3.6 大爆炸模型的实证评估

艾伦·桑德奇（1968，93）在1967年的哈雷观测宇宙学讲座中表达了他对当时的宇宙学测试计划的看法：

值得注意的是，当只有两个数字是已知的时候，该理论就可以给出弗里德曼模型的所有性质，这些数可以从望远镜的观测数据中找到。它们是（1）哈勃膨胀率 H ₀ 的当前值，由红移—距离关系 c Δ λ / λ ₀ = H ₀ D 定义，并使用距离 D 处的附近星系进行校准，以及（2）减速参数 q ₀ ，与膨胀率随时间的变化有关。

我们必须承认另一个参数，即爱因斯坦的宇宙学常数Λ，但这不是桑德奇的论述点。他此处以及他1961年的论文（1961a）论述的是测量宇宙学参数。但是这些测量只能提供一种有限的宇宙学测试：验证其参数是否可以进行调整以符合测量结果。更严格的测试需要比自由参数更多的实证约束。也许这就是桑德奇（1961b，916）在他关于宇宙时间的评论中所想到的：“要搞清楚这些特定模型与观测数据的契合程度，追踪它们的所有预测似乎很重要。”

彼得罗相、萨尔皮特和塞凯赖什（1967）以及什克洛夫斯基（1967）讨论了 z =1.95时类星体红移分布的尖锐峰值的证据，这是20世纪60年代这一情况一个有启发性的例子。他们认为这个红移峰值可能是勒梅特（1931d，1934）的徘徊宇宙的标志，在这个宇宙过往的一段时间里，物质的引力吸引将由正Λ的排斥力所平衡，因此与爱因斯坦的静态宇宙瞬态近似，膨胀参数仅缓慢增加。在徘徊时期之前，引力的吸引会使大爆炸的膨胀变慢。而在这之后，膨胀速度则会因为Λ增加。勒梅特曾经对增加膨胀时间和设定结构形成的时期很感兴趣，原因将在第3.6.1节和第5章中讨论。彼得罗相等（1967）和什克洛夫斯基（1967）对勒梅特的徘徊模型感兴趣，因为它可以解释红移分布在膨胀率徘徊在零附近处的红移峰值。由于勒梅特引入了相对论宇宙学的核心要素，因此，对徘徊宇宙的想法给予关注是很自然的。奥雷费尔泰等（2018）回顾了关于这个观点的后续论文。

在20世纪60年代，对相对论膨胀率公式（3.13）中表示质量密度和宇宙学常数的无量纲参数的约束条件，允许通过调整，使其在类星体红移分布中显著峰值的红移位置符合勒梅特的徘徊模型。徘徊需要对参数值进行特殊排列，这显得过于刻意，所以我们倾向于持怀疑态度。实际上，基于实证研究，徘徊的安排在后来被排除了。但是安排特殊并不一定意味着观点不正确：在已建立的ΛCDM宇宙学中，我们不得不接受这样的特殊安排，即平均质量密度和宇宙学常数的值恰巧使我们所处时代的宇宙的膨胀率的主导项正在由质量密度转向宇宙学常数。简而言之，红移峰值的指示并没有挑战20世纪60年代的相对论宇宙学模型。

在将红移峰值算作勒梅特徘徊图景的证据之前，我们必须考虑两个问题。第一，观测结果是否可靠到足以引起人们的兴趣？第二，这是不是在通过调整自由参数来契合实证约束？不管理论是不是对现实的有效近似，这都是可能的。第一个问题可以通过更好的观测来解决。碰巧的是，这些观测结果用更宽的类星体红移分布代替了尖峰，这可能要归因于星系中类星体现象的宇宙演化。如果我们可以检验与独立要求接近相同参数值的其他观测值的一致性，则将解决第二个问题。这里讨论了寻找这种交叉检验的两个早期示例。第一，我们在第3.6.1节中比较了宇宙学模型的膨胀时间，以及来自天文学和地质学的时标。第二，我们在第3.6.4节中回顾了勒梅特的徘徊模型和爱因斯坦—德西特模型所需的质量密度，与依据大量、多种证据推断出的密度进行的比较。

3.6.1 时标

爱丁顿（1930）对勒梅特（1931a）的原始解中的宇宙时标提出了很多想法，该解假定宇宙的膨胀渐近追溯至爱因斯坦的静态模型。爱丁顿（1930，677）写道：

我们无法计算出从演化发展开始时爱因斯坦平衡受到扰动，直到严重偏离平衡所经历的时间。但是从宇宙达到初始半径的1.5倍到今天，所需的时间几乎不可能超过100亿年。如果太阳作为一颗恒星确实已经存在了50亿年，那么它等待了这么长时间，然后恰好在宇宙陷入离散状态时才形成其行星系统，这一点的确很奇怪。

这是第3.5节讨论的巧合论证的一个版本。

爱丁顿正在考虑勒梅特的原始解。勒梅特（1931b，c）后来用他所谓的“原始原子”——后来被称为大爆炸——的膨胀取而代之。勒梅特（1933a）对时标情况的评估把地球的放射性衰变年龄和宇宙的特征膨胀时间确定为：

勒梅特得出结论，爱因斯坦和德西特（1932）的模型年龄 t =2/(3 H ₀ )，将与放射性衰变年龄发生冲突，并且以上两个时间近似将表明宇宙的质量不足以显著减缓其膨胀。勒梅特（1933a，85）的回复是：

D’un point de vue purement esthétique,one peut peut-ètre le regretter. Ces solutions où l’universe se dilatait et se contractait successivement en se réduisant périodiquement á une masse atomique des dimensions du système solaire,avaient un charme poétique incontestable et faisaient penser au phénix de la légende.

或者根据我的翻译：

从纯粹的美学观点来看，人们可能会感到遗憾。宇宙周期性地膨胀和收缩成一个具有太阳系尺度的原子系统的解具有无可争议的诗意魅力，会让人联想到传说中的凤凰。

我们看到了一个人们长期感兴趣的关于世界将如何终结的例子：宇宙的质量是否足够大，以至于膨胀最终将停止，并且宇宙会坍缩回大挤压？

勒梅特没有就从现在来看一个有趣的观点发表评论：公式（3.31）中的两个值（以非常不同的方式获得）很近似，这要么是奇怪的巧合，要么是暗示大爆炸图景至少是对实际发生的情况的大致近似。但这与20世纪30年代少数活跃的宇宙学家对相对论提出的少数公开的疑问相吻合。现在我们知道公式（3.31）的第一行应乘以3，第二项应该乘以7，这意味着不能仅凭这两个量排除“凤凰宇宙”（先坍缩再膨胀）。但更宽泛的观点是成立的：表示这两种不同的现象的这两个量的相似性很显著。

Λ=0的相对论宇宙的膨胀时间不大于 H ₀ ⁻¹ 。 H ₀ ⁻¹ 与公式（3.31）中地球年龄估计值之间的差异似乎小得令人感到不安：太阳系在大爆炸之后不久就形成了吗？在宇宙学模型中加入一个正的Λ，甚至彼得罗相、萨尔皮特和塞凯赖什（1967）考虑过的徘徊时期，能够提供的一个吸引人的特征是，这将为恒星的形成和演化留出更多的时间。因此，勒梅特在1947年7月30日给爱因斯坦的信（摘自第54页的脚注中提到的乔治·勒梅特档案）中写道：

宇宙学常数对于获得演化的时标是必不可少的，这一时标必然会摆脱已知的地质年龄持续时间带来的危险极限。

爱因斯坦在1947年9月26日的回信中提到：

我也能理解， T ₀ 的短暂确实提供了一个理由，促使人们进行大胆的推测和假定，以避免与事实的矛盾。的确， λ 项［现在为Λ］的引入提供了一种可能性，甚至可能是一个正确的解决方案。

巴特·博克（1946）回顾了宇宙时标的各种证据，包括恒星系统动力学弛豫所需的时间——这是一个不再被继续研究的课题——以及放射性衰变和恒星演化的年龄。博克（1946，75）得出结论：

在我们对宇宙时标现状的总结中，我们发现大部分证据都倾向于支持较短的时标（3×10 ⁹ 年~5×10 ⁹ 年）……目前，从星系宇宙数据中得出的证据尚无定论，在有关宇宙膨胀的问题得到解决之前，可能将一直无法确定。恒星演化的领域处于不断变化的状态，但是我们几乎到处都发现了年轻的繁荣迹象，特别是在超巨星之中。

博克（1946，69）并未对哈勃的短距离尺度表现出太多不安，也没有对相对论性的弗里德曼—勒梅特宇宙学模型抱有过多的信念，他指出：

哈勃在对现有困境的分析中明确指出，如果假定观测到的红移的起源是某种未知的物理学原理，而不是实际的膨胀，那么就不会存在什么特殊的问题。如果以这种解释为准，那么观测到的红移就不一定会直接影响到宇宙时标。

河外星系距离尺度上的偏差使博克质疑宇宙膨胀导致星系光谱变红的想法，并使勒梅特接受了大爆炸图景，但认为需要一个正的Λ，这一偏差通过两个主要步骤得到了纠正。第一步出现在1952年国际天文学联合会罗马会议的报告中。记录中沃尔特·巴德（1952，397）报告道：

在他研究M 31的两个星族的过程中，越来越清楚的是，不是经典造父变星的零点，就是星团变星的零点，必定存在偏差。最近获得的数据——桑德奇的M3颜色—光度图——支持以下观点：偏差与经典造父变星的零点有关，与星团变星无关。此外，这个偏差必须足够大，以至于我们先前对河外距离的估计太小了（但对我们自己银河系中的距离的估计没有影响），真实值至少是估计值的2倍……最重要的是，哈勃的宇宙的特征时标现在必须从大约1.8×10 ⁹ 年增加到大约3.6×10 ⁹ 年。

第二步是艾伦·桑德奇（1958，513）的结论：

最亮的恒星被讨论作为本星系群以外星系的距离指示器。在更遥远的可分辨结构的星系中，被哈勃认为是最亮的恒星的结点可能事实上是H II区。从M100的数据来看，恒星看起来是1.8 mag，比结点暗很多。这一校正，加上哈勃对本星系群模数的2.3 mag的校正，意味着对1936年的距离尺度的总校正量约为4.1 mag。这将得出 H ≈75 km/sec或 H ⁻¹ ≈13×10 ⁹ y，可能的不确定度因子约为2。

用公式（3.15）中的无量纲参数 h 来写哈勃常数的值已成为一种传统。哈勃（1929）的第一个估计是 h ≃5。后来，哈勃（1936）给出 h =5.3，赫马森、梅奥尔和桑德奇（1956）给出 h =1.8，桑德奇（1958）给出 h =0.75。后来的估计包括：桑德奇和塔曼（1984）， h =0.50±0.07；德沃古勒和科温（1985）， h =0.99±0.07；皮尔斯和塔利（1988）， h =0.85±0.10；雅各比、恰尔杜洛和福特（1990）， h =0.87±0.13；根据弗里德曼等（2001）的HST重点项目， h =0.72±0.08；里斯等（2018）， h =0.7348±0.0166。这些数字是基于红移和相对邻近星系的距离的测量值得到的。它们将与第9章中讨论的普朗克合作项目（2018）对ΛCDM宇宙学模型的观测约束的分析得出的值 h =0.674±0.005进行比较。与里斯等的差别具有统计学意义。在撰写本书时，尚不清楚这种差异是由于理论上还是观测上的细微偏差所致，但是差异很小这一点表明，校正将只是对两者或其中之一的很小调整，而不是范式的转变。同时，我们应该钦佩河外距离尺度和哈勃常数的天文学测量这一艰巨技术的进步。

3.6.2 20世纪70年代的宇宙学检验

马丁·史瓦西（1970，14）在他1969年的达尔文演讲中说：“我相信，我们目前的知识可以恰当地概括为球状星系团中恒星的年龄为100亿年，而且我认为无论在哪个方向，这个值的误差都不会超过40亿年。”

球状星系团是银河系中最古老的星系团之一。它们的年龄可以与迪克（1969）估计的铀同位素约7×10 ⁹ 年的放射性衰变年龄以及克莱顿（1964）的考虑进行比较，克莱顿对更广泛种类的同位素的考虑表明，核合成开始于13×10 ⁹ 年前。这些必要的粗略估计与史瓦西的恒星演化年龄10±4×10 ⁹ 年以及桑德奇（1958）的膨胀时标 H ₀ ⁻¹ ~13×10 ⁹ 年相当一致（允许一个不确定因子2）。就是说，有一种情况可能是，当宇宙还很年轻，但通过膨胀，其密度已经不再高得恒星无法存在时，恒星可能就已经形成并产生重元素了。类似地，学界目前知道，宇宙学特征质量密度 H ₀ ² / G 至少与第3.6.4节中讨论的根据星系的数量和质量估算的宇宙平均质量密度大致相符。

20世纪60年代出现了一种新的平均质量密度探测方法，同时人们认识到，轻元素的同位素丰度可能是由热大爆炸膨胀早期的热核反应所决定的。这将在第4章中讨论。就目前的讨论而言，我们只需注意重子质量密度的当前值 ρ _baryon ，它确定了当核反应开始合成轻元素时宇宙早期的质量密度。 ρ _baryon 的值越大，早期核反应中的密度就越大，反应也越接近完成。皮伯斯（1966a，b）指出了D/H——即氘相对于氢的丰度——这一特别有趣的值。瓦格纳、福勒和霍伊尔（1967）首次将理论与轻元素丰度的观测结果进行了仔细的比较，特别是对氘做了细致的比较。利用这些比较结果，他们对解释轻元素丰度所需的当前平均重子质量密度进行了预测，并将其与奥尔特（1958）对星系中宇宙平均质量密度的估计进行了比较：

瓦格纳、福勒和霍伊尔（1967）并未声称这两种密度的粗略一致性特别重要。这不奇怪，因为他们对氘丰度的估计相当不确定。也许同样重要的是，他们还考虑了热大爆炸宇宙学的一种替代理论。霍伊尔和泰勒（1964）提出的这一观点认为，氦和氘可能是在前星系局部爆炸中产生的。但是事后看来，人们看到了从两种截然不同的现象，以不同的方式得出的宇宙平均质量密度粗略但非常有趣的一致性。后来的证据表明，只有约六分之一的物质是重子的，其余的是非重子暗物质，它们不会参与核合成。但是在20世纪60年代后期实证宇宙学的状态下，这是一个相当小的细节。重要的是，这些考虑因素以及公式（3.31）中的时标为我们提供了一种近似但有意义的宇宙学检验。

戈特等（1974）将这些检验汇总到了图3.2中。 ^[3] 横轴是公式（3.13）中定义的物质密度参数Ω _m ，纵轴是哈勃常数。阴影部分是在假定爱因斯坦的宇宙学常数可以忽略，但可以信任相对论宇宙学模型的情况下，不符合观测结果的区域。

两条水平线是根据对河外距离尺度的估计得到的哈勃常数 H ₀ 的保守边界。最左边的垂线是从星系计数和星系质量动力学估计得出的物质密度参数Ω _m 的下界。标记为“最佳Ω*”（best Ω*）的垂直界限基于的质量密度是根据星系在星系群和星系团中移动的动力学获得的星系质量得到的。这考虑了我们将在第6章中讨论的非重子暗物质，这类物质主要集中在星系的外围。此图中的边界假定Λ=0，因此 H ₀ 和Ω _m 的值决定了从高红移开始膨胀的时间 t ₀ （始终假定相对论宇宙学成立）。他们用恒星演化年龄和放射性衰变年龄对 t ₀ 的边界的估计，以标记为 t ₀ （以10 ⁹ y为单位）的曲线绘出。戈特等在右边标记为 q ₀ >2的垂线，是公式（3.23）中减速参数的保守上限。

戈特等根据上文提到的关于热大爆炸的考虑，用一项新完成的氘相对于氢的丰度D/H的重要的测量值估算了重子质量密度。哥白尼卫星上的光谱仪在热星光谱中，探测到了在紫外区的由星际氢和氘产生的莱曼吸收谱系。氘更大的质量使其吸收线在氢吸收线的基础上发生了偏移。罗杰森和约克（1973）从这些数据得出结论，星际介质中氘相对于氢的丰度为D/H=1.4±0.2×10 ⁻⁵ 。戈特等认为D/H的原始值可能是该值的两倍，因为氘可能在恒星中被摧毁，而如果卫星采样的区域由于某些原因丰度异常低，那么D/H的原始值就可能是这个值的一半。根据瓦格纳（1973）改进的核合成计算，这提示 ρ _baryon =4×10 ⁻³¹ g cm ⁻³ ~8×10 ⁻³¹ g cm ⁻³ 。根据最小值和中心值转化而来的Ω _baryon h ² 的预测值在图3.2中以标记为D/H的曲线绘出。

戈特等（1974）承认了两个重要的警示。首先，如果允许Λ不为零，那么参数的约束窗口就会更宽。其次，可能存在一些行为不同于重子的物质。戈特等提到了考西克和麦克利兰（1973）的研究，他们与萨莱和马克斯（1974）一起，考虑了中微子可能具有非零静止质量的想法。第7.1节将对此进行回顾。这意味着当中微子和辐射最后处于热平衡时，早期宇宙遗留下来的中微子可以对物质密度做出可观的贡献。霍金（1971）、查普林（1975）和卡尔（1975）则在讨论另一种不会参与大爆炸核合成的物质：可能在非常早期的宇宙中形成的小黑洞。这些想法可以将从D/H得到的重子密度降低到总体的下限。

在红移—星等关系的一个新应用中，冈恩和奥科（1975）提出了减速参数 q ₀ ≲0.33的新界限。这会使 q ₀ 的边界更接近D/H允许的范围。但是作者告诫说， q ₀ 的测量值尚不确定，尤其是因为很难校正星系光度演化的测量值。在评论了如何改进测量方法之后，冈恩和奥科（1975，267）得出结论：“当然，即便所有工作都完成了，如果没有良好的演化校正，结果仍将毫无意义。希望在未来几年里，有关星系合成和演化的工作能取得进展。”

桑德奇（1961b）和廷斯利（1967，1972）非常清楚这一挑战。在世纪之交，这一挑战仍然是学界思考的问题之一。

尽管有所有这些警示，图3.2还是展现了一个重要的进步：以比参数更独立的方式对参数约束进行了系统的交叉检验。所有约束都依赖于两个主要的假定：广义相对论和宇宙学原理。20世纪70年代，出现了越来越多支持后者（大尺度均匀性）的证据（见第2章）。前者仍然是我们当时进行的实证检验的巨大推论，但正在接受检验：如果相对论宇宙学是对现实的有效近似，那么基于不同现象的参数约束就将是一致的。后续几节将讨论通过各种各样的平均质量密度探测开展的极其丰富的检验。

3.6.3 质量密度测量之简介

观测到的可以归因于引力加速度的物质的运动，为通过引力驱动运动的质量提供了度量，这可以用宇宙平均质量密度来解释。这转化为公式（3.13）中宇宙学质量密度参数Ω _m 的值。

自现代宇宙学诞生起，平均质量密度（或者后来的Ω _m ）的值一直是学界关注的焦点，关注的原因随着科学和社会的发展而不断变化。回想一下（第3.1节）爱丁顿（1923）提请注意爱因斯坦（1917）静态世界模型中的一种奇怪情况：质量密度——一个动力学变量——可以表达为等于自然常数的组合［见公式（3.5）］。这是静态宇宙的问题之一。哈勃（1926）将爱因斯坦的关系应用于他对星系中平均质量密度的估计，以找到爱因斯坦静态模型宇宙中宇宙的质量和大小，但未对此模型存在的问题发表评论。十年后，在他关于河外天文学的开创性著作《星云世界》中，哈勃（1936）对平均质量密度进行了更详细的估计，但在这本书中，他对这些结果可能意味着什么，对于一个膨胀世界的模型意味着什么，完全不感兴趣。我个人的感觉是，哈勃的目的是确定他正在探索的自然新领域的可观测特性，而不是在“梦幻般的推测领域”（正如他在书第202页上所写）中解释结果。哈勃、奥尔特（1958）和范登伯格（1961）一起提出了平均质量密度的估计值，但没有提及这些测量结果如何检验或约束宇宙学模型。

质量密度的值对检验相对论宇宙学至关重要。我们在爱因斯坦和德西特（1932）的论文中看到了一个早期的例子。他们提出，德西特对质量密度较早的估计值（很大程度上沿袭了哈勃的估计）可能与哈勃应用于公式（3.25）的膨胀率的值一致，但没有假定空间曲率（也没有非零的宇宙学常数，尽管这没有明说）。尽管没有提及，但这种粗略的一致性意味着相对论模型通过了一项检验：宇宙平均质量密度和膨胀率的估计值与该模型不矛盾。这一检验谈不上严格，但是很有意义。我们在图3.2中还能看到一个后来的例子。戈特等（1974）的论文没有提到这一点，但是他们的图片表明相对论宇宙学模型也通过了一个尽管粗糙但真实的检验。

戈特等（1974）确实表达了对他们的约束集合可能意味着什么的兴趣。他们的论文标题以及对他们发现结果的半科普性描述是“一个无界宇宙？”和“宇宙会永远膨胀吗？”（Gott et al.，1976）。他们的回答是，是的，宇宙的膨胀似乎将持续到无限的未来。第4.6节中回顾的证据表明，重子的质量密度远低于爱因斯坦—德西特值，这一点在后来考虑轻元素丰度和热大爆炸模型预测的契合度时经常被提及。戈特等并没有停下来思考，他们的质量密度估计值（如果正确）是否真的意味着宇宙将永远膨胀：这个理论真有那么可信，可以对那么久远的事情进行预测吗？他们没有提到第3.5节中所回顾的关于在哲学上具有吸引力的质量密度的想法。这个问题在20世纪80年代得到了更广泛的讨论。

我们预期Ω _m 的值是多少，它的值如何决定世界的终结方式，以及该值对宇宙学模型的检验可能意味着什么，这些问题都推动了20世纪80年代到20世纪90年代宏伟的质量密度测量计划。但是，随着该计划逐渐成为20世纪90年代实证宇宙学研究中最活跃和最有成果的部分，目标逐渐转变为专注于精确的测量。

20世纪90年代中期至后期，来自质量估计的证据表明Ω _m 的值小于爱因斯坦—德西特值，这在那些寻求符合第8章回顾的不断增长的约束条件的宇宙学的人中产生了更广泛的影响。随后是世纪之交的革命，我们将在第9章中讨论的其他两个项目这时也都指向低Ω _m 。但我认为，此处和以下两节中讨论的质量密度测量，已经为得出该结论提供了很好的理由。

表3.2中列出的结果示例以及第3.6.4节的回顾展示了该项目的丰富历史和相当多样的测量方法。在1990年前后的几年中，条目（按出版日期排列）密度的增加表明相关活动在增加，但是从1990年起，对这一已经发展成一个活跃而又高产的科学领域的采样密度变低了，这导致它被低估了。表格在2003年（我认为这场革命结束时）收尾。

对这些质量密度探测的解释，由于质量分布建模程度好坏的问题而变得复杂。如果质量的很大一部分位于星系聚集之间，那么它将被遗漏，从而使Ω _m 大大被低估。在第3.5.3节中，我们看到想象星系形成过程可能使它们成为糟糕的质量示踪。从20世纪80年代开始，在星系是有用的质量示踪的假定下发现的低质量密度估计值——大约是优雅的爱因斯坦—德西特宇宙的值的三分之一——加强了这种观点。从原则上讲，爱因斯坦—德西特模型的论点是合理且明智的。平均质量密度的估计值可能因此偏低的观点在20世纪80年代至20世纪90年代得到了认真对待。学会正视小于爱因斯坦—德西特值的质量密度是一项困难的调整。

结合图3.1，我们回顾了一个关于星系可能是有用的质量示踪的早期实证论证：如果星系形成在低密度区域被抑制，那么我们可能会预期存在于此类区域的星系会表现出“青春缺失”的迹象。但证据显示的结果恰恰相反。

在表3.2列举的研究进行期间，又发展出了一种更为广泛的论点。它揭示了，在必要时假定星系是有用的质量示踪的情况下，在不同的长度尺度（~0.3Mpc至~30 Mpc）以及与平均密度差距各异的质量密度下，综合各方面的考虑，各种质量密度探测都与Ω _m ~0.3一致。如果星系是存在严重偏差的质量示踪，那么星系的形成似乎不太可能合起来造成星系分布相对于质量的偏离，同时偏离在动力学测量所采样的可观范围内又与长度尺度无关的情况。 此外，表3.2中带有图注c的测量，对星系是有用的质量示踪这一假定的敏感性较低。当然，它对其他可能失败的考虑仍然敏感，所有测量都是如此。对Ω _m 进行可靠测量的实证性依据是各种探测的结果的一致性。

当然，要评估这种一致性，就需要充分考虑到困难的测量中的系统误差。所有这些考虑的权重都是基于个人判断。到20世纪80年代中期，我已经确信质量密度可能小于爱因斯坦—德西特值（出于皮伯斯1986年所述的原因）。我记得年轻同行抱怨说，我这样做只是为了惹人生气。我是认真的，但我必须承认，我喜欢在各种会议上发表这种不受欢迎的论点。十年后，第3.6.5节中回顾的以及稍后将在图3.5中呈现的证据的重要性已经足够充分，以至于低质量密度的情况成了寻找可行的宇宙学模型时更为普遍的考虑因素，如第8章所回顾的那样。

本书下一部分中对质量密度估算大型项目的回顾必然会很长，因为在1990年左右寻找Ω _m 的值的过程占据了现代基于实证的宇宙学如何发展的故事的很大一部分。该项目引发了各种各样的宇宙探测的应用。这很重要，因为所有密度测量都足够具有挑战性，需要通过其他方式进行交叉检验。该项目中开发的方法具有持久的物理意义，这段历史是一个颇具说明性的例子，表明一个有趣且富有挑战性的问题可以激发巨大努力。此外，该项目的结果还对推动我们在20世纪末建立宇宙学模型所需的思想产生了影响。

在1990年前后的几年中，该项目通常采用公式（3.43）中的 β =Ω _m ^0.6 / b 来表示动力学质量密度估计的结果，其中线性偏置参数 b 在公式（3.42）中被定义。这是一个有用的提醒，警示了测量中存在的不确定性。但是我也在表3.2中列出了一些密度测量值，这些密度测量值依赖于星系和质量的相对分布（以星系是良好的质量示踪 b ≃1为前提）。这种简化扭曲了历史：在1990年前后的几年中，动力学质量估计报告中的标准是 β 的值，而不是Ω _m 。但是，在下一节已经很长的回顾中，将 b 设置为1具有减少复杂性的实际优势。更重要的是，在 b ≃1的前提下，它使人们更容易看到星系实际上是有用的质量示踪的证据的模式的发展。为了避免读者忘记，在第3.6.4节中，我偶尔会提到这种做法。

为准备第3.6.4节的讨论，请注意，Ω _m 的动力学估计与确定哈勃常数 H ₀ 的河外距离尺度无关。这是因为质量、加速度和速度之间的相同关系描述了宇宙的膨胀和宇宙中质量系统的引力动力学（除了早期宇宙中的辐射效应和低红移时的宇宙学常数）。当然，这以假定我们的引力物理学是正确的为前提，这是一个还需要检验的问题。

在表3.2中，用图注a标出的质量估计历史的条目依赖于在20世纪80年代初开始流行的CDM宇宙学模型的元素（见第8章）。带图注b的条目将动力学与早期宇宙中轻元素形成的理论结合了起来，主要来自第3.6.2节中提到的氘丰度D/H。带有图注a和b的条目都依赖于 H ₀ 的值。为了使对估算的比较合理直接，我使用 h =0.7。在0.5≲ h ≲1的范围内进行调整，通常不会对整体情况产生严重影响。如上所述，根据1990年前后几年的已知情况，带有图注c的条目被认为对星系示踪质量的假定不太敏感。这些分配将在下一部分的讨论中进行解释。

3.6.4 质量密度测量之从哈勃到革命

表3.2第1行和第2行列出的哈勃（1936）的两个质量密度来自他的书《星云世界》。这些是他根据星系计数对典型星系数密度的估计值，与对星系典型质量的两个估计值的乘积。质量来自这样的条件，即将质量为 M ，半径为 r 的物体聚集在一起的引力加速度 g ~ GM / r ² ，平衡了物体中的物质在距离 r 内以速度~ v 运动的加速度 g ~ v ² / r 。那么我们有了 GM ~ v ² / r 。这是一个粗略的近似值，但是有证据表明，哈勃以一种明智的方式应用了它。他的第一个估计值使用了星系发光部分的质量。这是大多数恒星所在的地方，也是恒星对总质量做出重大贡献的地方。哈勃的第一个质量密度Ω _stars ≃0.002，因此可以与最近对恒星的平均质量密度的测量值Ω _stars ~0.003相比较。（该测量值，由科尔等在2001年得出，取决于距离范围。如上所述，我将 h 设置为0.7。回想一下，哈勃对第1行和第2行中Ω _m 的动力学估计与 h 无关。）哈勃的第二个估计值使用的是将星系团聚在一起所需的每个星系的质量。由于这合理地考虑了将在第6章中讨论的亚光度物质，因此可以将哈勃的估计值Ω _m ≃0.2与经过充分检验的ΛCDM宇宙学中的值Ω _m =0.315±0.007进行比较（Planck Collaboration，2018）。

通过好运和良好管理的某种结合，哈勃的两项估计都是相当合理的，尽管很难判断两者中哪一个更为重要。尽管他在距离尺度上存在错误，但在20世纪30年代，哈勃无疑展示出了极好的河外天文学研究意识。他对质量密度较大的那个估计值考虑了星系之间的质量，前提是相对于质量的星系分布的任何偏差都不会超出星系团的范围。我得出的结论是，从20世纪90年代或以后的角度来看，在Ω _m ~0.3的证据权重上，他较大的那个估计值将被赋予真正但适中的重要性。

第3行奥尔特（1958）的动力学质量密度是他对由作为光度的函数的星系计数得出的星光的平均光度密度 j 的估计，以及两种不同的星系（椭圆星系和旋涡星系，或早期星系和晚期星系）中质量与恒星光度的平均比率 M / L 的乘积。 ^[4] 对于单个旋涡星系，奥尔特选择了与哈勃相近的 M/L ，对于通常在星系团中发现的椭圆星系和其他早期星系，他选择了更大的值 M/L ~50，因为他知道星系团中每个星系的质量都很大（假定它们受引力束缚而不飞散，这是第6章中讨论的考虑因素）。他的结果大致是哈勃两个估计值的几何平均值。范登伯格（1961）对星系光度所做的更详细的评估，在表3.2的第4行中得出了相近的结果。

为了找出平均光度密度，戈特和特纳（1976）引入了谢克特（1976）星系光度函数的表达式：

常数 L ^* 是附近大型星系（包括银河系）的典型光度。谢克特的表达式与更大规模的红移巡天结果仍然有很好的一致性，包括努尔贝里等（2002）对“超过110 500个星系”的两度场星系红移巡天（2dFGRS）的分析，他们发现：

该平均光度密度定义在以波长4 500 Å=450 nm为中心的 b J通带处。由于这与表中较早条目中使用的测光星等相差不远，因此我们可以将 j ( b J)与第3行和第4行中的奥尔特和范登伯格的密度进行比较。这些值更大，但相当接近。戈特和特纳（1976）采用了 α =-1，这与公式（3.34）中后来的测量结果很接近。他们对参数 ϕ *和 L ^* 进行了调整以符合星系计数，从而得到了第6行中使用的光度密度，该光度密度远低于既定值。

奥尔特和范登伯格的质光比很低，因为他们没有充分考虑到星系外围的亚光度物质的质量。戈特和特纳（1976）从其星系群星表中星系的相对运动得出了第6行的 M/L 的估计值，这更好地考虑了亚光度物质。他们的 M/L 的值与盖勒和皮伯斯（1973）从红移空间畸变效应（将在本节后文开始讨论）得出的估计值相当吻合，并且接近于最近的测量结果。戈特和特纳低估了Ω _m ，主要是因为他们对光度密度的估计值偏低，但是他们的结果应该加到证据的权重中，因为他们的质光比是星系之间亚光度物质的合理度量，正如在星系群和星系团中那样。

福尔（1975）的方法基于欧文（1961）在膨胀宇宙中无碰撞粒子的动能和势能之间的关系：

平均质量密度为 ρ _m 。通过假定等质量粒子气体，后两个表达式得以简化。相对于哈勃流的粒子均方本动速度为〈 v ² 〉。粒子两点位置相关函数［在公式（2.10）中定义］为 ξ ( r )。第5行中福尔的约束——范围为0.01≲Ω _m ≲0.05——使用了估计值 T ~- W 和〈 v ² 〉 ^1/2 ~300 km s ⁻¹ 。它假定星系相关函数是在主导积分的较大成团尺度上质量相关函数的有效近似，这意味着积分的估计将考虑星系外围的亚光度物质，前提是星系在比它们的分隔距离更大的尺度上是有用的质量示踪。但是当时并没有很好地测量大间隔 r 处的星系相关函数 ξ ( r )，在这些尺度上它可能是有用的质量示踪。

戴维斯、盖勒和修兹劳（1978）对 ξ ( r )做了更好的测量，他们在重新考虑福尔的方法以及本节后文讨论的红移空间统计数据时使用了它们。他们的结论是：

根据相关函数和本动速度弥散建立的宇宙维里定理，被用于估计与星系有关的物质对临界密度的贡献Ω _G 。统计维里定理表明0.2≲Ω _G ≲0.7。

尽管支持爱因斯坦—德西特临界密度Ω _m =1的观点当时并不那么流行，但我们可以看到，这些作者还是谨慎地将Ω _G 与可能存在且与星系无关的质量区分开了。但是公式（3.35）中的积分依赖于大尺度上的质量相关函数，而第117页的脚注中的考虑表明，在这些尺度上，星系可能被认为是较好的质量示踪。它们的界限包含了最终令人信服地确定的值Ω _m ~0.3。

林登-贝尔等（1988）重新探讨了福尔的方法。为了获得星系的本动速度，他们使用了椭圆星系中的恒星速度弥散 σ 和其物理线性尺寸 D _n 之间的 D _n - σ 关系［此方法由托里和戴维斯（1981）、乔尔格夫斯基和戴维斯（1987）以及德雷斯勒等（1987）引入］。 σ 的观测值为星系物理尺寸 D _n 提供了量度，而这与观测到的角大小又为距离 r 提供了量度。观测到的星系红移和哈勃流速度 H ₀ r 之间的差异是星系本动速度的径向分量的量度。林登-贝尔等（1988）发现，只有在势能 W 的负值远小于假定星系在与公式（3.35）中的积分相关的大尺度上可以示踪质量所获得的值时，他们对星系本动速度采样到约60 Mpc的系统研究才能与爱因斯坦—德西特模型中的质量密度相符。这可能是因为质量的分布实际上比星系更均匀，或者是因为Ω _m 远低于1。林登-贝尔等（1988，19）的结论是“根据这些观测得出的Ω ₀ 的值仍然不确定”。到那时为止，爱因斯坦—德西特密度已经变得很流行，但是作者没有提及。请注意，如果星系可以示踪质量，那么他们的结果表明Ω _m 远小于1，这与较小尺度的测量结果一致。

塞尔德纳和皮伯斯（1977）测量了阿贝尔（1958）星系团位置与里克星系位置的互相关性。根据星系—星系函数的公式（2.10），星系团—星系空间互相关函数 ξ _cg ( r )由在距星系团中心距离 r 处的体积元素 δV 中找到一个星系的概率定义：

如前所述， n 是平均星系数密度。如果星系在星系团的大小和密度的尺度上能有效地示踪质量，那么 ξ _cg 就是星系团—质量互相关函数的一个有用的度量。那么，在公平的星系团样本中，距星系团距离 r 的平均质量密度为 ρ ( r )= ρ _m (1+ ξ _cg ( r ))，其中 ρ _m 是宇宙平均质量密度。可以将其与质量密度的平均分布进行比较，其半径取自星系团中星系的速度弥散。在速度弥散是各向同性且与半径无关的简单近似中，我们可以得到：

其中 v 是星系团中平均视线星系速度弥散。表3.2第7行的结果与Ω _m =1相差不大。当时，我认为这是爱因斯坦—德西特模型的适度令人鼓舞的证据。但是十年后皮伯斯（1986）的研究使用了更好的数据，并更细致地应用了这一方法，得出了第16行中显著较低的密度值。

第9行至12行以及第20行和31行均来自室女星系团中心流。这是附近星系朝着最近的大星系聚集以及假定存在于约为17 Mpc处的室女星系团及其周围的质量的平均本动，或者类似现象在其他星系团中的对应情况。［我将质量、本动引力加速度和本动流动之间的关系的考虑推迟到得出公式（3.43）的讨论中。］这些条目假定星系在10 Mpc到20 Mpc的距离上能有效地示踪质量。

西尔克（1974）讨论了由于星系团中超过均匀分布的质量的引力导致的纯哈勃流的偏离，以及当星系红移和距离数据改善时一种对宇宙学参数的有趣约束的前景。皮伯斯（1976a）将桑德奇和塔曼（1975）汇编的星系和星系群的距离和红移的数据，与一个有关室女星系团周围的质量分布和隐含的本动速度场的模型做了拟合。这得到了一个对室女星系团中心流的可靠的探测结果，但对Ω _m 的约束并不严格。桑德奇（1975）还发现了室女星系团中心流的证据，以及质量密度参数小于1的提示性证据，但是他的“场旋涡星系的不确定数据”很难用来判断该测量结果的权重。亚希勒、桑德奇和塔曼（1980）后来获得了更好的数据，即《修订版沙普利-艾姆斯明亮星系星表》（Sandage and Tammann，1981）中完整的红移样本。表3.2的第9行展示了他们基于室女星系团中心流对平均质量密度的约束。

表3.2第10行戴维斯等（1980）的结果是CfA红移样本的早期版本（如图3.1所示）。托里和戴维斯（1981）使用早期星系中光度和恒星速度弥散之间的相关性来获得距离的值，并将其与观测到的红移进行比较，从而估计本动速度（在本节前面讨论的 D _n - σ 方法的一种变体中）。他们的160个本动速度改善了室女星系团中心流的测量，并得到了表3.2第11行记录的密度参数。

阿伦森等（1982）从塔利和费舍（1977）的绝对星等与21 cm H I线宽之间的关系得出的距离中发现了306个晚型星系的本动速度。他们进行了红外视星等测量，这是相较于短波长观测的一项重要优势，因为它减少了尘埃消光的影响。他们基于室女星系团中心流的结果列于表3.2的第12行。

塔利和沙亚（1984）在室女星系团中心流模型中增加了来自宇宙允许的膨胀时间的约束。沙亚、皮伯斯和塔利（1995）继续使用这种方法，现在使用了1 138个星系的红移和距离数据，以及被视为质量示踪的星系聚集。该分析使用了数值作用方法（Peebles，1989）。第31行的结果标记为“室女星系团中心流”，但不假定室女星系团周围呈球对称性，并且对本动速度场的局部变化进行了采样，范围延伸至室女星系团距离两倍的地方。

雷格斯和盖勒（1989）展示了其他富星系团星系向质量聚集的平均流动。从内部观测到了朝向相对较近的室女星系团的室女星系团中心流，雷格斯和盖勒展示了从流外部观测到的其他星系团周围的类似室女星系团中心流的现象。他们给出的质量密度参数的界限见表3.2的第20行。这是对证据权重的重要补充，表明在此方向上的进展是可能的，肯定会受到欢迎。

到20世纪80年代初期，室女星系团中心流得到了很好的测量，结果表明，如果星系以数十兆秒差距的尺度示踪质量，那么Ω _m 将远低于1。从表3.2中标为“相对速度弥散”和“平均流汇聚”的估计值得出了类似的结果，这些估计值是从星系角位置和红移的星表中得出的，并且可以通过红移空间中的静态度量来处理不太精确确定的距离，如下所示。

星系的角位置和红移定义了三维空间。两点相关函数 ξ v ( r _p , π )是该空间中星系分布的度量，其中参数 r _p 是垂直于视线的星系的投影距离，而 π 是红移空间中的径向距离：测得的红移之差。该两点函数的定义如公式（2.10）。在红移巡天的星系样本中，以选定的极限距离估计值或极限视星等为单位，将在距离 r 处采样的星系的平均数密度作为选择函数 ϕ ( r )。样本中的星系在红移空间中的两个体积元素中的每一个中，即垂直于视线的间距 r _p 和沿着视线的 π = cz ₁ - cz ₂ ，被发现的概率为： ^[5]

这假定两个星系的距离大致相同，即 r ₁ ~ r ₂ 。垂直间距 r _p 有时按照传统用法senkrecht记为 σ 。距离 π 和 r _p 可以用速度单位km s ⁻¹ 表示，直接从测得的红移 cz 或兆秒差距中除以哈勃常数的值即可，该方法可以把Ω _m 抵消。

在较小的 r _p 处，星系彼此靠近的相对运动在红移上膨胀了间距 π ，导致 ξ v ( r _p , π )沿视线拉长。在较大的 r _p 处，相对于实际空间，红移空间中位置的主要变形是由于星系聚集相对于均匀哈勃流的平均运动引起的星系团的引力增长。这会沿视线展平 ξ v ( r _p , π )。当然，所有这些都假定我们看到的是一个统计各向同性的随机过程。

在 ξ v 统计的初步版本中，盖勒和皮伯斯（1973）利用德沃古勒和德沃古勒 （1964）的《明亮星系参考星表》中可获得的中等红移样本，展示了在小间距处沿视线的预期伸长率。对产生该伸长率所需的星系质量的量表明，星系的质光比为 M/L ~300 h M _⊙ / L _⊙ （在测光星等中）。这远大于在星系发光部分观测到的质量，但与戈特和特纳（1976）从他们的星系群星表中发现的质量（表3.2第6行）相当。皮伯斯（1976b）将 ξ v 统计量的另一个版本应用于盖勒和皮伯斯所使用的相同数据。结果再次表明，如果对样本的完备性有更清晰的控制，该方法将具有更大的潜力。戴维斯、盖勒和修兹劳（1978）报道了他们正在进行的星系红移测量项目中，星系相对速度弥散的另一种统计测量方法的应用。他们的研究结合了德沃古勒和德沃古勒（1964）的数据，以及他们对兹维基等（1961—1968）的星表中的星系红移的测量结果，红移样本已增长到955个相对邻近的星系的红移。他们得出结论，这些数据似乎再次表明需要较大的质光比，但质量密度可能在0.2≲Ω _m ≲0.7的范围内。

皮伯斯（1979）最后写出了红移空间中两点相关函数 ξ v ( r _p , π )的完整定义，并将其应用于科什纳、奥姆勒和谢克特（1978）在八个场的红移测量，每个场是约4平方度的正方形。总共只有166个红移，但他们的场更深且在天空上间隔得很好，这提供了合理接近适当采样的机会。表3.2第8行呈现的这一结果具有历史意义，可以证明更好的样本的价值。

CfA红移巡天（Davis et al.，1982）就是我们想要的更好的样本。马克·戴维斯领导了这个项目。他很清楚其科学价值，正如我们在戴维斯和皮伯斯（1977）的研究中讨论的那样。不过在个人交谈中，戴维斯回忆说，哈佛大学和天体物理中心的教职人员当时对该项目似乎并不感到非常兴奋。

他们的发现所使用的CfA红移巡天列出了兹维基等（1961—1968）的星表的星系视星等和角位置。CfA星表在北银河带中有1 840个发光强度超过绝对星等 M _B =-18.5+5log h 的星系红移。巡天在距离40 h ⁻¹ Mpc上接近完成。这是一个重要的进步，是对有用的极限光度和距离进行巡天的星系本动的适当样本的第一个良好近似。

由 ξ v ( r _p , π )沿视线的伸长率得出的密度参数为（表3.2第13行）： ^[6]

密度参数的该值符合指定的分离范围，而该范围是相当大的。宾等（1983）通过将这个统计数据应用到他们更远的红移样本获得了类似的结果：Ω _m =0.14×2 ^±1 （表3.2第14行）。两者都低于2018年的最佳估计值Ω _m =0.31±0.01一个标准差。到现在为止，两者都远远小于爱因斯坦—德西特模型中的质量密度。

关于Ω _m =1，前文有关巧合的论点［公式（3.28）至公式（3.30）］在1990年前后的许多年里似乎是合理的，原则上至今仍然如此。这促成了一个常见的看法，即基于CfA的结果以及越来越多的其他动力学测量结果，质量的聚集程度必须低于星系，这与更大的爱因斯坦—德西特密度相一致（如第3.5.3节所述）。在公式（3.39）中的CfA的测量值出现之前，该论点使我预期质量密度很可能就是爱因斯坦—德西特值。我对CfA的结果感到惊讶，也感到不安，但出于第3.5节最后所述的原因，我不相信这种偏差论点。尤其是，为什么这样显著的偏差对 r _p ~0.2至 r _p ~2 Mpc的长度尺度如此不敏感？这个问题使我接受了一个可行的假说，即质量密度可能小于优雅的爱因斯坦—德西特预测值。

在较大的星系间距下，物质的成团性以依赖于平均质量密度的速率增长，产生向较密集区域的平均收敛。这在径向 π 方向上缩小了红移空间相关函数 ξ v ( r _p , π )的宽度。对 ξ v ( r _p , π )的影响计算如下。

质量分布与其平均值 ρ _m 的偏离 δρ ( , t )所产生的引力加速度为：

在牛顿近似中，这是相对于哈勃流的本动加速度。在线性扰动理论中，这种本动加速度会产生本动速度（Peebles，1976a；1980，§14）：

D ( t )是线性扰动理论中偏离均匀分布的增长模式。在我们所关心的红移处，这种关系对Λ的值不是很敏感。为了估计 ，可以将观测到的星系分布表示为星光光度密度与平均值 ( t )的偏离 δj ( , t )，类似公式（3.40）对于质量密度的表示。从 δj ( , t )到均匀质量分布的偏离 δρ ( , t )的转换，传统上考虑了星系是存在显著偏差的质量示踪的可能性。简单的线性偏差模型是：

常数 b 是偏差参数。公式（3.40）至公式（3.42）给出了（Peebles，1980，§14）：

从红移空间中的位置开始，该积分的长度按 H ₀ ⁻¹ 缩放。这使得 ( )的表达式独立于 H ₀ 。因此，两个观测量 δ _g ( )和 v ( )约束 β 。施特劳斯等（1992）早期使用表达式 β 来表示质量估计值如何随线性偏差模型中星系分布和质量分布之间的差异而缩放。这成为表达结果的标准方法。我在此次对测量的回顾中设置 β =1，原因如第3.6.3节所述：它简化了测量中系统模式的呈现。

图3.3展示了相对于哈勃膨胀的星系平均流的测量的进展，这种流动伴随着物质成团导致的引力增长。该效应被视为在较大的投影距离 r _p 处在视线方向 π 上的红移空间中星系两点函数的展平。［投影分隔的标签在分图（c）中恢复为较旧的符号 σ ］。分图（a）展示了速度单位km s ⁻¹ ，其他两个分图展示了转换为距离单位的结果。分图（a）展示了正向和负向的径向间距 π ，分图（b）和（c）折叠了正向和负向的 π 。

分图（a）来自戴维斯和皮伯斯（1983a）对CfA红移星表的分析， ξ v ( r _p , π )的等值线仅在测量相当可靠的情况下绘制，到 r _p ~1 500 km s ⁻¹ ~15 h ⁻¹ Mpc在 π 接近零时。这里清楚展示了由紧密集中的星系的相对运动引起的沿 π 的伸长，但是在较大的 r _p 处， ξ v 沿径向 π 方向收缩的迹象很少。这里以及宾等（1983）的红移样本太小，无法探测到流收敛。

分图（b）来自费舍等（1994），展示了他们在更大的红移样本中对 ξ v 的测量，该样本来自天空红外天文卫星（Infrared Astronomical Satellite，IRAS）地图的红移星表。这是对可在红外中探测到的天体的全天测量。该卫星于1983年发射，是美国国家航空航天局、荷兰航空航天计划局和英国科学与工程研究委员会合作的成果，也是宇宙学如何从其他目的——本例中是天文学——的“大科学”获益的一个例子。

搬到加州大学伯克利分校的马克·戴维斯及其同事领导了从IRAS探测到的红外光源中识别星系的工作。他们通过选择角大小小于几角分（IRAS宽带测光中60 μ 波长的角分辨率）的光源，来避开银河系中的尘埃流发出的红外光。这在很大程度上选择了恒星和星系。他们根据宽带测光中12 μ 和60 μ 波长处的流量密度之比从中选择天体，这可以有效地区分恒星和星系。后续的光学光谱很容易地确认了星系的识别并得到了其红移，因为在红外波段明亮的星系倾向于具有突出的发射线。星际尘埃在IRAS的红外波长处的消光远没有光学消光严重，这使研究者得以收集到一个有价值的晚型星系样本，该样本均匀地覆盖了天空的87.6%。在60 μ 波长处具有IRAS流量密度极限1.936 Jy的样本在35 h ⁻¹ Mpc的特征深度处产生了2 636个星系红移（Strauss，1989）。这是1.9-Jy IRAS星表。其扩展版本降低了流量密度极限，得到了在中位距离45 h ⁻¹ Mpc处约5 300个星系红移的1.2-Jy IRAS星表（Fisher et al.，1995）。

费舍等（1994）使用1.2-Jy IRAS红移星表计算了红移空间两点相关函数，如图3.3的分图（b）所示。这与分图（a）的数据，也就是与我们之前的数据相比有了很大的进步。在该图的左下角，可以看到小间距情况下在视线方向上的伸长。会聚流在较大尺度上的影响，可以通过投影到大约相距10 h ⁻¹ Mpc的 π 方向等值线的压缩来很好地探测到。作者警示说，它们在Ω _m 上的边界是不确定的，尤其是因为轮廓有噪声，但是他们的初步结果值得记录在表3.2的第29行。汉密尔顿（1993）使用较早的2-Jy IRAS样本，得到了一个更广泛的边界Ω _m ≲1。

桑德斯等（2000）编制了PSC z 0.6 Jy IRAS点源红移星表（共15 411个红移）， ^[7] 并参考了几个不同研究组的巡天数据，导致桑德斯等（2000，55）恰当地称PSC z 为“用于绘制局域星系密度场的无与伦比的均匀性、天空覆盖度和深度”。汉密尔顿、泰格马克和帕德马纳班（2000）使用这一PSC z 星表报告了清楚地探测到的红移空间中 ξ v 轮廓的变平。他们获得了表3.2第39行所示的质量密度的紧密界限。塔罗斯等（1999）根据凯泽的傅里叶振幅［公式（3.38）］的思想，分析了红移空间相关函数中 β 的值，但使用了PSC z 0.75 Jy子集的球谐展开的振幅，结果见表3.2第38行。［巴林杰、海文斯和泰勒（1995）沿着相同思路进行的较早分析，给出了大得多的质量密度，但我忽略了这一结果，因为它是塔罗斯等（1999）结果的初步版本。］

图3.3分图（c）中的红移空间相关函数来自霍金斯等（2003）。［我冒昧地只展示了该图的一个象限，以与分图（b）匹配］。它推导自光学选择的2dFGRS星表中的约220 000个红移。英澳望远镜的这项巡天是一个很好的例子，说明了天文学如何利用技术的进步。该仪器的光纤设置为可在2度视场中，一次测量多达400个红移。较早的杜伦/ UKST星系红移巡天具有一次可进行50~100次红移测量的光纤（Ratcliffe et al.，1998）。可以将这些数字与20世纪70年代初通过远不如现今敏感的照相底片逐一测量的共527个红移进行比较。盖勒和皮伯斯（1973）将这些数据用于探测由于小尺度上星系相对移动引起的红移空间畸变。

图3.3的分图（c）展示了在小投影间距下， ξ v ( r _p , π )沿视线的拉伸。在较大的尺度上，测量结果清楚地描绘了均匀质量分布偏离的引力增长导致的物质会聚流的效应。霍金斯等（2003）通过模型拟合 ξ v ( r _p , π )得到的质量密度（始终假定星系足够示踪质量）展现在表3.2的第41行中。皮考克等（2001）从早期版本的2dFGRS样本中发现了类似的结果。

让我们停下来考虑一下。在图3.3的图（c）中，线性扰动理论在~30 Mpc的尺度上被应用于红移空间相关函数，得出的结果是Ω _m =0.31±0.09。而在尺度降到~0.2 Mpc时（该尺度下星系强烈聚集），来自星系相对速度弥散的估计值（表3.2第13行）为Ω _m =0.2 e ^±0.4 。这里假定星系在两个尺度上都是有用的质量示踪。在两个完全不同的条件下，不确定性内的一致性支持这种假定：物质的强成团性和弱成团性。 ^[8] 我认为这是Ω _m 远低于1的重要实证证据。

表3.2第15行展示了一种经典宇宙学测试的应用结果，即作为红移函数的星系计数。如果可以恰当地考虑星系的演化，那么作为 z 的函数，红移小于 z 的星系的计数 N (< z )就是广义相对论弯曲时空中空间体积的量度。托尔曼（1934a，§§181，182）对该理论进行了讨论。为了减少计数的统计起伏，该应用需要测量大量星系的红移。洛和斯皮拉尔（1986a）通过发展鲍姆（1957）的方法朝这个方向迈出了重要的一步：将通过在光学波段的宽带滤光片测得的视星等或流量密度与根据星系的红移光谱预期的结果进行拟合。洛和斯皮拉尔（1986a，156）解释说：“为了在红移 z 处将一个物体识别为恒星或星系，我们将其光通量与已发表光谱中计算出的滤光带中的典型天体光通量进行匹配。”

库（1981）将这种方法应用于从通过不同波长通带曝光的照相底片得到的宽带光谱。洛和斯皮拉尔开发了使用数字电荷耦合器件（Charge Coupled Device，CCD）探测器的方法，这些探测器可以对大量星系进行更精确的测光红移测量。该方法已被广泛应用。

廷斯利（1967，1972）强调了修正星系光度演化的严峻挑战。洛和斯皮拉尔（1986b）解决了这个问题。在所有星系的光度以相同的比例速率演化的前提下，他们将这些计数拟合为光度分布的一种固定的函数形式，归一化作为红移的函数与密度参数一起调整，从而将计数拟合为一个红移和视星等的函数。表3.2第15行展示了在假定Λ=0的情况下，洛和斯皮拉尔（1986b）对Ω _m 的测量结果。这一结果与爱因斯坦—德西特模型（当时很多人认为最可能的情况）相一致，但是其下方的误差范围几乎达到了既定值Ω _m ≃0.3。洛—斯皮拉尔方法很重要，并且现在已用于研究星系如何演化。

在洛—斯皮拉尔计数—红移测试的一种变体中，福田等（1990）得出结论，把星系数量累积到非常暗的视星等将会支持一个低质量密度的平坦宇宙模型，Ω _m ~0.1，Ω _Λ ~0.9。这个结果是朝着正确的方向发展的，而且证据很有趣，但是没有列入表3.2，因为结果依赖于一个经过仔细考虑但难以检验的星系演化模型。同样，这种方法最好被视作一种对宇宙演化的探测。

福田等（1992）分析了由低红移并且恰好接近视线方向的星系通过引力透镜引起的多幅高红移类星体图像被观测到的比率。该比率取决于宇宙学参数，但也取决于星系周围的亚光度物质的分布，速率作为探测星系质量结构的方法现在很重要。

在大尺度上均匀质量分布的偏离，预期会产生一个相对于哈勃流的引力加速度场，这将导致本星系群 流过微波辐射海，第4章对CMB做了讨论。（与哈勃长度相比，CMB本身在较小的尺度上不会受到本动引力加速度的干扰。）由于流运动而产生的多普勒效应将导致CMB温度——以偶极模式 δT/T ∝cos θ ——在流方向上大于平均值，而在相反方向上小于平均值。斯穆特、戈伦斯坦和穆勒（1977）发现了这种偶极各向异性。它是由本星系群相对于由辐射定义的静止坐标系约600 km s ⁻¹ 的运动的多普勒效应产生的。产生此运动所需的质量密度的测量特别有趣，因为本星系群的引力加速度由公式（3.40）中的积分确定，该积分由在大尺度上对均匀性的小幅度偏离主导，这些偏离可能是相当不错的质量示踪。但是，对大距离星系分布的敏感性使积分的数值估算变得困难。

亚希勒、沃克和罗恩-罗宾森（1986）使用他们的IRAS星系汇编的角分布（已剔除银河系中的源）来估计本星系群本动引力加速度的积分［公式（3.40）和（3.43）］。结合CMB偶极各向异性，他们得出了因子 β ，表3.2的第17行是他们的密度参数的估计值。施特劳斯和戴维斯（1988）使用了他们的1.9-Jy IRAS星系角位置，并且能够根据所测得的红移添加约束，以便根据这种现象估算 β 。与亚希勒等一起，他们发现，所计算出的引力加速度方向相当接近于本星系群相对于热辐射海的运动方向，这表明IRAS样本可以为大尺度质量分布提供有效的近似值。表3.2的第18行记录了解释本星系群运动所需的施特劳斯和戴维斯质量密度。施特劳斯等（1992）使用了更大的1.2-Jy IRAS星表［包含5 288个星系红移，接近图3.3分图（b）中的数据］，结果见表3.2的第24行。林登-贝尔、拉哈夫和伯斯坦（1989）使用了他们的光学选定星系的红移星表，结果见第21行。施莫尔特等（1999）第37行的结果来自PSC z 星表，该星表对红移空间中的两点相关函数进行了精确的测量（Hamilton，Tegmark，and Padmanabhan，2000）。但是施莫尔特等得出的结果与Ω _m =1仅相差两个误差范围，高于Ω _m =0.3仅一个误差范围。这是对平均质量密度和偏离均值的大尺度分布的重要探究。这些结果进一步表明，质量密度小于爱因斯坦-德西特值，但是在世纪之交，这一质量密度测量结果的影响力仍然有限。

从本星系群的本动测量Ω _m 的挑战在于，需要在天空范围内保持稳定的距离校准，因为一个以角位置的函数的形式表现为本动速度中的系统误差的变化出现了，这和引力场的比较相混淆。宇宙学革命之后，施普林戈布等（2007，599）在他们对大部分天空的系统巡天中，解决了这一难题。他们报告说，他们汇集的“4 861个场星系和团星系的本动速度星表足够大，不仅可以研究大尺度流动的全局统计数据，还可以研究局部速度场的细节。”

戴维斯和努瑟（2016，310）将这些数据与改进的红移巡天一起使用，证明了“引力场被用来预测速度场……具有显著的一致性。这是线性扰动理论的一个很好的证明，并且与宇宙学变量的标准值完全一致”。此时，戴维斯和努瑟提到的宇宙学变量的标准值得到了很好的支持。这一源于对距离标准的控制的进步，使人想到了戴维斯及其同事（Davis et al.，1982）第一个得到良好控制的星系红移样本CfA星表的重要性，这使戴维斯和皮伯斯（1983a）得以测量红移空间变形和表3.2第13行的结果。

格罗思、尤兹基维奇和奥斯特里克（1989）报告了另一种方法，该方法基于对星系本动速度相关函数的测量。 ^[9] 他们使用来自阿伦森等（1982）和林登-贝尔等（1988）的星系红移和距离的光学样本。格罗思等得出的结论是，与均值附近的弥散相比，平均流流速较大。奥斯特里克和索托（1990）认为流温度不高，宇宙马赫数较大。适用于更小尺度观测的一个更早的术语是，星系的流动是“安静的”，即接近符合哈勃定律（例如Sandage and Tammann，1975）。即使在~10 Mpc的距离上——在这个尺度上星系的分布肯定是团块的——流动也很安静，如图2.2所示。在第5.2.4节中将进一步讨论这种惊人的现象，该现象被视为对当前质量分布如何增长的观点的一个限制。

格罗思、尤兹基维奇和奥斯特里克（1989，564）的报告指出：

通过对观测到的大尺度流的分析，我们的结论是，以下表述中至少一项必然是严重错误的：（1）速度数据是正确的；（2）标准（Davis et al.，1985）偏差的Ω=1和 b =2.5的CDM模型是正确的；（3）CBR框架定义了本地静止标准。

以上参考的是具有开创性的戴维斯等（1985）的数值模拟，我们将会在本书第8.3节中进行讨论。越来越多的证据——对星系“安静”流动的考虑是其中重要的一部分（尽管在表3.2中不容易总结）——表明（2）是错误的：质量密度参数被证明远低于1且有着适度的偏差， b ~1.2。

与本节中讨论的许多密度探测一样，人们可能会问，该测量是否因星系和质量分布之间的差异而有偏差。奥斯特里克和索托（1990，381）认为：

只要观测到的星系均匀地采样速度场，结果就可以正确反映动力学信息。它们不受发光物体（星系）如何示踪潜在的暗质量分布的影响。因此，星系形成中可能存在的偏差效应不应该影响结果。

表3.2第19行的条目，以及表中更下方呈现的类似结果，都假定宇宙结构是在引力作用下，从原始高斯绝热近乎尺度不变的对绝对均匀性的偏离中生长出来的。这个过程将在第5.1节中讨论，并纳入皮伯斯（1982b）引入的CDM宇宙学变体中（我们将在第8.2节中进行回顾）。这是在初始假定——可以根据质量分布的引力加速度驱动的本动运动来估计质量密度——的基础上需要增加的诸多假定。但是，当在20世纪80年代后期应用此探测时，这些额外的假定已经被发现是有前景的。在下面的评论中，让我们约定这里的sCDM指的是1982年的版本，该版本假定了爱因斯坦—德西特参数，而更通用的CDM包括质量密度小于爱因斯坦—德西特值的变体。

在所有这些假定下，当分离距离小于 r _c ~50(Ω _m h ² ) ⁻¹ Mpc时，质量密度与平均值的偏差呈正相关，并且在更大距离上呈负相关，因此将分离距离固定为质量自相关函数为零时的距离（Peebles，1980，§92）。在物质和原始辐射海中的质量密度相等的纪元 z _eq =3 400，质量分布的引力演化会加剧这种现象，我们将会在第4.1节中讨论。宇宙学常数和空间曲率对 z _eq 处的膨胀率的贡献很小，因此Λ和空间曲率的值对从正相关到负相关过渡时的空间距离几乎没有影响。 由于这种情况是由于引力的牵引而发展起来的，引力会使星系随质量一起移动，所以合理的预期是，星系的位置与质量在大约相同的尺度 r _c 上相关（如第117页的脚注所述）。由于测得的星系距离以 h ⁻¹ 的尺度变化，因此在所有这些假定下，过渡处距离为 r c的红移测量值都会对乘积Ω _m h 提供约束。

布卢门撒尔、德克尔和普里马克（1988）率先应用了该测试。他们对大尺度成团性测量的评估表明，与爱因斯坦—德西特模型的预期相比，星系相关函数 ξ ( r )在更大尺度上是正值，而且与表3.2第19行记录的密度参数相符，一如既往地使用哈勃参数 h =0.7。他们论文的标题是《冷暗物质和重子的开放宇宙学中的超大尺度结构》。布卢门撒尔、德克尔和普里马克（1988，540）指出，“这与宇宙暴胀的教条相冲突，［但是］另一种解决方法将会调用非零的宇宙学常数”。

埃夫斯塔硫、萨瑟兰和马多克斯（1990）测量了足够大的——足以独立和直接测量星系的位置正相关尺度——距离 r 的星系位置相关函数 ξ ( r )。他们发现在较小尺度上符合幂律形式，如图2.5所示，并且发现有明显的证据表明，在更大的分离距离处，幂律趋势向下偏离，逐渐转变为负相关。他们的结论是，质量密度参数为Ω _m ~0.3（表3.2第22行），这表明存在爱因斯坦的Λ。他们没有提及同样合理的解释，即无须Λ的弯曲空间截面。

值得注意的是，技术在表3.2第22行的重要结果中的作用。格罗思和皮伯斯（1977，图5）在里克星系星表（Shane and Wirtanen，1967）中看到了向负相关过渡的证据。索内拉和皮伯斯（1978，图4）在这些数据中更清楚地看到了这一点，尽管他们没有看到在比sCDM预期的更大尺度上打破幂律的重要意义。里克星表中的星系是由光学显微镜对照相底片的可视扫描识别出来的（主要由唐纳德·沙恩和卡尔·维尔塔宁）。沙恩和维尔塔宁（1967，3）报告说：“统计的图像总数为1 257 091。由于照相底片的重叠，许多星系被计算了不止一次。实际代表的独立星系数量为801 000。”

埃夫斯塔硫、萨瑟兰和马多克斯（1990）使用剑桥大学的照相底片自动测量机（Automatic Plate Measuring machine，APM）来探测照相底片上的星系。这些数据可以得到对 ξ ( r )更好的测量。APM行动是一项巨大的努力，但与沙恩和维尔塔宁的壮举相比仍相去甚远。随着从照相底片到更高效的数字探测器的转变，情况又发生了变化。

在对星系位置相关性的尺度进行的一项独立的检查中，桑德斯等（1991，32）从IRAS星系的红移星表（前文讨论的PSC z 星表的前身）中发现：“在大尺度上，存在比标准的星系形成的冷暗物质理论所预测的更多的结构。”他们没有讨论通过引入宇宙学常数或空间曲率来挽救CDM模型。

沃格利等（1992）在本节前面讨论的CfA红移星表中增加了更远的红移。这个新样本的距离比APM巡天的距离要近，但是它具有实测红移的巨大优势，在将观测到的角函数转换为所需的空间相关函数时抑制噪声。他们清楚地证明，位置相关函数在小间距处具有熟悉的幂律形式，但在大间距处低于幂律。他们得出的结论是，这些证据支持“一个开放的CDM模型（Ω h =0.2）”。这记录在表3.2的第25行中。当然，爱因斯坦的宇宙学常数Λ与空间曲率一样有效。帕克、戈特和丹尼·达科斯塔（1992）向CfA样本测量值中添加了南天区的红移。他们也发现Ω _m h ≃0.2。皮考克和道兹（1994）从测量形式上重建的质量起伏功率谱的原始形式与在引力不稳定性图景中预测的非线性增长给出了相似的结果，Ω _m h =0.25。

我们看到，来自大尺度星系位置正相关的质量密度约束得到了充分和彻底的检验。这一解释依赖于（并通过一致性进行检验）在第5.2.6节和第8.2节中讨论的CDM类模型中初始条件的假定。表3.2的质量密度约束条件汇编中的图注a指向这一假定。

星系团的性质对宇宙质量密度提供了重要的约束。大多数分析假定这些质量聚集通过引力增长，从绝热的近乎尺度不变的对均匀性的偏离开始。加上星系示踪质量的附加假定，Ω _m =1的标准sCDM模型高估了星系团数密度。埃弗拉德（1989），皮伯斯、戴利和尤兹基维奇（1989），利耶（1992），巴特利特和西尔克（1993）通过基于普莱斯-谢克特逼近法（见第5.2节）的半实证论证得出了这一结论。该方法被用于计算预期会增长为富星系团的异常大的原始质量起伏的发生频率。如果Ω _m 远低于1或者由于星系成团高估了成长为大星系团的质量成团的归一化而导致测量偏低，那么该问题就得到了解决。

巴考尔和岑（1992）通过N体数值模拟对此进行了检验，该模拟表明，如果Ω _m =1，就没有可供选择的偏差参数 b ［在公式（3.42）中］可以解释星系团数密度以及星系团位置的相关性。正如我们已经讨论的，如果Ω _m =1，则后者是质量起伏的关联范围短得不可接受的一方面。巴考尔和岑证明，通过将CDM模型中的质量密度降低到Ω _m ≃0.2至0.25（表3.2第23行），可以解决这两个问题。此项由图注c标记，表明该论点对星系是有用的质量示踪的假定并不敏感。值得注意的是，与其他Ω _m 估计值的一致性增加了证据，证明星系对质量示踪足够好，可以用于有效的质量密度估计。

关于质量密度的另一种探测来自团质量作为时间或红移的函数的演变。巴考尔、范和岑（1997）以及埃克等（1998年）报道的数值模拟表明，爱因斯坦—德西特模型预测的团质量的增长速度快于观测到的速度。他们发现，可以通过采用表3.2第33行和第35行中较低的质量密度值来纠正此问题。对于给定的质量密度值，如果Λ=0，那么星系团的增长速度就较慢，但添加Λ的效果不大。该表中的条目假定的是宇宙学上平坦的情况，Ω _m +Ω _Λ =1。这些条目也用图注c标记，因为它们对质量相对于星系的分布并不十分敏感。

卡尔伯格等（1997）通过将在星系团中测得的星系质光比 M/L 应用于平均光度密度，得到了表3.2第34行的质量密度。该方法类似于戈特和特纳（1976）的方法，他们根据引力结合样本星系群所需的质量，估计了第6行的 M / L 值。卡尔伯格等考虑了更大的系统：星系团。这为保持稳定性提供了更清晰的案例，并为进行更深入的分析提供了更多的数据源。卡尔伯格等（1997，L10）得出的结论是：

从整个样本计算得到的维里质量，根据其测量偏差进行实证调整，将会正确估算出所包含的质量……我们现在已经测试了逻辑链中支持我们校正后的总体调整值Ω ₀ =0.19±0.06的每一步。没有令人信服的证据表明，星系团 M/L 作为该样本红移范围内的场值估算器，存在任何尚未解决的系统误差。

该结果不依赖于初始条件，这是有价值的。但它确实依赖于他们的证据，即可以将近红外波段测得的质光比与星系团中的星系和场中的星系的质光比进行比较。为此，卡尔伯格等观测到 r 波带中 M/L 与颜色的相关性很小，这与早型星系比旋涡星系质量更大的早期观点相反。

表3.2的第26行和第27行基于这样的假定：星系团足够大，可以通过引力收集接近适当的重子与总质量之比的样本进行生长，从而克服重子物质中可能会阻止聚集的压强。质量当然包括第7章中讨论的非重子暗物质。在此假定下，平均质量密度为：

重子的质量密度 ρ _baryon 可能受到以下条件的限制：热大爆炸宇宙学膨胀初期的元素核合成与所观测到的轻元素丰度相符，特别是氘与氢之比（如第3.6.2节和第4.6节所述）。星系团中重子的质量 M _baryon 是从星系团X射线谱和光度得出的等离子体质量与星系团成员中恒星所含的少量重子的质量之和。总星系团质量 M _tot 由限制星系运动和等离子体压强所需的引力势导出。这些量在公式（3.45）中被用于计算平均质量密度。怀特（1991）和他与弗伦克（1991）的研究中都考虑了这一论点。布里尔、亨利和勃林格（1992）独立地应用了它。他们发现，如果仅考虑星系团内的等离子体中的重子，Ω _m =(0.12±0.06) h ^−1/2 。 ^[10] 怀特等（1993）加入了恒星的质量，并且通过对膨胀宇宙中星系团增长过程中的等离子体和非重子暗物质的引力动力学进行数值模拟，对以下假定进行了检验：星系团包括一个 ρ _baryon / ρ _m 比例接近适当的样本。怀特等（1993，429）的结论是“要么宇宙的密度小于闭合所需的密度，要么标准的元素丰度解释中存在错误”。

怀特等（1993）将其Ω _m 的低值称为“对宇宙学正统的挑战”，实际上，当时许多人认为Ω _m =1的爱因斯坦—德西特模型是合理且明智的情况。但是，从较低质量密度的星系团重子质量百分比得出的证据，与表3.2中记载的许多其他探测质量密度的方法所揭示的结果一致。我们可能还会注意到怀特和弗伦克（1991，58）的一个较早评论，即避免了一个开放的宇宙，“通过引入宇宙学常数，可以相当不优雅地保留暴胀模型预测的平坦几何”。

对星系团重子质量百分比的这种分析依赖于早期宇宙中核合成的理论，而该理论又通过与其他 ρ _baryon 测量值的一致程度被检验。它假定星系团是通过捕获重子与亚光度物质比率适当的样本而增长的，怀特等（1993）通过数值模拟做了检验。如表3.2的图注c所示，并不要求星系是良好的质量示踪。这里值得注意的是，该结果与许多其他测量结果一致。我在整本书中都在提这种一致性交叉检验的重要性。第9章提供了一个汇集的图景。

博钦格和德克尔（1989）提出了一种优雅的方法，可以从多普勒频移偏离哈勃关系观测到的径向速度分量推导出大尺度流速度 ( )的横向分量。在第5章讨论的引力不稳定性图景中，在更小的尺度上通过非线性团块进行了适当平滑的本动速度场 ( )（相对于均匀哈勃膨胀的速度），在轨道相交之前是不旋转的。这是基于这样的假定：流速度 ( )通过引力而增加，从而保留了无旋流∆× =0。这意味着速度可以表示为势的梯度 =∆Φ，这种方法因此得名：POTENT。在局部笛卡儿坐标中，将观测到的径向方向沿 z 轴放置，则无旋流的横向分量为：

在线性近似下，本动速度场 ( )这一估计值的散度是质量密度偏离平均值的度量：

其中 δ _g 是对星光光度密度或星系计数的均匀性的偏离比例，如公式（3.42）所示，并且 β =Ω _m ^0.6 / b ［公式（3.43）］。

博钦格等（1990）发现，应用POTENT方法可以绘制出合理的大尺度高星系密度和低星系密度区域的分布图，范围可达约60 h ⁻¹ Mpc，如推导出的 δ _g ( )函数所示。德克尔等（1993）使用基于塔利-费舍和 D _n - σ 关系（用于晚型星系和早型星系）的星系红移和距离得出了径向本动速度，POTENT将其转换成了三维速度场。通过估计偏离均匀性的非线性程度，或者通过使用1.9-Jy IRAS红移样本来模拟质量分布，速度场被转换成了平均质量密度。结果表明，在95%的置信度下，Ω _m 在0.5到3的范围内（表3.2第28行）。可能值的范围相对较大，实际上，公式（3.46）需要对径向流速度估计值进行数值微分，因而放大了噪声。哈德森等（1995）使用了更深的1.2-Jy IRAS红移样本以及一个光学红移和距离的合并集合来模拟质量分布。他们在表3.2第30行得出的结果在两倍误差范围内与Ω _m =1一致。

这两个POTENT结果与爱因斯坦—德西特质量密度相当一致（显然是最受欢迎的非实证性结果，见第3.5.1节），这必然会引起人们的注意。但是它受到了表3.2中大多数其他测量结果的挑战，这些测量结果表明密度明显小于爱因斯坦—德西特值。尤其值得注意的是戴维斯、努瑟和威利克（1996）使用与POTENT分析相似的数据，根据测得的星系径向本动速度与星系分布的本动引力加速度的拟合进行的分析。而沙亚、塔利和皮尔斯（1992）则使用了一个较浅但已确立的本动速度样本。这些结果都表明，质量密度没有爱因斯坦—德西特质量密度大。

POTENT以及戴维斯、努瑟和威利克（1996）对质量密度的探测在表中被标记为“速度和引力场”，因为他们使用红移星表来绘制星系的空间分布，并用后者来计算作为位置的函数的引力加速度，直至归一化因子 β 。 β 的值是通过将引力加速度拟合到本动速度得出的，本动速度由距离和红移已知的星系的宇宙学红移 H ₀ r 与退行速度 cz 的差推导得出。大量距离未知的红移使空间分布的分辨率更高。戴维斯、努瑟和威利克（1996）使用了Mark III星表中的径向本动速度样本，该星表包含2 900个具有塔利-费舍距离的晚型星系，他们还使用了1.2-Jy IRAS红移样本。他们的“最可能的值的范围”（Davis，Nusser，Willick，1996，22）记录在表3.2的第32行。他们探讨了为何尽管使用了相似的数据，结果仍与POTENT不一致，最后的结论只是建议对基于平滑速度和引力场的Ω _m 的测量值持谨慎态度。但是威利克和施特劳斯（1998）对速度和引力场进行了详细的统计分析，他们使用了1.2-Jy IRAS红移和本动速度的Mark III扩大星表，得出了第36行的测量结果。他们的结论（Willick and Strauss，1998，64）是“数据与一个宇宙学密度参数Ω≈0.3，IRAS星系无偏差， b I =1的模型一致”。偏差参数 b I 中的下标是指红外IRAS样本，与光学观测相比，该红外IRAS样本受星系和银河中尘埃消光的影响要小得多。威利克和施特劳斯的结论与质量密度参数接近Ω _m ≈0.3的证据趋于一致。

假定绝热的初始条件和尺度不变性，但不假定星系可以示踪质量，COBE卫星对大尺度CMB各向异性的测量［Smoot et al.，1992；本内特等（1996）获得的4年的数据］提供了质量起伏功率谱的归一化。这被用于通过星系团质量及其空间分布，以及星系密度和速度场的比较来测量质量密度（如Bahcall and Cen，1992；Bartlett and Silk，1993；Eke et al.，1996；Viana and Liddle，1996；and Willick et al.，1997）。在假定尺度不变的初始条件下，结果与通过对星系空间分布进行归一化得到的结果相似。

要注意的是，COBE微波背景各向异性是在约10°的角尺度上测量的，这转换成在约500 Mpc的尺度上原始质量起伏的幅度。而将尺度外推到约10 Mpc（与星系团相关）和约1 Mpc（与星系的相对运动相关）是一个很长的外推过程。COBE归一化和星系归一化质量密度估计值在Ω _m ~0.3处的一致性可以视作支持接近尺度不变性的证据。但是，如果倾向于Ω _m =1，就可能引发对另一种可能性的探讨，即对尺度不变性的偏离。这就是第8.4.1节中讨论的倾斜冷暗物质宇宙学模型。

星系距离测量技术的进步（用于旋涡星系的塔利—费舍指示器，用于椭圆星系的 D _n - σ 指示器）使费尔德曼等（2003）测量作为星系对分离的函数的星系平均相对径向速度成为可能。他们从四个精心编制的星表中发现了一致的结果，表3.2的第42行记录了他们的Ω _m 的估计值。

表3.2中要讨论的最后一项是珀西瓦尔等（2001）的报告。他们清晰地探测到了早期宇宙中等离子体—辐射流体的声学或压强振荡的效应。珀西瓦尔等（2001）使用类似于图3.3图（c）的2dFGRS数据（包含160 000个红移样本），得出了表中第40行的质量密度。科尔等（2005）检验了其探测的真实性，他们从一个包含221 414个红移的2dFGRS样本的星系分布中清晰地探测到了声学振荡效应，这与珀西瓦尔等的结果相当一致。

该现象被称为“BAO”，也就是重子声学振荡（Baryon Acoustic Oscillation）。振荡在星系分布中产生一种模式，该模式在大尺度空间分布的功率谱中表现为独特的波纹。第5.1.3节的图5.2展示了该模式的起源。该效应还表现为来自早期宇宙的剩余热辐射海遗迹的角分布中的一种模式（我们将在第4章中讨论）。所有这些都依赖于这样一个假定，即在第5.2.6节中讨论的绝热初始条件下，宇宙结构由于引力而增长，这适用于CDM宇宙模型及第8章中介绍的其变体。所有这些要素的假定都经过了测试并通过对模式的探测得到支持。这些模式指向标准的低质量密度。

BAO效应在星系分布的功率谱中产生一系列波，这些波在其傅里叶变换（星系位置两点相关函数）中转换为峰值。 ^[11] 艾森斯坦等（2005）在星系位置相关函数中发现了BAO峰一个清晰而令人信服的证明。他们使用了来自斯隆数字巡天的数据，这是革命后宇宙学进展的重要组成部分。

3.6.5 质量密度测量之评价

现在让我们来评估第3.6.4节中回顾的众多研究方向取得的成果。图3.4展示了表3.2中列出的Ω _m 的测量值与文献发表年份的关系。在膨胀宇宙的相对论模型的假定下，基于动力学的测量被绘制为实心正方形。绘制为空心十字的两个测量值增加了这样的假定，即重子质量密度受到第4章中讨论的轻元素形成的热大爆炸理论的有效约束。绘制为空心正方形的结果假定，引入了在第8.2节中介绍的CDM宇宙学图景的某些要素。这些空心符号在表3.2中用图注标记。图中上方的水平线标记了爱因斯坦—德西特质量密度Ω _m =1。这是20世纪80年代初至20世纪90年代后期最受学界欢迎的值。较低的水平线是世纪之交建立的宇宙学中的质量密度。

值得注意的是，基于星系团中每个星系的平均质量，哈勃（1936）做出了更大的估计，该估计值相当接近后来确定的值。他测量了星系周围暗物质的质量，条件是该质量必须足够大，以使引力包含星系团中的星系运动，因为大部分暗物质都围绕着星系。哈勃的较低估值也有其合理性，因为可以衡量恒星的质量。

福尔（1975）开创性的统计方法对暗物质也很敏感，因为这种质量驱动着他测量的大尺度速度场。但是他的估计取决于质量在更大尺度上的成团程度，这种成团程度可能可以被星系的成团结构示踪，但这一数据当时尚未得到很好的测量。戈特和特纳（1976）考虑了将星系聚集在一起所需的质量，从而合理地解释了星系周围暗物质的质量，但是他们对Ω _m 的估计值很低，因为他们低估了平均光度密度。在应用这种方法时，卡尔伯格等（1997）有更好的数据，他们得出Ω _m =0.19±0.06，接近几年后确定的标准值。

图3.4表明，Ω _m 的测量值之间的弥散在世纪之交时正在收敛，接近Ω _m ~0.3。这是推动学界达成宇宙学共识的诸多证据的一部分。有人可能会怀疑，弥散减少的另一个原因是否是Ω _m 的值不再预期是1，而是逐渐被“公认”在0.3附近。这种怀疑可能有些道理，历史上有许多例子表明，人们会无意识地不愿意偏离已被接受的误差范围。但也有一个明确的客观因素推动了这一趋势：星系红移和距离的样本的规模和质量在不断提升。

20世纪80年代中期至20世纪90年代中期的一些测量值包含了爱因斯坦—德西特的质量密度，而其他测量值的误差范围也逐渐接近这一值。在1993年主题为“宇宙速度场”的会议上，与会者提出了有关这些和相关估计值的论文与讨论，会议总结发言人桑德拉·费伯（1993，491）得出以下结论：“这次会议的一个主要亮点——甚至为什么它可能在未来被视为一个分水岭——是太多的人用这么多不同的方法第一次得出结论，Ω可能实际上接近1。”费伯是一位博学的天文学家，这是一个严肃的评论。对于那些认为Ω _m =1很可能是最终结果的人来说，这是令人兴奋的，原因在第3.5节中已经做了回顾。但是证据主要来自POTENT方法，该方法虽然优雅但难以应用。而且我们发现，POTENT测量值与其他各种类型的测量值并没有严重不一致，而其他类型的测量值往往都远远低于Ω _m =1。因此，在20世纪90年代中期，巴考尔、卢宾和多曼（1995，L84）对更广泛的估计值进行评估后得出结论认为，证据“表明了一个低质量密度的宇宙：Ω≃0.15~0.2，而且大多数暗物质都存在于大型星系晕中”。

图3.5展示了表3.2中的结果，并按表3.3中列出的测量类别进行了排序。该表的第二列提供了对所采样长度尺度范围的粗略估计。表3.3中每一行的末尾都记录了表3.2中每个类别的条目的行号。

A类中的Ω _m 测量值是基于将红移巡天数据处理为红移空间中的星系两点相关函数［公式（3.38）］。那些标记为A ₁ 的样本以较小的间隔（在几十万秒差距到几百万秒差距的范围内）采样星系的相对速度，并将它们加权到富星系团之外的星系。这些质量密度被假定为在相对较小的尺度上具有统计稳定的成团性。足够密集，因而可以用于A ₁ 的主要早期样本是到~40 h ⁻¹ Mpc距离（表3.2第13行）的CfA巡天，以及5个较小的、分隔良好的场中的红移（深度大约是前者的3倍，第14行）。第8行中的估计值单独并不能说明问题，但它与其他两个估计值的一致性，以及第13行中Ω _m 测量值在一个数量级的星系分隔距离范围内的一致性，都表明这是一个可靠的测量结果。

A ₂ 样本中更大分隔距离的测量采样了星系向最近的显著质量聚集的平均流动，这是质量分布偏离均匀性后引力增长的结果。图3.3展示了在红移空间中的星系两点相关函数中检测和测量此现象的过程。在20世纪80年代初期，CfA样本太小，无法显示出这种效应；在20世纪90年代初期，这种效应被探测到；到世纪之交，该效应已经被清楚地绘制出来了。在从~0.3 Mpc到~30 Mpc的相当大的采样范围内，A类两个部分的结果始终指向Ω _m ~0.3附近的质量密度。

就像我一直在论证的那样，Ω _m 的表观值对采样的长度尺度的这种不敏感，与星系是有效的质量示踪的结论是一致的。

表3.3中的B类是基于星系团测量的。它们在与A ₁ 相当的长度尺度上被观测到，但位于比A ₁ 密度大得多的区域中。B ₁ 中的测量值采样的是星系团的质量值和沿着星系团位置的空间相关函数的演化。除表3.2的第34行外，所有结果都假定基于类似CDM的初始条件。从这些初始条件到星系团形成的预测演化的计算似乎是可靠的，并且其内部一致性以及与其他质量密度探测的一致性，证明这些初始条件是对现实的有效近似。从星系团重子质量比例估算的B2（表3.3）中的质量密度，以热大爆炸中轻元素产生的理论为假定。除表3.2的第7行（由第16行取代）外，B类的测量值分布在Ω _m ~0.25附近。

B ₂ 中的探测以及来自B ₁ 中的星系团演化和空间相关性的探测，对星系示踪质量的假定并不敏感。它们与来自A的证据相似，而后者确实依赖于此假定，这种一致性为验证结果提供了重要的支持。

C类的估计值来自室女星系团中心流以及雷格斯和盖勒在其他星系团周围探测到的相同效应，其弥散范围更广。这主要是由于难以测量室女星系团周围的本地超星系团中星系的聚集程度。我预计，基于最新和更好的样本对红移空间星系团—星系互相关函数的测量，以及来自引力透镜的星系团—质量函数，将大大改善这一测量结果。现在已经有一个得到广泛支持的Ω _m 值，但是像往常一样，新的验证仍将具有价值。

在标准宇宙学中，本星系群相对于微波辐射海的运动是由偏离均匀质量分布而引起的引力加速度引起的。加速度主要由小幅度的质量密度起伏决定，而这很难测量。特别是，由于很难在整个天空中使距离标准保持恒定，因此本动速度的估值会受到系统误差的影响。这可能是类别D中Ω _m 的估计值弥散很大的原因。前文回顾了此方法的后续发展。

表3.3中E类的分析使用红移样本绘制星系空间分布图，用于计算到归一化因子——平均质量密度——的本动引力加速度，通过调整该因子以匹配根据星系距离和红移测量值得出的星系本动速度随位置的变化。再次强调，测量是困难的，因此Ω _m 的估计值的弥散很大。

F类包括对星系位置从正相关到负相关的过渡尺度的3项测量。距离很大，但是这种现象很明显，并且到1990年就被清楚地检测到了。其解释是基于一个假定，即对均匀性的早期偏离是近乎尺度不变的绝热过程。这通过了前文所讨论的COBE归一化探测的检验。它假定星系位置和质量分布与相同的间隔呈正相关。我在第117页的脚注中指出，这种假设似乎是合理的。

我认为宇宙学革命已经在2003年结束，但是我当然并不是说宇宙学探测的进展就此止步。特别是，我把第一次探测到BAO现象归入F类当中，BAO现象是早期宇宙耦合的等离子体和辐射的声学震荡的残余效应。此探测是一个重要的但仍然适度的开始。插图II的底图展示了自那以来BAO测量取得的巨大进展。

所有这些讨论均基于牛顿力学，但其在相当广泛的情况下的应用的结果一致性再次表明牛顿力学是一个有效的近似方法。

这些数据的缓慢累积，伴随着不可避免的不确定性和系统误差，以及一种合理的直觉——质量密度很可能是爱因斯坦—德西特值容易掩盖一个关键点：图3.5中所示模式的发展。很少有估计值与爱因斯坦—德西特的预测Ω _m =1一致；相反，大多数估计值表明平均密度约为爱因斯坦—德西特值的三分之一。类别A ₁ 和A ₂ 以及C—E类的动力学估计假定星系是有效的质量示踪。在20世纪80年代中期到20世纪90年代中期，人们很容易想象星系可能是有偏差的。但不那么容易理解的是，在从大约200 kpc（星系成团性是严重非线性的）到大约50 Mpc（其中围绕均值的偏差很小）的尺度上，为什么偏差如此相似。同样难以解释的是，如果质量密度为爱因斯坦—德西特值，为什么依赖于不同假定的探测值会如此一致地低。

直截了当的结论是，到世纪之交，从图3.5和表3.3中总结的多种质量估计值获得的证据有力地表明，宇宙平均质量密度约为爱因斯坦—德西特值的三分之一。这种评估背后的哲学可以通过改编爱因斯坦的一句话来表达：自然是微妙的，但通常并无恶意。值得注意的是，如果发现这些通过8种不同方法获得、采样范围广泛的估计值如此系统性地偏低，那将相当不同寻常。但是自然有时可以微妙到近乎恶意的程度，因此重要的是，在本书的其余部分中，我们还要考虑其他测试对Ω _m 的更多约束。 y+YjbBMDM9o2fKeNbliRHZxXNCvQkIobEzj7kP8WievFygwOFXsFg46wxmuyM1DA