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符号定义：在宇宙均匀膨胀的条件下，相对论标准形式中的线元以如下标准形式表达：
空间坐标 r 、 θ 、 ϕ 共同移动（也就是说，固定为宇宙物质内容的平均流动运动），因子 R −2 是一个常数（虽有此指数符号，但正负均有可能）。由于罗伯逊（1929）和沃克（1935）发现该表达式源自线元所描述的时空中的空间均匀性和各向同性，该表达式又称罗伯逊—沃克形式。它既适用于稳恒态宇宙学，也适用于相对论图景。
这一共同运动的观察者在固定的 r 、 θ 、 ϕ 坐标中保持公式（3.1）中恰当的物理时间 t 。公式（3.1）中的膨胀因子 a ( t )在图2.1和公式（2.3）对红移—距离线性关系的讨论中出现过。处于同一世界时间 t 上的两个事件，距观察者的坐标距离为 r ，观察者看到事件被小角度 δθ 隔开，其物理距离为 δl=a ( t ) rδθ 。如果常数 R −2 小到可以忽略不计，那么在给定的世界时间 t 内，从原点到坐标半径 r 的物理距离为 l = a ( t ) r ，并且物理距离的变化率为：
这是公式（2.1）中的哈勃定律，其中 H 在当前时期进行了评估，且忽略了空间曲率和沿过去的光锥进行观测——而不是在固定的 t 处进行观测——的相对论修正。
在含有爱因斯坦的宇宙学常数Λ的广义相对论中，膨胀参数 a ( t )满足弗里德曼—勒梅特方程：
其中局部能量守恒的表达为：
平均质量密度（包括辐射能量中的质量等效量）为 ρ ( t )，压强为 p （选择单位使光速为1）。为了理解该能量公式，请思考体积为 V 的容器中的能量 ε = ρV ，当压强为 p 时，能量以 dε/dt =- pdV/dt 的速率变化。能量公式通过设定 ε =4 πρa 3 /3并计算出时间导数来得到。
公式（3.3）第一个表达式中的因子 R −2 可以视为一个积分常数，在这种情况下，再加上能量公式（3.4），第一个表达式中的时间导数 da/dt 的平方就可以用第二个表达式来表达。但是在广义相对论中， R −2 同样定义了固定时间 t 的时空的几何。如果公式（3.1）中的 R −2 为正，那么时空几何是闭合的，就像球面；如果 R −2 为负，时空几何则呈现出鞍形表面；如果 R −2 为零，那么即便时空实际是弯曲的，它在宇宙学上也仍是平坦的。
在现代宇宙学迈出的第一步中，爱因斯坦（1917）发现了均匀且各向同性宇宙的广义相对论场方程的静态解，这一发现与他对马赫原理的思考相符。也许那时静态宇宙的条件看起来非常合理。为了获得这种解，爱因斯坦必须通过添加后来被称作宇宙学常数Λ的常数来修改他原来的相对论场方程。接下来，如果压强可以忽略不计，那么公式（3.3）中的条件 da/dt =0= d 2 a / dt 2 需要公式（3.1）中的质量密度 ρ 和表示空间曲率的参数 R −2 满足：
此处 aR 是空间曲率的物理半径。
爱丁顿（Eddington）（1923，166）注意到公式（3.5）表示一种奇怪的情况：质量密度这一动态变量必须和Λ这一自然常数保持一致。他写道：“这个问题一度困扰着我，通过什么机制能够使得 λ ［现在的Λ］的值被调整到与 M ［一种平均质量密度的度量］相符？”也有人可能会想，如果物质重新分布，使得局部违反此条件，会发生什么情况。这些早期问题暗示了爱因斯坦的静态模型并不稳定。我们将在第5章中进行讨论。
从爱因斯坦天才的想法中可以看出，按照常规思维，静态宇宙在物理上说不通：回想一下第2.1节中讨论的奥尔伯斯问题。苏联宇宙学家亚历山大·弗里德曼把爱因斯坦的解推广到均匀膨胀或均匀收缩的宇宙模型中，找到了出路（Friedman，1922，1924）。爱因斯坦最初认为，弗里德曼没有得到广义相对论中场方程的正确解，之后又认为该解虽正确但不符合物理规律。格纳（2001）和朗盖尔（2006）对爱因斯坦的这些评价有很好的回顾。在无限膨胀的宇宙中，积累无限星光的奥尔伯斯问题得到了解决，因为我们可以假定依据局部能量守恒，恒星的寿命是有限的。宇宙膨胀给我们带来了额外的帮助，它稀释了星光的能量密度。但是我没有看到有证据表明，弗里德曼意识到他已经解决了奥尔伯斯问题。
不幸的是，弗里德曼在认识到理论与观测之间可能存在的联系——即观测到了星系光谱红移与其距离成比例的趋势，这正是一个均匀膨胀的宇宙中预期的结果——之前就去世了。
匈牙利数学物理学家科内尔·兰佐斯（1923）为德西特（1917b）有一个正的宇宙学常数，并且均匀和各向同性的空时空的解引入了一个坐标标记。若采用公式（3.1）的标记，兰佐斯的表达式（他的公式[32]）为：
这是弗里德曼在质量密度趋近于零的情况下正宇宙学常数的闭合空间截面的解。然而，兰佐斯没有明确指出，这与天文学证据之间可能存在联系。比利时宇宙学家乔治·亨利·约瑟夫·爱德华·勒梅特（1925，192）也报告了这种消失的质量密度的解，他指出该解“为旋涡星云的平均退行运动提供了一个可能的解释”。
美国物理学家霍华德·珀西·罗伯逊（1928）则报告了德西特时空的另一种坐标标记，即宇宙学上的平坦时空，
R
−2
=0，膨胀参数为
。罗伯逊还指出这一标记可能与天文学中的红移现象有关。
我们从公式（3.2）和公式（3.3）可以看出，在德西特解中，当压强和质量密度消失时，径向移动测试粒子与原点的物理距离满足：
在解
中，粒子向原点下落然后离开，这一现象在20世纪20年代被称为德西特散射。在此解中，以及在
的解中，粒子的后期行为相同：粒子的退行速度与粒子和原点之间的距离成比例，与初始条件无关。从爆炸离开的粒子的速度分类也是如此：质量和Λ可以忽略不计时，移动得更快的粒子，距离更远。
弗里德曼（1922，1924）发现了爱因斯坦场方程的演化物质填充解。考虑到爱因斯坦20世纪20年代初的怀疑态度，看到他（1931，236）的如下积极态度十分有趣：
Es ist von verschiedenen Forschern versucht worden,den neuen Tatsachen durch einen sphärischen Raum gerecht zu werden,dessen Radius P zeitlich veränderlich ist. Als Erster und unbeeinflußt durch Beobachtungstatsachen hat A. FRIEDMAN 1 diesen Weg eingeschlagen,auf dessen rechnerische Resultate ich die folgenden Bemerkungen stütze. Dieser geht demgemäß von einem Linienelement von der Form...Bemerkenswert ist vor allem,daß die allgemeine Relativitätstheorie HUBBELS neuen Tatsachen ungezwungener (nämlich ohne λ -Glied) gerecht werden zu können scheint als dem nun empirisch in die Ferne gerückten Postulat von der quasi-statischen Natur des Raumes.
在谷歌的帮助下，我简单译为：
不同的研究人员试图通过考虑一个半径为时间函数的球形空间，来对新事实做出公正的解释。亚历山大·弗里德曼是第一个踏上这条道路的人，而且没有受到观测事实的影响。值得注意的是，相对于空间的准静态本质的假定，广义相对论的理论似乎更容易解决哈勃的新事实（并且没有 λ 这一分量）。
我们看到爱因斯坦同意他的广义相对论可以证明新事实，并且不包括Λ项（他写为 λ ）。为什么提到弗里德曼没有受到观测事实的影响？可以认为，弗里德曼解中隐含的红移—距离关系预测了后来由哈勃（爱因斯坦提到过他）等观测到的结果。
勒梅特（1927）将他1925年的坐标标记归纳为了一个充满物质的均匀时空的解。
虽然弗里德曼首先发现了这个解，但有证据表明，勒梅特在1927年提出的发现是独立完成的。与此一致的是，勒梅特（1929）在文章的一个脚注中对爱因斯坦向他介绍了弗里德曼的重要著作致谢。勒梅特（1931a，1950）在论文中也提到了弗里德曼先前的发现。
就本书的写作目的而言，勒梅特1927年发表的论文的重要成就在于，展示出了在膨胀的充满物质的模型当中，空间的均匀性使星系的红移在宇宙膨胀时仍然和距离成比例。本质区别在于，较早一些的讨论忽略了质量，因此红移—距离线性关系不需要爱因斯坦的均匀性：速度排序会做到这一点。在一个包含物质的宇宙中，红移—距离线性关系来自均匀性，它不需要广义相对论［正如公式（2.2）所示］。当然，如今这一些都更容易被理解了。
勒梅特（1927，1931a）引用了兰佐斯（1922）、外尔（1923）和隆德马克（1924）关于星系红移和距离在空的德西特时空中可能存在线性关系的早期讨论。德国数学物理学家赫尔曼·外尔了解星系光谱倾向于向红端移动的观察结果后，提出其中的原因在于物质已经分开，基于因果律我们必须把这一结果描述为物质在渐进过去中沿起源相同的测地线移动，且这些轨道呈现出
的形式。我们可以将其视为在德西特散射的辅助下，克莱因（1956）爆炸图的一个早期例子。
勒梅特（1927，1931a）并未宣称存在红移—距离线性关系的实证证据。勒梅特对观测情况的看法可以从其论文（1927，56）的一个脚注中看出：
Certains auteurs ont cherché à mettre en évidence la relation entre v et r et n’ont obtenu qu’une très faible corrélation entre ces deux grandeurs. L’erreur dans la détermination des distances individuelles est du même ordre de grandeur que l’intervalle que couvrent les observations et la vitesse propre des nébuleuses (en toute direction) est grande (300 Km./sec. d’après Strömberg),il semble donc que ces résultats négatifs ne sont ni pour ni contre l’interpretation relativistique de l’ef et Doppler. Tout ce que l’imprécision des observations permet de faire est de supposer v proportionnel à r et d’essayer d’éviter une erreur systématique dans la détermination du rapport v/r . Cf. LUNDMARK.The determination of the curvature of space time in de Sitter’s world M.N.,vol. 84,p. 747,1924.
简言之：
试图寻找 v 和 r 之间的关系的尝试表明，两者充其量只有弱相关性。由于距离误差与红移范围相当（斯特隆伯格认为该数值为300 km s −1 ），因此所有观测结果都假定 v 与 r 成比例，并在确定 v /r 时尽量避免系统误差。
勒梅特参考的是隆德马克1924年的论文，其中关于红移—距离关系的讨论可能没能令人信服。隆德马克通过奥皮克（1922）对距离最近的大型星系——仙女座星云M 31——旋转速度的巧妙诠释，对M 31的距离做了合理估计。 [1] 但是这个星系位于本星系群，且红移为负。隆德马克通过变星的视星等与银河系新星的比较，只得到了几个对邻近星系距离的粗略估计值。虽然他补充了一些球状星系团红移和距离的信息，但这些球状星系团距离更近，肯定为银河系中的一部分。勒梅特（1927）并未提及（也许是没有注意到）隆德马克（1925）报告中令人鼓舞的结果。这篇论文从哈勃（1925）对造父变星的观测，使用莱维特提出的造父变星周期与光度之间的关系，得出了M 31及其伴星系相当好的距离估计。隆德马克（1925，867）断言：
在表观尺寸和径向速度之间显示出相当明确的相关性，即较小的且可能距离较远的旋涡星系具有更高的空间速度。
这与宇宙学的红移—距离关系是一致的，但是隆德马克（1925）没有解释支持的证据。
考虑到这种情况，勒梅特（1927）在他的脚注中得出结论，说这些数据不足以检验红移—距离关系，便不足为奇了。这与勒梅特（1950，2）后来的回忆相吻合：“Naturellement,avant la découverte et l’étude des amas de nébuleuses,il ne pouvait être question d’établir la loi de HUBBLE;mais seulement d’en calculer le coe ficient.”。也就是说：“自然地，在发现和研究很多星云之前，还不涉及确立哈勃定律的问题，而只是关乎计算系数的问题。”
勒梅特（1927）在脚注中提到的系数计算假定红移—距离关系是线性的，并且假定距离估计值偏高的倾向与偏低的倾向相同，因此在计算均值时，误差趋于互相抵消。那么，对比例常数
H
0
的一个良好估计是退行速度的平均值除以距离估计的平均值。勒梅特（1927）列出了42个具有测得的红移和视星等的星系，这些数据几乎全部来自斯里弗。对于距离，他使用了哈勃（1926）得出的星系视星等
m
与距离
r
（以秒差距为单位）之间的关系：log
r
=0.2
m
+4.04。
哈勃的研究基于六个星系加上一个可能的第七个星系——来自莱维特（1912）造父变星周期与光度之间的关系——的距离。这是一个不错的初步近似。尽管星系光度的频率分布很宽，但是星系光度的上限范围较窄，而且较为暗弱的星系的空间采样较小，这意味着按视星等选择的星系在距离上弥散较小。正如将要讨论的那样，勒梅特的
H
0
值与两年后哈勃（1929）的估计相差不大。
勒梅特曾访问过剑桥大学，根据普鲁米安天文学与实验哲学教授亚瑟·斯坦利·爱丁顿所述，勒梅特“在1923—1924学年，一直参加我的课程，我对他的学习和研究都非常满意”。
勒梅特后来去了马萨诸塞州剑桥市的麻省理工学院，于1925年在短暂存续的麻省理工学院《数学与物理学杂志》上发表了一篇论文。还有一篇发表在了有影响力的物理学家和天文学家基本都会阅读的杂志上，从而引起了人们对勒梅特新奇发现的关注。回到比利时后，他在《布鲁塞尔科学年鉴》（
Annales de la Société Scientif que de Bruxelles
）上发表了他1927年的那篇论文。不过，这本期刊影响力较小。勒梅特又给爱丁顿寄去了几封信，设法将其注意力吸引到自己1927年的论文上。相关证据可以在爱丁顿寄给德西特的明信片中找到（见插图III，摘自乔治·勒梅特的档案）：
勒梅特的地址是鲁汶那慕尔街40号。我和研究生麦克维蒂一直很关心这个问题，并取得了很大的进展。我们发现勒梅特做得比我们更透彻，对我们来说，这确实是个打击（就我而言，是个小打击吧，因为勒梅特也曾是我的学生）。
顺便说一句，是您和我在皇家天文学会做的报告使勒梅特写信给我的。
乔治·麦克维蒂（1967，295）回忆说：
奇怪的是，起初［勒梅特的］工作并未引起过多关注。大约三年后，我成为爱丁顿教授的研究生时，他建议我研究红移问题。我清楚地记得那一天，爱丁顿教授面带惭愧地给我看了勒梅特的来信，他意识到勒梅特已经找到问题的解决办法。教授自己承认，尽管1927年看过勒梅特的论文，但若不是收到这封来信，他已经完全忘了这件事。爱丁顿于1930年6月7日给《自然》杂志寄去了一封信，在信中纠正了这一疏忽，请人们关注勒梅特三年前出色的工作。
爱丁顿教授还慷慨地安排将勒梅特1927年的论文译成了英文，并发表在颇具影响力的期刊《皇家天文学会月报》上。
勒梅特（1931a）没有把1927年的论文中的脚注译入英语版本——该脚注有助于理解他是如何得出哈勃常数值的——这也使得阴谋论者有机可乘。勒梅特的值与罗伯逊一年后发表的值，以及哈勃在两年后宣布红移—距离线性关系证据时的结果很接近。这三个早期估值为：
等式（3.8）第一行中 H 0 的计算值出现在勒梅特（1927）的公式（24）中，而且勒梅特在脚注中对其进行了讨论。马里奥·利维奥（2011）令人钦佩的调查工作清楚地表明，从1931年的英语译文中删除1927年的脚注是勒梅特的决定。第二行是罗伯逊（1928）的估值，其基础是斯里弗的红移测量值和哈勃6个星系的造父变星距离。但罗伯逊没有对该关系可能为线性的证据做评估。
哈勃（1929）则把重心放在观测而非理论上。他从造父变星的观测中得出了6个或7个星系的距离，又假定最亮的恒星有共同的内禀光度，从而得出了13个星系的距离，以及室女星系团中尚未被透彻理解的几个星系的距离。但是勒梅特、罗伯逊和哈勃都是基于基本相同的信息进行计算的，所以等式（3.8）中 H 0 的估值才会十分相似。我认为勒梅特（1927）对线性关系证据的看法过于悲观，罗伯逊则只相信理论，而哈勃（1929）又过于乐观了。哈勃（1929）的红移—距离图（图1）似乎在提示线性关系，但没什么说服力。不过，哈勃的方向是正确的，正如他和赫马森在20世纪30年代所展示的那样。
勒梅特为什么删除了脚注？他说，那时关于线性关系的主张不具有说服力。范登伯格（2011）回顾的证据表明，勒梅特和哈勃早就注意到了星系红移和距离之间存在关系的迹象，而且我们还发现哈勃提到了隆德马克（1925）对证据不太令人鼓舞的讨论。但1929年情况发生了变化，哈勃明确发表了线性关系存在的证据。因此，一个直接的推测是，哈勃的发现使勒梅特删除了脚注，因为这个脚注此时已经过时。但无论如何，我们可以肯定这个脚注并不是因为所谓阴谋——掩盖一个勒梅特之前甚至并未主张的实证性发现——而删掉的。
需要注意的是，哈勃是在亨利埃塔·莱维特发现造父变星光度与周期关系的基础上测量出星系距离的。她（1912，2）发表了如下关键结果：
变星的光度与其周期之间存在简单的关系：亮度每增加1个星等，周期的对数就增加约0.48。
哈勃1929年发表的论文很大程度上依赖于斯里弗（1917）的红移测量结果。斯里弗是珀西瓦尔·洛厄尔请到他的天文台的出色的天文学家之一。建造这个天文台是为了探究高等文明在火星上修建运河的可能性。20世纪30年代，米尔顿·赫马森与哈勃一起，在拓展红移的星系测距上发挥了重要作用（如Hubble and Humason，1931），极大地促进了红移—距离线性关系的研究。以上所述并非为了贬低哈勃的贡献——在我看来，对于那些将会推进河外天文学的观测，他当时具有正确的直觉——而是为了强调哈勃定律的发现还获得了其他研究者的帮助。