并广为流传，后来逐渐被纸笔计算所取代。罗马时代还有一种类似的蜡板，将蜡熔化后倒在平板上，凝固后可以写字记数，可反复使用。

算板是在木板或石板上刻上若干平行的线纹，上面放卵石或木钉（叫作算子）来记数和计算。在斐波那契的《计算之书》（1202）将印度阿拉伯数字引入欧洲之后的300多年里，阿拉伯数字逐渐定型并流传开来。人们把使用新数字的计算技术称为“算法”，把用纸笔和新数字的计算者称为“ 算法家 ”，以区别于使用古老算板的“ 算 盘家 ”，两种计算技术并行了数百年。这幅16世纪初的欧洲版画，反映了这两大派的竞争，左边的是使用印度-阿拉伯数字的算法家，右边是老派的算盘家，中间的女性是公证人。16世纪以后，算板在欧洲逐渐被淘汰。

算筹与筹算

算筹是用来记数或计算的一种由竹、木或其他材料制作的工具。考古工作者在春秋战国和汉代古墓中发掘了大量算筹实物，例如1954年在湖南长沙市左家公山战国墓中出土了40根算筹，长短一致，每根长12厘米;1986年在甘肃放马滩战国墓中出土了竹制的圆棒状算筹21根，每根长20厘米、直径为0.3厘米。古人把算筹装在袋中随身佩戴，称为算袋。在汉代，佩戴算袋就已经非常流行。到了唐代，算袋一度被规定为文武百官上朝时的必佩之物，以便随时进行计算和决策。

利用算筹进行计算的做法被称为筹算法，筹算法中用算筹摆放表示的数字被称为筹算数字，关于它的记载最早出现在公元400年前后成书的《孙子算经》中，这是一部供数学初学者使用的入门读物。下面是阿拉伯数字1—9与中国古代筹算数字对照表：

筹算数字有纵式和横式两种，每种9个符号。在实际运用时，需要交错使用：个位、百位……使用纵式；十位、千位……使用横式；用空位表示0。例如8“ ”加上9“ ”等于17“ ”。用这种纵横相间的算筹，加上用空位表示0,可以表示任何自然数、分数、小数、正负数等。筹算虽然具有简单形象等优点，但也存在布筹时占用面积大，运筹速度快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，后被计算更加简便的珠算所替代。

中国穿珠算盘

算筹曾为中国古代社会的生产、生活做出过巨大的贡献。随着计算量的增大和问题的复杂化，算筹被珠算盘所取代。“珠算”一词最早出现在东汉数学家徐岳（？—220）所著的《数术记遗》（190)中，书中记载了14种算具及算法，其中一种就是“珠算”。唐宋时期，与今天基本一致的珠算口诀大量出现，使珠算能够做到“心到、口到、手到”，三者配合，运珠如飞。宋代张择端（约1085—1145）的《清明上河图》中“赵太丞家”的柜台上出现了与现代算盘形制相同的算盘。

元明时期，珠算的发展达到鼎盛，上到国家机关，下到酒肆客栈，都要借助算盘来完成计算。程大位（1533—1606）在其所著《算法统宗》（1592）一书中详细记述了珠算规则，完善了珠算口诀，开创了珠算计算的新纪元。18世纪，中国算盘和西方数学有了第一次相遇，相比欧洲的笔算和计算尺，中国人还是钟情于携带方便、计算准确的算盘。这种情况一直持续到20世纪七八十年代。2013年12月4日，联合国教科文组织将中国珠算正式纳入 人类非物质文化遗产代表作名录 。

纳皮尔筹

15—16世纪，随着航海业、交通运输业以及采矿业的崛起，数字计算变得越来越复杂，要求计算得准且快，因此人们需要探索新的计算方法和计算工具。1617年，英国数学家纳皮尔（John Napier,1550—1617）在格子乘法 的启发下发明了一种名为“纳皮尔筹”的计算工具，可以进行加减乘除和开方等计算。纳皮尔筹一般有2个或4个面，筹的每面按一定规则写上乘法表，筹的数量根据要计算的数值大小决定。四面筹一套10个，可计算五位数及以下乘法，另有平方筹和立方筹。纳皮尔还设计了存放这些筹的盒子，并规定了筹在盒中的放置方式。17世纪初，纳皮尔筹发明不久便经传教士传入我国，被称为“筹算”，与我国古代的筹算恰好同名。

计算尺

纳皮尔不仅发明了算筹，更发明了一种新的运算方法——对数。1614年，他在《奇妙的对数定律说明书》中论述了对数及算法。对数可以将乘除运算转化为加减运算，在大大降低运算难度的同时提高计算速度。

1620年，英国数学家冈特（Edmund Gunter,1581—1626）利用对数以加减替代乘除的特点，设计并制作了 对数尺 。此后，各种形态的计算尺相继诞生。从计算尺被发明到它被袖珍电子计算器取代的三百多年中，计算尺一直是科技工作者，特别是工程技术人员不可缺少的计算工具。

计算器

1642年，法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623—1662）发明了最早能进行加减法的加法器。1671年，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646—1716）在帕斯卡加法器的基础上进行改造，设计完成了能进行加减乘除四则运算的机械计算器。电技术普遍应用后，计算器由单纯的机械装置逐渐改进为电机装置，计算速度有所提高。1823年，英国数学家巴贝奇（Charles Babbage,1791—1871）发明了差分机，其重要意义在于能按照设计者的安排自动完成整个运算，这台机器蕴含了程序设计思想，为现代计算机思想的发展奠定了基础。

20世纪，随着天文学、物理学的发展，科研人员需要处理更多、更复杂的信息材料，因此需要有大容量、高速度、高精度的计算工具。另外，由于战争原因，军事部门对计算速度提出了更高的要求。虽然机电式计算器的运算速度已经有了很大提高，但是依然不能满足需要。1946年6月，美籍匈牙利数学家冯·诺依曼（John von Neumann,1903—1957）提出设计报告《关于电子计算机装置逻辑结构的初步探讨》，并实际制成了第一台存储程序计算机。计算机的诞生标志着人类科学技术的发展进入了一个崭新的时代。

思考题

1.筹算数字 相加之和是多少？用筹算数字表示。

2.中国穿珠算盘表示数字时，一颗上珠靠梁表示5,一颗下珠靠梁表示1;下珠满5用一颗上珠代替；本档满10,用左档一颗下珠靠梁代替。根据下列算珠的位置读出相应的四个数字（规定最右侧均为个位）。

3.根据下列数字，仿照上题画出相应的算珠（规定最右侧均为个位）。 JMOQ511doparNrnotR7tCcw7JPqy0RYThsfcbNUH+nfowc3lw49BLw87LT4blD5f