利用Python解决数学问题：原书第2版最新章节_萨姆·莫利著

3.5 求解方程

许多数学问题最终都会归结为求解形式为 f ( x )=0的方程，其中 f 是单变量函数。在这里，我们试图找到一个使方程成立的 x 值。使方程成立的 x 值有时称为方程的根。有许多算法可以找到这种形式的方程的解。在本例中，我们将使用牛顿法和割线法（secant method）求解形为 f ( x )=0的方程。

牛顿法和割线法是很好的标准求根算法，几乎适用于任何情况。它们都是迭代法，从根的近似值开始，迭代改进该近似值，直到它落在给定的容差范围内。

为了演示这些技术，我们将使用SymPy中的符号微分和积分函数，该函数由以下公式定义：

f ( x ) = ( x ² -2 x )exp(3- x )

这个定义适用于 x 的所有实数值，并且正好有两个根，一个在 x= 0处，另一个在 x= 2处。

3.5.1 准备工作

SciPy软件包中含有求解方程的例程以及许多具有其他功能的例程。求根例程可以在SciPy包的optimize模块中找到。像往常一样，我们将NumPy导入为np。

3.5.2 实现方法

optimize软件包提供了用于数值求根的例程。以下说明介绍了如何使用该模块中的newton例程：

1.optimize模块未在scipy命名空间中列出，因此必须单独导入：

2.然后，我们必须在Python中定义这个函数及其导数：

3.该函数的导数在前面的例子中已经计算过了：

4.对于牛顿法和割线法，我们都使用optimize中的newton例程。牛顿法和割线法都要求将函数作为第一个参数，将初始近似值x0作为第二个参数。要使用牛顿法，我们必须使用fprime关键字参数提供 f 的导数：

5.要使用割线法，只需要提供函数作为参数，但必须提供根的前两个近似值，第二个近似值用x1关键字参数来提供：

注意

无论是牛顿法还是割线法，都不能保证收敛到真正的根。该方法的迭代完全可能只是在多个点上循环（周期性地）或剧烈波动（混沌）。

3.5.3 原理解析

具有导数 f′ （ x ）和初始近似值 x ₀ 的函数 f （ x ），使用牛顿法迭代求根的公式定义如下：

对于每个大于0的整数 i ，从几何角度看，如果 f ( x _i ) ＞ 0，则梯度方向为负（因此，函数是递减的）；如果 f ( x _i ) ＜ 0，则梯度方向为正（因此，函数是递增的），从而得出这个公式。

割线法以牛顿法为基础，但用以下近似值代替了一阶导数：

当 x _i -x _i _-1 足够小的时候，如果方法收敛，这就是一个很好的近似值。不需要函数 f 的导数的代价是，我们需要额外的初始猜测值来启动该方法。该方法的公式如下：

一般来说，如果给定的初始猜测值和根足够接近，那么这两种方法都会收敛到该根。如果在一次迭代中导数为零，牛顿法也会失效，在这种情况下，公式的定义并不完善。

3.5.4 更多内容

本例中提到的方法是通用方法，但在某些情况下，其他方法可能会更快或更准确。广义上讲，求根算法可分为两类：一类是在每次迭代时使用函数梯度信息的算法（如牛顿法、割线法、Halley迭代法），另一类是需要对根的位置进行约束的算法（如二分法、Regula-Falsi法、Brent法）。到目前为止，我们讨论的算法都属于第一类，虽然通常它们的速度相当快，但可能无法收敛。

第二类算法是已知根存在于指定区间 a ≤ x ≤ b 的算法。我们可以通过检查 f （ a ）和 f （ b ）是否有不同的符号来确定根是否在这样的区间内，即 f （ a ）＜ 0 ＜f （ b ）或 f （ b ）＜ 0 ＜f （ a ）中的一个为真（当然，前提是函数是连续的，实际中的函数往往是如此连续的）。这类算法中最基本的是二分法，即反复对区间进行平分，直到找到足够好的根近似值为止。其基本前提是在 a 和 b 之间的中点处分割区间，并选择函数符号发生变化的区间。该算法不断重复，直到区间非常小为止。以下是该算法在Python中的基本实现：

这种方法会保证收敛，因为每走一步， b-a 的长度就减半。不过，与牛顿法或割线法相比，该方法可能需要更多次的迭代。在optimize模块中也可以找到二分法的对应版本。这个版本是用C语言实现的，比这里介绍的版本效率高得多，但在大多数情况下，二分法并不是最快的方法。

Brent法是对二分法的改进，在optimize模块中以brentq的形式提供。它结合使用了二分法和插值法，可以快速找到方程的根：

值得注意的是，涉及区间界定的技术（bisection、regula-falsi、Brent）不能用于复变函数求解，而不使用区间界定的方法（牛顿法、割线法、Halley法）则可以用于这样的函数求解。

最后，有些方程的形式不完全是 f ( x )=0，但仍可使用这些技巧求解。这是通过重新排列方程，使其具有所需的形式来完成的（如果有必要，重新命名函数）。这通常并不困难，只需将等式右边的项移到左边即可。例如，如果你想找到一个函数的不动点，即 g ( x )= x ，那么我们就可以将此方法应用于相关函数，即 f ( x )= g ( x )- x 。