第2章
基本证明技术

下面是用自然语言复述的鸽笼原理（见定理1.2）：

如果鸽子比鸽笼多，并且每只鸽子都进入一个鸽笼中，那么某个鸽笼中必装有不止一只鸽子 。

假设你的朋友不相信这个命题，你怎么能令人信服地论证这是真的呢？

你可能通过相反的结论不可能为真来试图说服你的朋友。你可能说，让我们想象一下，每个鸽笼中的鸽子不多于一只，然后计算一下鸽笼数，因为每个鸽笼中有零只或一只鸽子，那么鸽子的数目最多等于鸽笼数。而开始时我们假设鸽子比鸽笼多，所以这是不可能的。由于每个鸽笼中最多有一只鸽子是不可能的，所以某个鸽笼中必装有不止一只鸽子。这就是我们要试图去证明的。

在这一章中，我们将讨论如何将非规范、具体的论证，转化为规范、泛化的数学证明。 证明 （proof）是一个论证过程：从一个或多个前提（例如，鸽子比鸽笼多）开始，使用逻辑规则推导出结论的过程（如有些鸽笼装有不止一只鸽子）。尽管看上去用简单的自然语言描述一个论证似乎更容易，但是自然语言不够精确，也过于具体，用更规范的术语来描述数学问题会更为清晰，也更为泛化。

例2.1 下列命题的含义是什么？

每个人爱某个人

它的意思可以是：对于世界上的每一个人来说，都有一个他爱的人，即不同的人有不同的所爱。使用半数学语言，我们可以将这个语句表述为如下命题。

命题2.2 对于每个人 A ， 都存在一个人 B ， 使得 A 爱 B 。

对于例2.1还有另外一种解释，即存在某个特别的人，每个人都爱他。

命题2.3 存在一个人 B ， 对于每个人 A ， 有 A 爱 B 。

这两种解释有很大的差别。数学语言的目的之一，就是解决自然语言的这种模糊性。

“对于所有的”“对于任意的”“对于每一个”“对于某些”以及“存在”，这些短语都被称为 量词 （quantifier），谨慎使用这些量词是数学论述的重要组成部分。符号∀代表“对于所有的”“对于任意的”“对于每一个”，符号∃代表“存在”和“对于某些”。使用这些符号可以节省时间，但在数学短文中，它们也会使某些陈述变得更加难懂。因此，在第12章讨论 谓词逻辑 （quantificationallogic）的公式之前，我们避免使用量词。

量词是修饰 谓词 （predicate）的，如 A 爱 B 。一个谓词是一个命题模板，带有一个或多个 参数 ，本例中是 A 和 B 。一个谓词本身没有真值，因为不知道 A 和 B 的值，所以“ A 爱 B ”既不能说是真的也不能说是假的，只有被量化后（如命题2.2和命题2.3所示）或者应用了特定的参数（例如，罗密欧爱朱丽叶）后才有真值，并且可能对某些参数为真，而对另一些参数为假。

接下来给出数学命题及其证明的简单示例。

定理2.4 奇数。任意奇数可表示为两个整数的平方差。

首先，要确定我们真正理解了上述命题。一个 奇 （odd） 数 是可以写成2 k +1形式的任意整数，其中 k 也是一个整数。整数 n 的 平方 （square）是 n ² = n · n 。对于每一个 k 值，定理2.4的意思是存在两个整数（称为 m 和 n ），使得它们分别求平方后相减的结果等于2 k +1。（注意其中的量词：对于每个 k ，存在 m 和 n ，使得……）

如果一个整数 m 是某个整数的平方，则称 m 为 完全平方数 （perfect square）。我们可以更简洁地表述上述定理：任意奇数都可以表示为两个完全平方数的差。数学中这种情况很典型，即定义一个恰当的概念，可以使对普遍性事实的表述变得非常简单。

下一步就是确认为什么这个命题为真。如果理由不显然，则用更多的例子会有所帮助。让我们先列出前几个平方数：

0 ² =0

1 ² =1

2 ² =4

3 ² =9

4 ² =16

我们可以确认，对于某些特定的奇数，例如1、3、5和7，命题为真：

1=1-0=1 ² -0 ²

3=4-1=2 ² -1 ²

5=9-4=3 ² -2 ²

7=16-9=4 ² -3 ²

从上面这些例子，我们注意到一个规律，即所有列出的奇数都是两个连续整数的平方差，这些整数是0和1、1和2、2和3，以及3和4。另外观察到这些连续整数相加分别得到了与上面相同的奇数：0+1=1、1+2=3、2+3=5、3+4=7。因此，我们可以推测：奇数2 k +1应该是 k +1与 k 的平方差。我们来试一下：

( k +1) ² - k ² = k ² +2 k +1- k ²

化简后得到2 k +1。

我们猜对了！我们定义奇数为2 k +1，从而没有用特定的奇数，就确认了定理2.4适用于所有奇数。它甚至也适用于负奇数（2 k +1中的 k 为负值），尽管这个思想是通过正奇数示例得到的。

上面一系列的思考虽然展示了定理的思想是怎样得到的，但是作为一个规范的证明依然过于烦琐，实质性证明应该仅包括相关的细节。例如，所列出的例子不能加在论据中，即我们需要证明任何情况下命题都为真，而不仅仅是对列出的例子为真。下面是定理2.4的一个规范证明。

证明 ：对于任意奇数2 k +1（其中 k 为整数）都有

令 m = k +1、 n = k ，那么有2 k +1= m ² - n ² ，我们找到了具有前面所述性质的整数 m 和 n 。■

在验证这个证明的本质之前，先就其风格做进一步说明。第一，它用完整的语句写成，数学表达式使表述更精确和清晰，而论断过程是用短文形式表达的。第二，它的结构是清晰的：从已知假设开始（某整数是奇数），通过指明 m 和 n 是我们所寻求的两个整数，清晰地给出了证明的结尾。第三，它是严格的：给出了相关术语（奇数）的数学定义，该定义使我们的推证更细致和清晰，此外证明过程中的每一步都是由前面若干步逻辑清晰地推得的。

它还是令人信服的。该证明提供了充分的细节，让读者容易理解为什么每一步都是正确的，但又免于烦琐。例如，我们跳过了某些算术运算步骤，只表明了

2 k +1=( k +1) ² - k ²

这个等式并不直观，细心的读者可能会带着质疑去验证它。当我们给出了中间步骤，运算结果显然是正确的。有些假设不需要证明，例如，下面的步骤就是有效的

2 k +1=（ k ² +2 k +1）- k ²

事实上，不管我们怎样移项、合并同类项，它们的和是不变的。在这段内容中，这些规则看似相当基本，但是可以用作假设。证明这些规则会分散读者对主要论断的注意力。但在有关规范的算术运算的教材中，这些性质本身就是一个证明的主题。要包含多少细节取决于内容和目标读者。

现在回到上述证明的本质。首先，它是 构造性的 (constructive)。要证明的命题仅断言了某些事物的存在：对于任何奇数，存在两个整数，它们的平方差等于该奇数。一个构造性的证明不仅可以证明这个事物是存在的，还可以展示如何找到它。已知某个特定的奇数2 k +1，定理2.4的证明向我们展示了如何找到两个整数具有命题中所断言的性质：一个是 k +1，另一个是 k 。例如，如果我们想要表达的奇数是341，按照上述证明的方法，我们可以从341中减去1再除以2，该整数和下一个更大的整数就是所寻找的整数对，即170和171。验证很容易：

171 ² -170 ² =29241-28900=341

其实没必要去验证这种特定的情况，之所以这样做，只是让我们更确信代数运算没有错误。

一般来说，回答问题或解决问题的过程被称为 算法 （algorithm）。算法的描述足够详细和精确，原则上说，它是可机械执行的，既可以在机器上运行，也可以由人按照指令进行运算并不加以思考。一个构造性的证明本质上就是一个寻找证明中存在的事物的算法。在定理2.4中，证明描述的算法是：已知一个奇数2 k +1，寻找整数 m 和 n ，使得 m ² - n ² =2 k +1。

并非每一个证明都是构造性的，有的仅证明了存在性而没有给出如何寻找的方法。这样的证明被称为 非构造性的 （nonconstructive）。我们将看到一些有趣的非构造性证明的例子。事实上，鸽笼原理的证明就是非构造性的，因为它无法识别哪个鸽笼中有一只以上的鸽子。然而计算机科学家们喜欢构造性论证，因为一个构造性的证明会生成一个可寻找所存在事物的算法，此算法能够编程实现并在计算机上运行 。

有关定理2.4的最后一个说明是它的证明不仅具有构造性，而且包含超出了原有结论的其他结论。定理2.4不仅证明了每个奇数是两个整数的平方差，而且证明了是两个 连续整数 （constructive integers）的平方差（参见该定理证明）。完成一个证明后，值得回顾一下，看看是否会产生命题之外的有趣结论。

数学证明的基本目标是确定两个命题之间的等价性，即命题一在命题二为真的所有情况下都为真，反之亦然。例如，下面的命题：

一个整数的平方是奇数，当且仅当该整数本身是奇数 。

或者，用常规的数学风格可以表示为如下定理。

定理2.5 对于任意的整数 n ， n ² 是奇数当且仅当 n 是奇数。

这是一个非常典型的数学命题，有以下几点值得注意。

• 它使用了变量 n 来指代所讨论的事物，因此可以用该名称在命题的其他部分来指代同一事物。

• 按照惯例，使用名称 n 表示整数。其他的名称，比如 x ，表示一个任意的实数； p 表示一个质数。尽管变量名称的选择与数学意义不相关，但是使用惯例命名变量名称有助于读者对命题的理解。

• 虽然变量名称是遵循惯例的，但是命题并不完全依赖变量名称的惯例含义。特别指出： n 代表一个整数，所以根据上下文， n 也可以是正整数、非负整数或其他类型的数等。

• 命题使用了一个量词（对于任意的），这是为了明确所描述的性质适用于所有整数。

• 命题“ n ² 是奇数当且仅当 n 是奇数”实际上是将两个命题合二为一：

1.“ n ² 是奇数当 n 是奇数”，或为“如果 n 是奇数，那么 n ² 是奇数”；

2.“ n ² 是奇数仅当 n 是奇数”，或为“如果 n ² 是奇数，那么 n 是奇数”。

让我们来定义“当且仅当”命题的两个原子命题： p 表示 n ² 是奇数， q 表示 n 是奇数。思考一下“仅当”的含义：“ p 仅当 q ”与“如果 p ，那么 q ”具有相同的含义：如果我们知道 p 为真，那么 q 的唯一可能也为真。

一个“当且仅当”命题为真，只有在两个原子命题“ p 当 q ”和“ p 仅当 q ” 都 为真的情况下成立，或者说，只有在两个原子命题 p 和 q 等价的 情况下成立。短语“当且仅当”通常缩写为iff。

证明两个命题的等价性通常由两个证明步骤组成：证明每个命题都蕴含另一个命题。例如，在定理2.5中，我们证明了如果一个整数是奇数，那么它的平方也是奇数，然后我们证明了如果一个整数的平方是奇数，那么这个整数本身就是奇数。一般来说，两个方向的证明看上去非常不同。无论有多困难，在两个方向都得到证明之前，等价性证明都是不完整的。

定理2.5的第一个方向（如果 n 是奇数，那么 n ² 是奇数）可以采用 直接证明法 （direct proof）来证明。这类证明方法是直截了当的：假设前提是真的，然后从前提证明结论是真的。对于第二个方向（如果 n ² 是奇数，那么 n 是奇数），从稍微不同的角度来思考，会更容易些。直接的证明是假设 n ² 是奇数，由此去证明 n 是奇数，但似乎没有简单的方法可以做到这一点。代之以等价的证明：若 n 不是奇数，即 n 是偶数，那么 n ² 也不是奇数。

证明 ：首先，我们证明如果 n 是奇数，那么 n ² 是奇数。如果 n 是奇数，那么可以表示为： n =2 k +1，其中 k 是整数。则有

设 j 为整数2 k ² +2 k ，则 n ² =2 j +1，所以 n ² 是奇数。

接下来，我们证明如果 n ² 是奇数，那么 n 是奇数。假设这不是对所有的 n 都成立，那么存在某个整数 n ，使得 n ² 是奇数，而 n 不是奇数。因为任何整数若不是奇数，必定为偶数，所以 n 为偶数。为了证明这样的 n 不存在，我们需要证明“如果 n 是任意偶数，那么 n ² 是偶数”。此时， n 是偶数，则设 n =2 k ，其中 k 是整数。则有

设 j 为整数2 k ² ，则 n ² =2 j ，所以 n ² 是偶数，也就是假设（ n 是一个整数，使得 n ² 是奇数，但 n 不是奇数）是假的。所以它的否定命题是真的，即如果 n ² 是奇数，那么 n 是奇数。■

这个证明比定理2.4的证明步骤更多一些，也更结构化一些。在一个比较长的证明中，要将多个步骤有条理地结合在一起，从而使读者不仅明白单独一个步骤的作用，还能理解论点的整体思想。例如，为了引导读者理解这个证明，我们在对论点的每个部分深入证明之前，都表明了证明的方向。

更复杂的证明可能有多个中间步骤。当一个中间步骤特别长或者很难的时候，可以先将这个中间步骤独立出来，从而使整个证明不会太长。中间步骤本身也可以是一个定理，如果它与要证明的定理在内容上不是特别相关，我们称之为 引理 （lemma）。另外，定理得到证明之后，会带来一些更容易证明的相关结论，我们称其为定理的 推论 （corollary），而不是“定理的定理”。例如，下面是定理2.5的推论：

推论2.6 如果 n 是奇数 ， 那么 n ⁴ 是奇数 。

证明 ：注意 n ⁴ =（ n ² ） ² ，由于 n 是奇数，根据定理2.5， n ² 是奇数。又由于 n ² 是奇数，再次根据定理2.5，有 n ⁴ 是奇数。■

在定理2.5证明的第二部分，我们采用了 蕴含 （implication）推理，即把形如“如果 p ，那么 q ”的命题，转化为等价的“如果非 q ，那么非 p ”。在证明的这一部分中， p 表示 n ² 是奇数， q 表示 n 是奇数。蕴含命题有多种变体，对这些变体的命名和辨别很重要 ^[1] 。

对蕴含命题“如果 p ，那么 q ”有三种不同的翻转方式。将其中的两个部分做否定就得到了 反换式 （inverse）命题“如果非 p ，那么非 q ”；仅改变其中两部分的顺序，可得到 逆换式 （converse）命题“如果 q ，那么 p ”；既改变两部分的顺序又做否定可得到 逆反式 （contrapositive）命题“如果非 q ，那么非 p ”。

因为命题的逆反式与该命题逻辑等价，所以可以通过其中一个命题的证明来证明另一个，如同反证法的逻辑一样。这就是为什么我们可以用“如果 n 是奇数，那么 n ² 是奇数”的证明，来代替“如果 n ² 是奇数，那么 n 是奇数”的证明，它们互为逆反式。

注意：反换式和逆换式与原命题不等价。例如，在上述证明中，必须包含“如果 n 是奇数，那么 n ² 是奇数”和“如果 n ² 是奇数，那么 n 是奇数”这两个命题的证明，因为这两个命题互为逆换式，逻辑不等价。

我们使用了命题的另一种变体。命题 p 的 否定 （negation）也是命题： p 为假。换句话说，是命题“非 p ”。因此，“ n 是奇数”的否定命题是“ n 是偶数”。“如果 p ，那么 q ”的逆反式是“如果非 q ，那么非 p ”。

数学语言表达思想更广泛、更精确，但是高度的抽象也会造成混乱。当使用这种方式表达思想时，必须格外小心，确保我们所得到的命题是有意义的。我们在一个证明中要保持质疑，使得每一步都必须由前面某一步或若干步的结果推导而得。例如，下面对1=2的伪证明：

令 a = b ，那么有

哪里出错了呢？显然我们得到的结论是不成立的，开始的假设（ a = b ）是成立的，所以必定在证明的某一步上，我们犯了逻辑错误。

错误发生在第三步到第四步的时候。我们开始时假设 a = b ，所以除以 a - b 实际上是除以零，这不是有效的算术运算。因此，在这一步上出现了逻辑错误，后面都是无意义的了。在做证明时，务必牢记符号的意义，以避免类似的错误。

对2=1的伪证明看上去像证明但实际上不是证明。因为出现了不成立的结论，所以我们意识到一定在某个步骤上出现了错误，这迫使我们回溯论证，去找出出错的地方。这种推理方式（推导出矛盾，意味着论点有错误）实际上是一种非常有用的证明技术。事实上，在定理2.5第二部分的证明中，我们已经看到了反证法的例子。

反证法从假设命题的否定成立开始，如果我们能够推导出一个矛盾（整个过程没有任何逻辑错误），那么唯一的可能就是论证开始的假设出了问题。由于假设命题的否定成立而导致了矛盾，因此确定命题为真。

我们再看另一个例子，使用反证法来证明 是无理数。按照惯例，首先要正确理解命题的含义。一个 有理数 （rational number）可以表示为两个整数之比。例如，1.25是有理数，因为它可以表示为 （或者 ，还有更多的方式）。如果一个数不是有理数，那么它就是 无理数 （irrational number），即不能表示为两个整数之比的数。

我们试图直接证明 是无理数，但是完全不清楚应该如何进行（甚至不知道从哪里开始）。因此，我们想到如果这个命题不是真的，会发生什么，假设的结果是否会产生逻辑上的矛盾。

定理2.7 是无理数。

证明 ：为了推导矛盾，假设命题是假的，即 不是无理数。这意味着 是有理数，换句话说，可表示为两个整数的比。因此，假设 ， a 和 b 为整数，其中 a 和 b 最多有一个是偶数（这个附加的假设是可行的，因为如果两者都是偶数，我们可以通过分别除以2得到等值的分数，从而有更小的分子和分母）：

重复以上操作，直到得到分子或分母（或全部）为奇数的分数。因此，可以 不失一般性 （without loss of generality）地假设 ，并且 a 、 b 中至少有一个奇数。由于 ，将两端乘以 b ，可得 。将等式两端取平方，可得

所以 a ² 可以被2整除。也就是说， a ² 不是奇数，根据定理2.5， a 也不是奇数，换句话说， a 可以被2整除。因此，设 a =2 k ，其中 k 是整数，于是式（2-8）变成

2 b ² =（2 k ） ² =4 k ²

两端除以2，得到 b ² =2 k ² 。因此， b ² 是偶数，从而 b 必定是偶数。我们证明了 a 和 b 都是偶数，这与假设“ a 和 b 中最多有一个偶数”相矛盾。所以， 必定是无理数，得证。 _■

有时要证明的命题可以被划分为若干块，每一块可以被单独证明，这些块组合起来就能构成完整的论点，这时证明就变得更容易了。在定理2.5的证明中就采用了这种简单的方法，我们将“当且仅当”命题划分为两个蕴含命题，然后分别做了证明。采用这种思想的另一种证明方法叫作 情况分析 （case analysis），它是将有关一个类的总命题划分为若干子类相关的命题。如果对于每一种可能的情况，命题都会得到证明，那么总的原始命题必定为真。在定理1.8中我们看到了一个简单的情况分析，其中，我们试图找到一个大于前 k 个质数 p ₁ ，…， p _k 的质数，并且推断（ p ₁ · p ₂ ·…· p _k ）+1要么是质数，要么具有一个比任何 p _i 都大的质因子，每一种可能都证明了相应的结论。下面的例题应用了更复杂的情况分析。

例2.9 证明在任意六人群中，有3人相互认识，或者有3人相互陌生。（“认识”是对称的，即如果 A 认识 B ，那么 B 也认识 A 。）

解 ：首先从6个人中任意选出一个人 X 。在剩下的5个人中，至少有3个人是 X 认识的，或者至少有3个人是 X 不认识的（见习题2.15）。依据每种情况为真，论证分为两种主要情况，每种主要情况又分为两种子情况。

情况 1. X 至少认识3个人。那么再来看一下这3个人之间的关系。如果他们中的任意2个人彼此都不认识，那么这3个人相互都是陌生的。如果其中有某2个人相互认识，那么这两个人再加上 X 就构成了一组互相认识的3个人。

情况 2.至少有3个人 X 不认识。考虑一下 X 不认识的这3个人。如果这3个人互相认识，他们就组成了一组互相认识的3个人。否则，他们中至少有2个人彼此不认识，这2个人加上 X ，就构成了一组相互不认识的3个人。■

在这个证明中，情况2中的论证似乎很像情况1中的论证，只是互换了“认识”和“不认识”的角色。事实上，除了角色互换之外，这两个论证是完全相同的。这个例子展示了另一种常用的证明技术： 对称性 （symmetry）。

论证中的对称性如图2.1所示，我们将在第16~18章中深入讨论这种图。 A , B ,…, F 代表6个人，黑色线连接的两个人彼此认识，灰色线连接的两人相互不认识。因此，情况1是指当选定某个人 X （如图中的 E ）时，他认识（通过黑色线连接的）其他3个人。情况2是指当选定某个人 X （如图中的 A ）时，他不认识（通过灰色线连接的）其他3个人。除了互换黑、灰两种颜色之外，论证完全是对称的。我们可以说， 在有 6 个节点的图中 ， 每对节点之间都有边相连，如果边是两种颜色中的一种，则图中包含一个同色（单色 ） 的三角形 。（图2.1中 E 、 B 和 D 构成一个这样的三角形）。

一旦确定了对称性，就不需要给出两次相同的论证。在情况2中，我们只需要表述“如果至少有3个人与 X 不认识，那么这个论证是对称的，即互换了‘认识’与‘不认识’的角色”。一个存在对称性的论证比没有发现对称性的论证更短且更能揭示本质。在确定了对称性的情况下，结果的陈述变得更简单，因为同色三角形可以表示3个人彼此认识也可以表示3个人相互不认识。

本章小结

• 证明 是一种规范、通用、精确的数学论证，从一个或多个前提开始，并使用逻辑规则推导出结论来。

• 量词 ，如“对于所有的”“对于任意的”“对于每一个”“对于某些”和“存在”，规定了谓词的范围。

• 谓词 是一个命题模板，带有一个或多个 参数 。谓词本身既不为真也不为假，只有代入了特定的参数时才有值“真”或者“假”。

• 一个 构造性 证明展示了如何去寻找存在的事物。一个 非构造性 证明展示了事物的存在性，但没有展示如何去寻找存在的事物。

• 算法 是一个详细而精确的过程，可以由机器（如计算机）执行。

• 为了证明两个命题是 等价的 ，从两个方向分别证明通常是最容易的：要证明“ p 当且仅当 q ”需要证明“如果 p ，那么 q ”和“如果 q ，那么 p ”。

• 直接证明法 从假设前提为真开始，并基于该假设推导出结论。

• 反证法 从假设命题为假开始，并基于该假设推导出矛盾。

• 命题“如果 p ，那么 q ”的逆反式是“如果非 q ，那么非 p ”、反换式是“如果非 p ，那么非 q ”、逆换式是“如果 q ，那么 p ”。

• 命题和它的逆反式是等价的（而反换式、逆换式都与原命题不等价）。因此，要证明一个命题，证明它的逆反式就足够了。

• 情况分析 证明命题的方法是将命题划分为限定的多个子命题（这些命题穷举所有的可能性），然后分别证明每个子命题。

• 具有 对称性 的论证可以避免重复几乎相同的论证。

习题

2.1 根据定义，-1是奇数吗？为什么是？为什么不是？

2.2 给出下列命题的反换式、逆换式以及逆反式：

如果下雨，那么我带雨伞 。

2.3 证明两个奇数的乘积是一个奇数。

2.4 证明 是无理数。

2.5 证明 是无理数。

2.6 证明对于任意正整数 n ， 是整数或是无理数。

2.7 证明存在一个正七面体模具，即七个面都相同的多面体。 提示 ：论证过程不是严格的数学证明，而是基于某些直觉，即物理对象的几何形状在某个维度上拉伸的性质。

2.8 证明所有偶数的平方都可以被4整除。

2.9 （a）证明或者给出反例：如果 c 和 d 是完全平方数，那么 cd 也是一个完全平方数。

（b）证明或者给出反例：如果 cd 是一个完全平方数并且 c ≠ d ，那么 c 和 d 都是完全平方数。

（c）证明或者给出反例：如果 c 和 d 都是完全平方数，使得 c > d ，并且有 x ² = c 和 y ² = d ，则有 x > y （假设 x 、 y 都是整数）。

2.10 反证法证明：如果17 n +2是奇数，则 n 是奇数。

2.11 评判下述证明是否正确。

x > y

x ² > y ²

x ² - y ² >0

( x + y )( x - y )>0

x + y >0

x >- y

2.12 命题“如果 p ，那么 q ”的逆反式的逆换式是什么？更简单的等价命题是什么？

2.13 用量词和蕴含式表达下列命题。可以假设“正数”“实数”和“质数”都是已知的，而“偶数”和“不同的”需要用命题来表达。

（a）每个正实数都有两个不同的平方根。

（b）每个正偶数都可以表示为两个质数的和 。

2.14 用非构造性证明方法论证存在无理数 x 和 y ，使得 x ^y 是有理数。 提示 ：考虑 ，分别分析两种情况，一种是有理数，另一种是无理数。后一种情况是将其再提升 次幂。

2.15 应用第1章给出的概念，解释例2.9的证明步骤，说明当 X 被挑选出来时，剩下的5个人中，至少有3个人与 X 认识，或至少有3个人与 X 不认识。

[1] 这里首次使用了变量 p 和 q 来表示 命题 （proposition），即可以为真或为假的陈述句。第9章将讨论这些命题变量的运算，称之为 命题演算 （propositionalcalculus）系统。我们在这里只是使用命题变量来表示如何组合命题。 vW9KNV+FPu+dhjzwSnUR9xyOaEuN4ECICsBKRYK6q41UlcxXMHpW6uS/g3vulBeL