3.6 使用SciPy对函数进行数值积分

积分可以解释为曲线与 x 轴之间的面积，根据该区域是在 x 轴的上方还是下方来确定结果的符号。有些积分无法用符号方法直接计算，而必须用数值方法近似计算。一个典型的例子就是高斯误差函数，这在第1章1.3节中提到过。其定义公式如下：

此外，这里出现的积分不能用符号方法进行计算。

在本节中，我们将了解如何使用SciPy软件包中的数值积分例程计算函数积分。

3.6.1 准备工作

我们使用scipy.integrate模块，该模块包含多个用于计算数值积分的例程。我们还将以np的形式导入NumPy库。我们导入该模块的方式如下：

3.6.2 实现方法

以下步骤描述了如何使用SciPy对函数进行数值积分：

1.我们需要计算 x =1时误差函数的积分。为此，我们需要在Python中定义被积函数（积分中出现的函数）：

在scipy.integrate中，有两个主要例程可用于执行数值积分（quadrature）。第一个是quad函数，使用QUADPACK执行积分，第二个是quadrature方法。

2.quad例程是一种通用的积分工具。它需要三个参数，即待积分的函数（erf_integrand）、下限（-1.0）和上限（1.0）：

第一个返回值是积分值，第二个是误差估计值。

3.使用quadrature例程进行同样的积分计算，参数与quad例程的参数相同。我们会得到以下结果：

输出的格式与代码相同，先是积分值，然后是误差估计值。请注意，quadrature例程的误差要大一些。这是由于一旦估计误差低于给定的容差，方法就会终止，而这个容差可以在调用例程时被修改。

3.6.3 原理解析

大多数数值积分技术都遵循相同的基本程序。首先，我们在积分区域内选择点 x _i , i= 1,2,…, n ，然后使用这些值和 f （ x _i ）的值来近似积分。例如，利用梯形法则，我们用下面的公式来近似积分：

这里， a ＜ x ₁ ＜ x ₂ ＜…＜ x _{n -1} ＜ b ，而 h 是相邻的 x _i 值之间的差值（这里 h 相同），包括端点 a 和 b 。这可以用Python实现如下：

quad和quadrature使用的算法要比这复杂得多。使用该函数近似计算erf_integrand的积分，使用具有500个步长的梯形方法，结果为1.4936463036001209，这与quad和quadrature例程的近似值一致，结果精确到小数点后5位。

quadrature例程使用的是固定容差的高斯积分法，而quad例程使用的是Fortran库QUADPACK实现的自适应算法。对这两个例程进行计时，我们发现对于本例描述的问题，quad例程比quadrature例程快约5倍。quad例程的平均执行时间约为27μs，平均执行次数超过100万次；而quadrature例程的平均执行时间约为134μs（根据你的系统不同，你的结果可能会有所不同）。一般来说，你应该使用quad例程，因为它既快又准，除非你确实需要使用quadrature例程实现高斯积分。

3.6.4 更多内容

本节提到的例程要求已知被积函数，但情况并非总是如此。相反，可能的情况是，我们知道 y = f （ x ）的若干对（ x , y ）值，但不知道具体的函数 f 来求其他点的值。在这种情况下，我们可以使用scipy.integrate中的一种采样正交技术。如果已知点的数量非常多，并且所有点的间距相等，我们可以使用龙贝格（Romberg）积分法对积分进行近似。为此，我们使用romb例程。否则，我们可以利用trapz例程使用梯形法则的变体（如前所述），或利用simps例程使用辛普森法则求积。 EgBEyG2UzC50UL+MqGLBDZr4v39u8BDPuv4Ox3MyW6tXSzkg3KiN2PSQzZ9U4+Zp