3.4 使用SymPy进行符号微分和积分

有时，你可能需要对一个不是简单多项式的函数进行微分，而且可能需要以某种自动化的方式来完成。例如，你需要编写教育软件。Python科学栈包含一个名为SymPy的软件包，它允许我们在Python中创建和操作符号数学表达式。特别是，SymPy可以像数学家一样对符号函数进行微分和积分。

在本节中，我们将创建一个符号函数，然后使用SymPy库对该函数进行微分和积分。

3.4.1 准备工作

与其他一些科学Python软件包不同，文献中似乎没有导入SymPy的标准别名。相反，文档在多处使用了星号导入，这与PEP8风格指南不一致。这可能是为了让数学表达式更自然。为了避免与scipy软件包的标准缩写sp（这也是sympy的自然选择）相混淆，我们将简单地以其全称sympy导入模块：

在本例中，我们将定义一个表示以下函数的符号表达式：

f ( x ) = ( x ² -2 x )e ^{3 -x}

然后，我们看看如何对该函数进行符号微分和积分。

3.4.2 实现方法

使用SymPy软件包进行符号微分和积分（就像手工计算一样）非常简单。请按照以下步骤操作。

1.导入SymPy后，我们将定义出现在表达式中的符号。该符号是一个Python对象，它没有特定的值，就像数学变量一样，但可以在公式和表达式中使用，同时表示许多不同的值。在本方法中，我们只需要为 x 定义一个符号，因为除此之外我们只需要常量符号和函数。我们使用sympy中的symbols例程来定义新符号。为了保持符号的简洁性，我们将这个新符号命名为x：

2.使用symbols函数定义的符号支持所有算术运算，因此我们可以直接使用刚刚定义的符号x构建表达式：

3.现在，我们可以使用SymPy的符号微积分功能来计算f的导数，也就是对f进行微分。我们可以使用SymPy中的diff例程来实现这一点，该例程能实现符号表达式关于指定符号的微分，并返回一个导数表达式。这个导数表达式通常不是以最简单的形式表示的，因此我们使用sympy.simplify例程来简化结果：

4.通过与使用乘法法则手工计算出的导数相比较，我们可以检查使用SymPy进行符号微分的结果是否正确，该导数定义的SymPy表达式如下所示：

5.SymPy的相等性测试能够验证两个表达式是否相等，而不是测试它们在符号上是否等价。因此，首先简化要测试的两个表达式的差值，并测试该差值是否为0：

6.我们可以使用SymPy的integrate函数对导数fp进行积分，并检查积分结果是否等于f。同时，提供要进行积分的符号作为第二个可选参数也是一个好主意：

正如我们所见，对导数fp进行积分的结果就是原始函数f（尽管从技术上来说，缺少了积分常数 C ）。

3.4.3 原理解析

SymPy定义了各种类来表示特定类型的表达式。例如，由Symbol类表示的符号就是原子表达式的例子。表达式的构建方式与Python从源代码中构建抽象语法树的方式类似。然后可以使用方法和标准算术运算来操作这些表达式对象。

SymPy还定义了标准数学函数，可以对Symbol对象进行操作以创建符号表达式。SymPy最重要的功能是能够执行符号微积分，而不是本章余下部分将探讨的数值微积分，并给出微积分问题的精确解（有时称为解析）。

SymPy包中的diff例程会对这些符号表达式进行微分。该例程的结果通常不是最简形式，因此我们在例子中使用了simplify例程来简化导数。integrate例程是将scipy表达式对给定符号进行符号积分。（diff例程也接受一个符号参数，用于指定微分的符号变量）。这将返回一个表达式，其导数就是原始表达式。此例程不会添加积分常数，这是手工积分时的良好做法。

3.4.4 更多内容

SymPy能做的远不止简单的代数和微积分。它包含数学各个领域的子模块，如数论、几何和其他离散数学（如组合学）。

SymPy表达式（函数）可以构建到Python函数中，并应用于NumPy数组，这是通过sympy.utilities模块中的lambdify例程实现的。它会将SymPy表达式转换为数值表达式，并使用SymPy标准函数的NumPy等价函数对表达式进行数值计算。其结果类似于定义一个Python Lambda匿名函数，它因此得名。例如，我们可以使用lambdify例程将此例中的函数和导数转换为Python函数：

lambdify例程需要两个参数。第一个是要提供的变量，即前面代码块中的x，第二个是调用此函数时要求值的表达式。例如，我们可以将先前定义的经过lambdify处理的SymPy表达式当作普通Python函数来求值：

我们甚至可以在NumPy数组上计算这些经过lambdify处理的表达式（像往常一样，将NumPy导入为np）：