01 记数法：为什么全世界都在使用阿拉伯数字？

我们日常用的阿拉伯数字可以表示任何想要表达的数字，这在数学上属于记数法的范畴。

记数的产生

人类在蒙昧时期就已经具备了识别事物多少的能力，原始人首先注意到一只羊和许多羊在数量上的差异；一只羊与一头牛也是不同的。人们在最初记数的时候可能是用手指，后来使用结绳或在石头、动物骨头上契刻等方式来记数。

公元前4000年前后，人们逐渐意识到一只羊、一头牛、一棵树……它们之间存在某种共通的 抽象 性质，这就是 数 。这时，记数的情况发生了改变，数字获得了属于自己的符号。表示“5只羊”时，人们不再使用5个表示羊的符号，而是写一个表示数字“5”的符号，然后再画上一个表示羊的符号；表示“5头牛”只需要把羊的符号换成牛的符号就可以了，而数字符号保持不变。从此，数字具有了抽象性。

累数制与位值制

随着人类需要记录的数量不断增加，最终出现了相对完善的用于书写的记数法。记数法有三个要素：（1）记数符号；（2）累数值与位值制；（3）进制。

首先来看累数值与位值制。

始建于3 900多年前的卡纳克神庙是目前发现的古埃及最大神庙，神庙中有一处石刻的图案如下：

这便是古埃及象形数字——古埃及人发明的刻在石头上的象形文字中的数字符号。象形数字用一道竖线表示1,10像一扇拱门“ ”,100像一条绳索“ ”,1 000像一朵花“ ”……那时，古埃及人通常把较小的数位放在前面，所以上面的象形数字表示6 789。埃及象形数字是十进 累数制 记数法，所谓累数制，是指每个较高的单位用一个新符号表示，记数时依次重复排列这些符号，用相加的总和来表示数量。显然，累数制有明显的弊端——需要重复画许多数字符号，而且当需要表示更大的数量级时，就需要创造新的符号。

我们今天所使用的阿拉伯数字是十进 位值制 记数法。位值制，指的是一个数用一组有顺序的数码来表示，每个数码所表示的大小，既取决于它本身的数值，又取决于它所在的位置。例如数字1在个位表示1,在百位则表示100。与累数制相比，位值制的优势一目了然。

进制

进制是人为规定进位的记数方式。在人类文明史上出现过多种不同的记数法，其中十进制是比较常见的。十进制以数字10为底，当个位数字从1开始增加到9后便达到个位的上限，当数字进一步增加时需要用新的数位——十位，此时数字从10开始,11,12,…，如此继续下去。

殷商的 甲骨文 已使用十进制记数法，从最小的基数1起到10,及100,1 000,10000都有专门的符号。利用这13个符号，可以表示100000以内的任意自然数。

在我国，十进位值制具体是什么时候出现的已不可考。春秋战国时期，筹算十进位值制记数法已经比较完善，在数学史乃至人类文明史中都占有重要地位。

当然，并不是所有记数法的进制都以10为底。公元前3400年左右，两河流域的苏美尔人创造了一套六十进制的楔形文记数法。直至今日，六十进制记数法仍用于角度计算、地理坐标和时间表述等方面。另在中国农历中有六十甲子的概念， 十个天干 ——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸， 十二地支 ——子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，两者经一定的组合方式搭配成六十对，为一个周期。这种六十进制的“干支纪年”至迟在东汉初年已经普遍使用，至今没有间断过。我们常用“半斤八两”形容“不相上下”，这是因为古人曾经使用过十六进制重量计量单位。今天，在计算机中，通常用二进制来存储和处理各种数据。

阿拉伯数字的由来

目前，世界上人们使用的文字至少有上百种，在记数时却使用同一种数字——阿拉伯数字。这可以说是一个奇迹，但这一共识并不是从一开始就达成的。

公元前3世纪，印度人开始广泛使用婆罗米数字。5世纪，婆罗米数字已演变为较完善的十进位值制记数法。这种记数法对人类数字文明的发展意义重大：一方面，这些数字符号表达简洁，易于书写和辨别；另一方面，便于产生高效的运算方法。8世纪，它们通过印度的外交使节被带到巴格达宫廷；到了11世纪，在阿拉伯帝国境内，印度记数法得到了普及，从宫廷天文学家到市场的商贩都使用这种数字来解决各种数学问题。在中世纪，由于记数符号的不同，阿拉伯数字分为东阿拉伯数字和西阿拉伯数字。

阿拉伯数字传遍世界

12世纪，意大利数学家斐波那契（Leonardo Fibonacci,1175—1250）年轻时曾游历过北非，亲自感受到（西）阿拉伯数字的便利，后来将其传入欧洲。因此欧洲人将这种数字称为“阿拉伯数字”。当然，今天我们知道，严格来说，它应该被称为“ 印度-阿拉伯数字 ”。

在阿拉伯数字传入之前，欧洲人使用的是罗马数字。罗马数字，大约产生于公元前4世纪，直至14世纪以前流行于欧洲各国。与阿拉伯数字相比，罗马数字表述烦琐，很难产生高效的运算方法。到了15世纪，阿拉伯数字及其运算方法取代了罗马数字及其运算方法，并最终演变成今天的样子。在接下来的500年中，伴随着西方资本主义的发展，欧洲列强不断扩张海外市场和殖民地，阿拉伯数字也随之传遍世界各地。

中国传统的筹算数字和汉字数字本质上也是十进位值制记数法，而且，我国很早就产生了便于记录和计算的算码（如苏州码子），所以早期传入我国的印度数字和东阿拉伯数字并无优势。19世纪末，由于大量翻译欧美和日本数学著作的需要，使用阿拉伯数字已是大势所趋。1875年，美籍传教士狄考文（Calvin Wilson Mateer,1836—1908）刊刻的《笔算数学》用阿拉伯数字替代了一、二、三等汉字数字，这是中国第一部使用阿拉伯数字的数学著作。

综上所述，与其说阿拉伯数字是某个民族的发明，不如说它是人类不同文明相互交流和融合的产物。

思考题

1.公元2000年为农历庚辰年，则公元2009年为农历___年。

2.罗马数字采用七个字母作为基数:I（1）、X（10）、C（100）、M（1 000）、V（5）、L（50）、D（500），主要记数原则如下：

①相同数字连写，表示这些数字相加之和，如Ⅲ=3;

②较小数字在较大数字右边，表示这些数字相加之和，如Ⅷ=8;

③较小数字在较大数字左边，表示大数减小数之差，如Ⅳ=4。

以下是部分阿拉伯数字与罗马数字对照表，请根据已知信息，将表格中的空缺补充完整。 5xSWHg5CcPh+1vfZ6O3hN89OgVSE0W0HFVwQJ1+qi38ejog4LvHmYQFQWKsP183r