1998年版序言

美国的大学新生和部分高中生需要学习微积分的一些入门课程。对于那些希望成为数学家或者想从事需要微积分知识的职业的学生来说，这类课程是他们必须跨越的最大障碍。研究表明，在修读微积分课程的大学新生中，几乎有一半会通不过。这些没有通过的学生几乎总是会放弃主修数学、物理学或工程的计划，因为在这三个领域中，微积分是必不可少的。他们甚至可能决定不学习诸如建筑、行为科学和社会科学（尤其是经济学）这样的专业，因为微积分在这些专业中是有用的。他们离开了他们担心会太难走的道路，转而去考虑从事那些比较简单的职业。

退出率如此之高的一个原因是微积分入门课程教得实在太差了。课上得往往太无聊，以至于学生们有时会打瞌睡。微积分教科书一年比一年厚，加上了更多计算机绘制的图形和著名数学家的照片（以牛顿和莱布尼茨打头），但这些书似乎从来没有变得更容易理解。你徒劳地翻看它们，想寻找简单、清晰的阐述和能引起你的兴趣的问题，但一无所获。正如一位数学家最近所说的，这些书中的练习具有“解答填字游戏的尊严”。美国的现代微积分教科书通常有1000多页，足以当作门挡用，还有1000多道令人生畏的练习题！它们的价格正在迅速逼近100美元。

“为什么微积分教科书这么重？”林恩·阿瑟·斯蒂恩在一篇题为《微积分改革者的20个问题》（Twenty Questions for Calculus Reformers）的论文中问道，这篇论文转载于罗纳德·道格拉斯主编的《迈向精简而生动的微积分》（ Toward a Lean and Lively Calculus ，美国数学学会，1986年）一书。他回答道：“出版者在经济上的考量迫使作者……加入每一个人可能想要的每一个主题，这样就不会有人因为遗漏了某项内容而不购买这本教科书。这样做的结果就是微积分教科书变成了一本包含技巧、例题和练习题的百科全书式的汇编，它更像一本臃肿的练习册，而不再是对一个宏伟主题的启发性介绍。”

斯蒂恩是圣奥拉夫学院的一位数学家，他后来宣称：“微积分教学是这个国家的耻辱。很多时候，微积分是由缺乏经验的教师在一个反馈不足的环境中教授给准备不足的学生们的。”

伦纳德·吉尔曼在《大学教学丑闻》［The College Teaching Scandal,《焦点》（ Focus ），第8卷，1988年，第5页］中写道：“微积分的处境多年来一直很糟糕，考虑到我们这个职业的惰性，这种状况很可能还会持续很久。”

微积分被称为数学家们最不喜欢教授的科目。我们希望只有那些没有领会到其巨大的力量和美的教师才是这样。霍华德·伊夫斯是一位已经退休的数学家，他实际上很喜欢教授微积分。在他的《数学史上的里程碑》（ Great Mo‐ments in Mathematics ）一书中，我读到了这样一段话：

当然，在大学低年级的数学课程中，没有哪个科目比微积分教起来更令人兴奋或更有乐趣了。教授微积分就像在著名的三环大马戏团当领班一样。据说，人们可以在大学校园里认出那些已学习过微积分的学生——这些学生都没有眉毛。由于对这个科目令人难以置信的广泛应用感到非常惊讶而常常扬起眉毛，因此学习微积分的那些学生的眉毛就变得越来越高，最终消失在他们的后脑勺。

近年来，数学界对改进微积分教学方法的议论很多，会议开得无休无止，其中许多会议是由美国政府资助的。数十个试验项目正在各地开展。

一些改革的领导者认为，尽管传统教科书越来越厚，但对高等微积分的需求实际上正在减少。伊夫斯在他广受欢迎的《数学史导论》（ Introduction to the History of Mathematics ）一书中伤感地写道：“如今，数学的大部分与微积分或其扩展没有联系，或者几乎没有联系。”

为什么会这样？其中一个原因是显而易见的。计算机！现今数字计算机的运算速度和功能已经变得令人难以置信。以前只能用慢速的模拟计算机处理的连续函数现在可以转化成离散变量函数，再由数字计算机通过逐步算法有效地进行处理。一个过于复杂而无法用铅笔在绘图纸上绘制的函数图像，用一台称为图形计算器的手持式计算器就能立即显示出来。现在的趋势是从连续数学转向过去所谓的有限数学，但现在人们更常称之为离散数学。

微积分正在稳步降级，让位给组合学、图论、拓扑学、扭结理论、群论、矩阵理论、数论、逻辑学、统计学、计算机科学以及其他一系列连续性在其中起着相对次要作用的学科。

离散数学无处不在，不仅在数学领域，在科学和技术领域也是如此。量子理论中充满了离散数学，甚至空间和时间也可能被量子化。演化是通过离散的突变进行的。电视信号即将用离散数字传输方式取代连续模拟传输方式 ，从而大大提升画面质量。保存一幅画或录下一首交响乐的最合适的方法是将其转换为离散的数字，这些数字可以永远保存而不会受到损坏。

上高中的时候，我必须掌握一种用纸和笔计算平方根的方法。令人高兴的是，没人强迫我学习如何求立方根和更高次方根！如今已经很难找到记得如何计算平方根的数学家了。他们为什么要记得呢？只要按几个键，就能求出任何数的 n 次方根，而所需的时间比查阅一本带有 n 次方根表格的书还短。曾经用来计算巨大数字相乘的对数，现在就像计算尺一样已经过时了。

微积分也面临类似的局面。如今，学生们看不出有什么理由需要掌握烦琐的手算微分和积分的方法，因为计算机可以像计算 n 次方根、大数相乘和大数相除一样快速完成这类工作。例如，斯蒂芬·沃尔弗拉姆开发的一款被广泛使用的软件Mathematica可以在瞬间求解数学和其他科学领域中出现的微积分问题，并绘制相关的图像。具有求导键和积分键的计算器现在比大多数微积分教科书还便宜。据估计，那些大部头教科书中90%以上的练习题都可以用这种计算器来解答。

微积分改革的领导者并不是建议不再教授微积分，而是建议将重点从解题转移到理解计算机在求解微积分问题时做些什么，因为计算机可以更快、更准确地解题。就算我们只是要知道该让计算机做什么，微积分知识实际上也是必不可少的。最重要的是，微积分课程应该让学生逐渐意识到微积分知识的丰富和优雅。

尽管关于如何改进微积分教学的建议很多，但普遍的共识尚未形成。一些数学家建议在介绍微分之前先引入积分。一个值得注意的范例是理查德·库朗 撰写的两卷本经典著作《微分与积分》（ Differential and Integral Calculus ）。然而，掌握微分要比掌握积分容易得多，所以这种转换还没有流行起来。

多位微积分改革者，特别是托马斯·W．$2克［参看他发表在《美国数学月刊》（ American Mathematical Monthly ，第104卷，1997年3月，第231～240页）上的《重新思考微积分中的严格性》（Rethinking Rigor in Calculus）一文］建议微积分教科书用增函数定理（increasing function theorem,IFT）取代重要的中值定理（mean value theorem,MVT）。（关于中值定理，请参阅我为本书第10章所写的附注。）增函数定理指出，如果一个函数在某个区间上的导数等于或大于零，那么该函数在这个区间上是递增的。例如，如果一辆汽车的速度表在一个指定的时间间隔内总是显示一个等于或大于零的数，那么在这个时间间隔内，汽车要么静止不动，要么向前行驶。从几何角度来讲，这条定理说的是，如果一个连续函数的曲线在给定区间内具有一条水平或向上倾斜的切线，那么该函数在这一区间上的值要么不变，要么递增。但是，这种改变也没有流行起来。

许多改革者希望用微积分来解概率论、统计学、生物学和社会科学的实际题目，以取代传统教科书中人为编造的题目。不幸的是，对于尚未在这些领域工作的初学者来说，这些“实际”的题目看起来可能就像那些人为编造的题目一样枯燥而令人生厌。

更激进的改革者认为，高中不应该再开设微积分课程，甚至大学新生也不应该再学习微积分，除非他们已经决定今后要从事一种需要微积分知识的职业。此外，也有反对改革的人，他们认为微积分的传统教学方式不存在任何问题，而前提是当然由称职的教师来教授这门课程。

1992年2月28日，《科学》（ Science ）杂志调查了杜克大学开设的CALC课程，这是一门面向计算机的微积分课程。只有57%的学生继续学习第二门微积分课程，而作为对比，在学习了更传统的微积分课程后，有68%的学生继续学习高级微积分课程。一些学生喜欢CALC这门试验性的课程，但大多数人并不喜欢。一名学生称这门微积分课程为“我上过的最糟糕的课”，另一名学生则称这是“一场杂乱的大演习”。《科学》杂志还引用了一名学生的话：“我很羡慕我的那些上普通微积分课的朋友。我本该尽力去上一门用纸和笔就能学习的普通微积分课。”

目前的努力是，将连续数学与离散数学结合在同一本教科书中。一个重要的例子是《具体数学：计算机科学基础》（ Concrete Mathematics : A Foundation for Computer Science ,1984年出版，1989年修订）。这是罗纳德·格雷厄姆、高德纳·克努特和奥伦·帕塔什尼克合著的一本有趣的教科书。这三位作者从“continuous”（连续）的前面取“con”，从“discrete”（离散）的后面取“crete”，构成了“concrete”（具体）一词。不过，即使这本令人兴奋的教科书也预设了读者应具有微积分知识。

1893年，美国哲学家和心理学家威廉·詹姆斯在给日内瓦心理学家西奥多·弗卢努瓦的一封信中问道：“你能否向我推荐一本关于微分学的简单图书，让我深入了解这门学科的基本原理？”

尽管目前微积分的新教学方式纷繁芜杂，但据我所知，没有一本书能像现在你手里拿的这本书那样满足詹姆斯的要求。人们还做出了许多类似的努力，相关的图书有《实用主义者的微积分》（ Calculus for the Practical Man ）、《微积分入门》（ The ABC of Calculus ）、《微积分是关于什么的？》（ What Is Calculus About? ）、《用简易方法学会微积分》（ Calculus the Easy Way ）和《简化微积分》（ Simplified Calculus ）等。它们要么过于初级，要么过于高级。汤普森的书正好处于恰当的中间水平。诚然，他的书是老式的、直观的和传统导向的，然而没有一位作者把微积分写得比他更清晰、妙趣横生。汤普森不仅解释了“这门学科的基本原理”，还能教会读者如何对简单函数求微分和积分。

西尔维纳斯·菲利普斯·汤普森出生于1851年，他的父亲是英国约克郡的一所中学的教师。从1885年开始到1916年去世，他一直是芬斯伯里的城市和行会技术学院的物理学教授。作为一名杰出的电气工程师，他于1891年入选英国皇家学会，并担任过多个科学学会的主席。

汤普森写了许多关于电、磁、发电机和光学的专著，其中不少先后出版了好几个版本。他还为科学家迈克尔·法拉第、菲利普·赖斯和开尔文勋爵 撰写了广受欢迎的传记。他的讲演很受欢迎，据说他还是一名技艺高超的风景画家。此外，他还写诗。1920年，他的四个女儿中的两个——简·斯米尔·汤普森和海伦·G．汤普森出版了一本关于她们的父亲的书，书名为《西尔维纳斯·菲利普斯·汤普森的生平和信件》（ Silvanus Phillips Thompson: His Life and Letters ）。

《轻轻松松学会微积分》最早由麦克米伦出版公司于1910年在英国出版。汤普森当时用的是笔名F. R. S.——这是Fellow of the Royal Society（皇家学会会员）的首字母缩写。该书作者的身份直到他去世后才被披露。这本书在1910年底之前就加印了三次。汤普森在1914年对这本书做了大量修改，修正了差错，并增加了一些新的材料。在他去世后，F. G. W．$2朗于1919年对这本书做了进一步的修订和扩充，并于1945年再次进行修订和扩充。其中一些后来增加的内容（如关于部分分式和反函数的那一章）比汤普森原著中的那些章节更具技术性。奇怪的是，汤普森的第1版非常简单明了，在某种程度上更接近改革者如今推荐的那种入门书。他们希望强调微积分的基本思想，淡化当今可以用计算机快速解决的烦琐技巧。只想掌握微积分要领的读者可以跳过那些技术性较强的章节，也不必费力解答所有的练习题。这本书从未绝版，圣马丁出版社于1970年出版了平装本。

人们对这本书第1版的评论几乎都是好评。《神殿》（ The Athenaeum ）杂志的一位评论家写道：

数学文献的评论家很少有运气读到像这样欢快且充满活力的书，“这是对通常有着微分学和积分学这样可怕的名字的那些美丽的计算方法最简单易懂的介绍”。事实上，专业数学家也会热烈欢迎这本书，其教学内容如此正统，阐述如此有力。

汤普森的同事E. G．$2克尔教授在写给他的一封信中说：

听说你的那本关于微积分的小书很可能会被广泛使用，我很高兴。正如你所知，我在这里的初级班教授这门学科的基本知识已经有好几年了，我不知道还有哪本书能如此适用于微积分基本思想的教学。这本小书的一大优点是，它消除了专业数学家笼罩在这一学科上的种种谜团。我确信，你的这本小书以其处理微积分基本思想的常识性方式将取得巨大成功。

当今许多杰出的数学家和科学家都是从汤普森的这本书开始学习微积分的。莫里斯·克莱因本人也撰写了一本关于微积分的巨著，但他一直推荐这本书，认为这是给想学习微积分的高中生的一本最好的书。已故经济学家兼统计学家朱利安·西蒙给我寄来了一篇尚未发表的论文，标题为“为什么约翰尼（或许还有你）讨厌数学和统计学”［Why Johnnies (and Maybe You) Hate Math and Statistics］。这篇论文对汤普森的这本书给予了高度赞扬：

我问过的每一位专业数学家都对《轻轻松松学会微积分》嗤之以鼻。就我所知，任何地方开设的任何微积分课程都没有使用这本书。尽管如此，但在它首次出版几乎一个世纪之后，它的平装本依然畅销，即使在大学书店里也是如此。它采用了一种概略的体系来教学，从而非常清楚地阐明了微积分的中心思想——用数学家优雅的极限方法很难理解这一思想。

西蒙稍后问道：

（问题）为什么高中生和大学生不能用汤普森的方法来学习微积分？（回答）汤普森的体系有一个无法弥补的致命缺陷：在世界级数学家的眼中，它是丑陋的，而这些数学家已为数学的教学方式处处制定了标准；普通的大学和高中教师以及他们的学生最终都受制于这种伟大审美趣味的霸权。汤普森只不过放弃了那些以其美丽和优雅吸引数学家的演绎手段。

我之前曾提到《迈向精简而生动的微积分》这本书，其中收录了1986年参加在杜兰大学举办的一次关于如何改进微积分教学的会议的数学家们的论文。大多数作者强烈呼吁减少解题技巧，强调对概念的理解，将微积分与计算器的使用结合起来，并将教科书缩减为更精简、更生动的形式。那么，有史以来最精简、最生动的微积分导论就是汤普森的这本《轻轻松松学会微积分》，但彼得·伦兹是那次会议上唯一有勇气赞扬这本书并将其列为参考书的数学家。

微积分中最重要的概念有两个：一是函数，二是极限。汤普森或多或少地假设他的读者理解这两个概念，因此我在预备知识部分试图更清楚地阐述这两个概念的含义。我增加了导数的简短介绍。另外，在《轻轻松松学会微积分》这本书中，我在自己认为有些有趣的事情可说的地方加入了一些脚注。这些脚注标有我的姓名首字母的缩写M. G. ，以区别于汤普森的脚注（标有他的姓名首字母的缩写S. P. T. ） 。

在汤普森谈到英国货币的地方，我都把它们的单位换成了美元和美分。另外，术语已更新。汤普森使用的术语“微分系数”（differential coefficient）已经过时。我把它改成了“导数”（derivative）。“不定积分”（indefinite integral）这个术语现在仍然在使用，但它正在迅速被“反导数”（antiderivative）所取代，所以我将“不定积分”替换成了“反导数” 。

汤普森遵循英国人的做法，将小数点的位置提高了，这很容易与表示乘号的点混淆。为了符合美国人的习惯，我把所有这样的点都降低了。汤普森使用了一个现已废弃的符号来表示阶乘，我把它改成了我们熟悉的感叹号。在汤普森使用希腊字母ε的地方，我把它改成了英文字母e。汤普森使用符号log _ε ，我把它换成了ln。最后，在一个篇幅相当长的附录中，我把与微积分相关的各种颇有趣味的题目编在了一起。

我希望自己对《轻轻松松学会微积分》原著的修订和补充能使它更容易理解。这不仅是对高中生和大学生来说的，而且对像威廉·詹姆斯这样渴望了解微积分的年长外行来说也是如此。数学处理的大多是静态对象，如圆、三角形和数字。但“外面”的宏大宇宙不是由我们创造的，它处于一种被牛顿称为“流变”的不断变化的状态——每一微秒，它都会神奇地变成另一种不同的状态。

微积分是关于变化的数学。如果你不是数学家和科学家，也不打算成为数学家或科学家，就没有必要掌握手工解答微积分题目的技巧。但是，如果你不去深入了解微积分的本质，不去深入了解詹姆斯所说的微积分的基本原理，就会错过一次伟大的智力冒险。你会错过一个令人振奋的机会，以致于不能一窥由我们头脑中那些神秘的小计算机所创造的最奇妙、最有用的东西之一。

我要感谢迪安·希克森、奥利弗·塞尔弗里奇和彼得·伦兹，他们审阅了这本书的手稿，并提供了大量宝贵的建议和修改意见。

马丁·加德纳
1998年1月 JMOQ511doparNrnotR7tCcw7JPqy0RYThsfcbNUH+nfowc3lw49BLw87LT4blD5f