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1948年稳恒态宇宙学的优雅或许在事后看来更容易体会。它的极少假定（在一个全局范围内能够均匀、持续且稳定地产生物质的时空中，遵循标准的局域物理学规律）得出了可以为观测提供固定目标的预测。在当时这个研究领域的实证基础极其匮乏的情况下，这是研究的重要动力。赖尔的射电源计数研究项目就是一个典型的例子，它无意间对爱因斯坦的宇宙学原理的早期实证证据做出了重要的贡献（第2.3节）。自然科学研究变幻无常的一个典型例子是稳恒态学界忽视了伽莫夫（1954a）的挑战：如何解释稳恒态所预测的附近星系中最年轻的10%和最古老的10%年龄差异20倍。正如伽莫夫所指出的，这似乎与观测到的附近星系光谱的近乎均匀性完全不符。事实是，出于其他原因，人们对1948年稳恒态模型的兴趣在20世纪60年代中期减弱了，最值得注意的是第4章将要讨论的紧迫挑战：如何解释近乎均匀、近热的微波辐射海的存在。
在20世纪60年代，大多数活跃于实证主义宇宙学家这一小圈子中的人，选择以广义相对论中爱因斯坦场方程的弗里德曼—勒梅特解作为研究框架。有人认为，有可能确定世界将如何终结：宇宙的质量是否足够大，以至于（理论上）将停止膨胀，宇宙是否可能会陷入大挤压或大冷却？事后看来，我们可能会感到奇怪的是，对于广义相对论在河外尺度上应用的极为有限的实证基础，并没有太多人质疑。这种评估隐含着一种实用主义的态度：在20世纪60年代，尚无明显证据表明这一领域能够取得更大的进展。
图3.2展示了实证状况在20世纪70年代有望改善的前景。戈特等（1974）可以通过对完全不同的现象的测量，得到5个独立的约束条件，以拟合他们模型中的两个自由参数：宇宙平均质量密度和宇宙膨胀率。如果在这一点上约束条件和参数被证明不一致，那么我们可以合理地推测，该问题会被广泛关注。一致性的证明并没有得到多少庆祝，我想这是因为学界基于非实证性的原因普遍预期到了这一结果。然而，这个结果虽然谈不上大，但也可以算作相对论热大爆炸理论的一个早期正面验证。
对相对论热大爆炸宇宙学模型的首次全面检验是通过宏大的宇宙平均质量密度测量项目实现的。表3.2中列出的质量密度探测并不完整，但它是一个足够大的样本，展示了学界致力于汇编星系类型、环境、角位置、红移和距离的工作。它也展现了为将这些数据简化为质量密度测量值而开发的各种分析、数值和统计方法的多样性和创造性。尽管该项目的名义目标是对宇宙学理论进行检验，但我怀疑，对于许多人来说，主要吸引力在于寻找有意义的质量密度测量值在科学上是有趣的，而且可能是可行的。这一事业的关键在于，可以对许多星系进行表征，并且随着技术的进步，其角位置、红移和距离的测量精度以及数量将不断提高。例如，考虑一下，阿拉姆等（2017，2617）报告说，他们的“最终样本包括9 329 deg 2 上的120万个大质量星系，覆盖红移范围0.2< z <0.75”。对于那些愿意接受如此严峻挑战的人来说，这是一个有吸引力的情况，我们看到这样的人确实存在。
20世纪70年代的学术界是否本可以转而开展一项基于恒星演化理论，放射性衰变年龄，元素形成的历史，探索恒星、超新星、AGN、星系团和星系的性质的研究项目，以确立距离尺度并比较时间和距离的天文学和宇宙学尺度？这是一个丰富的研究主题，有很多恒星和不少的附近星系都可以仔细地研究。如果我们在20世纪70年代和20世纪80年代对这些现象开展更系统的分析，我们会学到很多东西。但对质量密度的更多关注似乎是不可避免的，因为20世纪70年代文献中的数据已经允许对星系动力学进行相当有趣的统计分析，并且可以使用配备了高效探测器的中等尺寸的望远镜获得更多数据。20世纪70年代已经有了一些时标的数据，但我认为这些数据还不够丰富，也不太容易改进，因此不太可能吸引更深入的研究。
与对平均质量密度值的探索同步发展的是对微波辐射海性质的探讨（见第4章）。这两个研究领域是相互影响的，因为理论解释是相关的，正如对COBE各向异性的考虑那样。但在世纪之交，当这些研究和其他研究的约束逐渐趋于融合时，这种互动变得真正重要起来。
宇宙学革命后，沿着表3.2中最后条目的内容进行的研究以及其他待研究的研究方向，仍然活跃并富有成果。所不同的是，学界已经就一个共识性的标准宇宙学达成一致。在革命之前，寻找可行的想法和可能与数据更相符的各种参数是很有趣的。一个例子是，公式（3.42）和（3.43）的线性偏差模型中星系分布与质量分布之间的系统差异如何影响Ω m 的测量值。如果星系没有被证明是有效的质量示踪，那么这种情况是否真的像这种偏差模型中描述的那样简单似乎就令人怀疑，但是该模型在另一方面很重要，提醒人们注意一个未解决的问题。当然，星系是有偏差的质量示踪，但事实证明，这种偏差影响太小，无法在图3.5中看到。偏差仍然是一个考虑因素，现在对检验有关星系形成的理论而言最为重要。
如果没有在世纪之交通过红移—星等测量和CMB各向异性测量得出的证据，学界是否仍能达成一致，得出质量密度远低于爱因斯坦—德西特值的结论？达成共识会很困难，因为较早的证据广泛地分散在文献中，并且混杂着系统误差。但我认为这一结论的基础已经存在。
[1] 简言之，让 r=θD 作为M 31在观测的角大小 θ 和目标距离 D 上的半径，让 v 作为M 31旋转的速度，让 v ⊙ 作为地球以质量 M ⊙ ，距离 r ⊙ 围绕太阳旋转的速度。那么M 31的质量 M 在牛顿力学下就满足 M/M ⊙ ≈ ( θD/r ⊙ )( v / v ⊙ ) 2 。观测到的M 31的流量密度是 f ≈ L/D 2 ，这里 L 是光度。这两个公式组合在一起，在观测量 θ 、 f 和质光比 M/L 下，得到距离 D 。如果M 31是另外一个充满恒星的星系，其预期的质光比就和银河系其他恒星相似。奥皮克发现 D =450 kpc，显著地和现代测量值 D =780 kpc相似。
[2] 要理解这一点，我们想象空间是有周期的，周期长度为 L 。傅里叶波必须是连续的，所以允许的波长是 λ = L/n ，其中 n 为整数。如果宇宙在均匀膨胀，那么 λ ∝ a ( t )。如果模频率与模波长 ȧ⁄a 的变化相比足够大，那么绝热要求模中的场位于模中。这些在任意大的尺度 L 上都适用。
[3] 更早的例子（但对观测的限制较少）见于富田和林（1963）以及廷斯利（1967）的研究。富田和林展示了质量密度——宇宙学常数平面上的无量纲乘积 H 0 t 0 的等值线图，廷斯利展示了 H 0 t 0 的值，以及在Λ=0时作为质量密度的函数的红移——光度关系。
[4] 质光比 M / L 的单位是太阳质量/太阳光度（其中 M ⊙ =1.989×10 33 g， L ⊙ =3.83×10 33 erg s −1 ）。由于星族的光谱可能与太阳的光谱不同，因此通常会说明星族和太阳进行光度比较的波段。光度 L B 在以0.42 μ =4 200 Å为中心的标准波段内测量。典型值是 M/L B ∼2±1，具体值取决于昏暗但数量众多的低质量恒星的丰度。 M/L 的值与哈勃常数的值成比例 M/L ∝ H 0 。
[5]
凯泽（1987）通过实际空间中位置的傅里叶振幅
δ
(
)与红移空间中的
δ
s
(
)之间的关系，引入了对红移空间中两点相关性的描述：
其中
θ
是视线方向与波数
之间的角度，函数
f
(Ω
m
)定义在下文的公式(3.41)中。
[6] 一个技术点：计算使用星系空间三点函数，测量一对星系附近星系的平均集中度，也许还有质量的平均相对集中度。这决定了该星系对的相对引力加速度（Peebles，1976b）。巴特利特和布兰查德（1996）指出，用靠近一对星系的星系的位置来表示这对星系周围暗质量的相对数量可能会受到质疑，特别是在小间距时，因为此时附近可能存在，也可能不存在第三个星表星系。但是，在较大的间距处，由于这些成对的星系有更多的邻居，所以产生的任何误差可能会更小。因此，我们支持这种方法的最佳证据是模型与在 r p ≃30 kpc到3 Mpc范围内的分离处测得的相对速度弥散的一致性。这种相当大的抽样范围表明该模型与实际情况可能相差不大，而测量值Ω m =0.2 e ±0.4 接近世纪之交时确定的值。
[7] PSC z 是星系红移的红外天文卫星点源汇编。
[8]
对于线性扰动理论中偏差演化的一个简单模型，请考虑质量和星系分布均匀性的相对偏离，这里质量密度和数密度为
ρ
(
,
t
)和
n
(
,
t
)：
想象星系位置在时刻
t
i
是固定的。假设在
t
>
t
i
时，质量和星系具有相同的本动速度场
(
,
t
)。这似乎是合理的，因为引力对质量和星系的牵引力相等。那么在线性扰动理论中，两个密度对比增长为：
这表示
。在这个线性近似中，我们看到随着质量密度扰动
的增长，它们可能会使星系分布趋于质量分布：
。这个论点在泰格马克和皮伯斯（1998）的研究中有详细阐述，提供了一些理由来推测星系是~30 Mpc尺度上有用的质量示踪。与Ω
m
在尺度~0.3 Mpc上的测量值的一致性表明，星系在小尺度上也是有效的质量示踪。
[9] 在星系位置和本动速度的统计均匀及各向同性的样本中，距离分量 r α 分隔的星系对的速度分量差异 v α 的乘积的平均值定义了张量：
沿星系连线的速度分量的乘积的平均值为Π( r )，垂直于连线方向的速度分量的乘积的平均值为Σ( r )。这种形式在物理学的其他子学科中很常见，戴维斯和皮伯斯（1977）将其引入了河外天文学。
[10] 这是一个对学生而言有趣的练习，来检查对星系团质量的动力学估计随从红移得到的星系团距离成比例 M tot ∝ h −1 ，以及从观测的X射线的流量密度得到的等离子体的质量符合比例 M baryon ∝ h −5/2 。由于恒星中的重子质量只是一个小的修正量，因此可以推导出密度参数Ω m ∝ h −1/2 。
[11] 巴辛斯基和博钦格（2002）的研究表明，可以从格林函数的角度考虑这些峰值。在线性扰动理论中，对均匀性的原始偏离可以表示为均匀性的单点状偏离的积分。在第5.1.3节中讨论的来自这些点状偏离之一的等离子体—辐射流体的扰动，作为球面波远离该点传播，在公式（4.13）中的红移 z dec 处以等离子体和辐射的动态退耦结束。行进的距离设定了一个特征长度：格林函数中球面波的直径。这在位置相关函数中设置了一个峰值。