2.5 静态随机过程的宇宙

借鉴耶日·内曼（1962）的观点，爱因斯坦的宇宙学原理更正式的陈述是，宇宙是假定为静止的（统计上均质和各向同性的）随机过程的实现。静止状态意味着期望值与位置和方向无关，只有相对位置很重要。只有在这个过程的实现——也就是我们可观测的宇宙——提供了一组接近合理的样本，从这一样本中我们可以得到关于星系分布统计测量的估计，并在理想化、无限可实现的过程中有效地近似这些测量时，这个概念在实证上才是有用的。该测试是对天空中不同距离范围内的不同部分的采样的统计估计值的可重复性检查。

加利福尼亚大学伯克利分校的耶日·内曼和伊丽莎白·斯科特发起了一项开创性的、有关星系空间分布统计分析的项目。他们将天空中一个个小区域里的星系计数拟合到一个由 ν 个成员组成的星团模型中，其中随机数 ν 可能取值为1，并且这些星团可能位于包含随机数的星团的超星系团中。他们通过计数的二阶矩来约束模型的参数。该项目得以发起，至少部分原因是唐纳德·沙恩在附近的里克天文台主持的观测项目。沙恩领导着天空中数以百万计的最亮星系的编目工作（Neyman，Scott and Shane，1954；Shane and Wirtanen，1954，1967）。内曼等的项目阐明了对河外天体进行静态分析的哲学，并预示了晕占据分布项目，该项目已成为21世纪分析星系分布的有用工具（如Berlind and Weinberg，2002）。但是他们的项目并不适合探测大尺度的均匀性。这是通过测量星系 N 点位置相关函数来实现的。

里姆波尔（1953，1954）、鲁宾（1954）以及东辻和木原龙（1969）引入了对星系分布的两点统计测量的使用。他们所有人都使用或提及了正在进行的里克计数。里姆波尔（1954，656）关于他如何估算一个个小区域中星系计数的两点角相关性的描述值得在这里介绍：

沿着这样的平行度上的每一度，每平方度内的星云数分别记录在两个［纸］条上。为了获得该平行线的 ，将一个条带相对于另一条带移位 ϕ 度，然后将位移后相邻的两个条带上的值相乘，得到这些乘积的平均值。

经过归一化和减去散粒噪声后，量 是间隔 ϕ 度角的两点相关函数的估计，它已成为河外天文学中被广泛使用的统计数据。但是对里克巡天和其他星表中数据的更充分利用，还需要等待20世纪70年代计算技术的进步，并最终取代里姆波尔的劳动密集型方法。我在和普林斯顿大学同事合作时使用的统计分析程序利用了这一点。结果总结在相关文献（Peebles，1980）中。

N 点相关函数通过点状粒子（可能是星系，也可能是质量元素）的分布来表示宇宙的结构。在体积元素 dV 中，发现一个粒子的概率为：

这定义了平均粒子数密度 n 。在假定的平稳过程中， n 与位置无关。在与一个粒子相距 r 的体积元素 dV 中，发现一个粒子的概率为：

这定义了简化的两点相关函数 ξ ( r )（“简化”表示删除括号中的第一项以及因子 n ）。在统计上均匀和各向同性的假定下，该两点统计量只能是两点间隔 r 的函数。如果我们观测到的实现为我们提供了一个适当样本的良好近似，那么根据观测所得的 ξ ( r )的估值就是函数在理想化的随机过程中的良好近似。如我曾详细讨论的，当 N >2时，对高阶归化 N 点函数的定义与此类似（Peebles，1980）。

根据公式（2.10），一个粒子距离 r 以内的粒子数的平均值（期望值或者统计平均值）如下：

其中 V 是距离 r 以内的体积（距离与哈勃长度相比尺度很小，因此我们可以考虑空间是平直的）。

在平稳的随机泊松过程中，每个粒子的位置均独立于其他粒子所在的位置进行分配。在这种情况下， ξ =0，并且邻居的平均数是数密度 n 与半径 r 内的体积 V 的常规乘积。为避免混淆，请注意，在平稳的泊松过程中，随机放置的体积 V 平均包含 nV 个粒子，但如果将体积放置在随机选择的粒子，会使所包含的粒子数偏移，平均包含 nV +1个粒子。

公式（2.11）中的第二项是超过泊松分布的平均邻居数。如果粒子倾向于相互远离，这一项就可能为负。如果两点函数为正并且是幂律形式（类似我们对星系的观测结果），那么我们有：

第二个公式的另一种表示方法是，和一个粒子距离小于 r 的平均邻居数与在位置不相关的情况下期望的平均数 N = nV 之间的相对差：

参数 r ₀ 是该幂律模型中成团长度的度量。在 r ≪ r ₀ 处，位置明显聚集：如果位置不相关，那么一个典型粒子具有比预期更多的邻居。在 r ≫ r ₀ 处，相对于不相关的泊松分布的平均偏离是对计数的很小的相对扰动。

测量 ξ ( r )和高阶函数需要找到方法，来解决星系距离测量相对较大的不确定性。该方法是间接的：在某些选定值范围内具有距离估计值 d 的星系的角位置图中，从角度两点相关函数 ω d ( θ )的估计值推断 ξ ( r )。星系距离估计中的误差被假定是不相关的，但可以设计校正方法加以校正。距离误差的概率分布应该被充分合理地理解，并且我们有一个强有力的假定，即分布在统计上是各向同性的。

根据公式（2.10）中定义的空间两点函数，在标称距离范围 d 内的星系样本中的角两点函数 ω d ( θ )，由在到星系角距离 θ ，立体角 dΩ 范围中找到一个星系的概率定义：

其中 N 是单位立体角（如果以弧度为单位测量角度，则为每球面度）的平均星系数。

如果我们有一个适当样本，并且如果空间函数 ξ ( r )在更大间隔处比 r ⁻¹ 下降得更快，那么在小角度间距 θ ≪1弧度下，函数将随样本深度 d 缩放为（Peebles，1973a，公式[69]）：

固定 x = θd 下的函数 W ( x )与深度 d 无关。［相对论修正被应用在格罗思和皮伯斯（1977，§V）的研究中。］要理解 d 如何进入公式（2.15），请考虑在固定的 θd 下评估的角函数探测的是固定线性尺度上的结构。随着 d 的增加，角相关函数会平均过在沿视线的线性尺度 θd 上增加的实现的数量，这平均化了角分布中的聚集。

图2.5引用自格罗思和皮伯斯（1977），展示了对统计上有着均匀的星系分布的适当样本的定量测试：一种空间静态的随机过程。分图（a）中的角两点函数是根据到三个极限视星等的星系角位置的星表做的估计。三角形的相关函数是从最邻近的样本，兹维基等（1961—1968）的《星系和星系团星表》中得到的。圆形的相关函数基于更深的里克星表。沙恩和维尔塔宁（1954，1967）发表了里克计数在1平方度单元格中的总和。塞尔德纳等（1977）将原始计数减少到标准条件下10×10角分的单元中，获得了图中绘制为圆形的相关函数。从鲁德尼茨基等（1973）更具有深度的贾格隆场中的星系星表得到了以正方形绘制的两点函数。

图2.5分图（a）中的角相关函数会随着样本深度的增加而减小，即在更深的样本更好地平均掉平稳随机过程中的起伏的情况下，朝着预期的方向减小。分图（b）中的定量检查是在公式（2.15）中应用比例关系的结果，其中样本的极限深度 d 的比率被视为每球面度的平均星系计数比率的立方根。缩放函数相当近似，这表明得出的空间函数非常可信。也就是说，此尺度检验得出的证据是，相关函数的估计值并未因系统误差（例如，在观测的部分天空上的变暗现象）而严重失真。就我们的目的而言，关键在于缩放函数的一致性是支持我们对适当样本的平稳过程进行观测的假定的证据。

在图2.5中较小的范围上，角两点函数能很好地用一个幂律函数近似。这转化为公式（2.12）中的幂律空间函数 ξ ( r )。格罗思与皮伯斯（1977）发现在 r ₀ =4.7 h ⁻¹ Mpc下， γ =1.77。哈佛-史密森天体物理中心（Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics，CfA）的红移巡天（将在第3.6.4节中讨论）对红移的测量结果有更好的控制，尺度范围增加到（Davis and Peebles，1983a）：

哈勃常数写为 H ₀ =100 h km s ⁻¹ Mpc ⁻¹ ，如公式（3.15）所示。 ^[4]

东辻和木原龙（1969）似乎首先得到了这个幂律形式的公式（2.16）。他们对指数的估计为 γ =1.8，非常接近后来更好的数据得出的结果。

距离一个星系 r 以内的区域中的星系平均数超出随机放置的该半径的球体中发现的平均数的部分是公式（2.11）中 ξ ( r )的积分。一个相关的度量是半径为 r 的随机放置球体中星系计数 N 的均方起伏。对于该幂律相关函数，后者的统计量为： ^[5]

球半径 r _cl 可以衡量从小规模非线性星系团到大尺度均匀性的微小偏差的转变，其中星系计数相对于平均值的单位均方根相对数值为1：

与哈勃长度相比，该特征成团长度的最小值为 H ₀ r _cl / c ~0.003，表明可观测到的宇宙展现给我们成团结构的许多不同的碎片，这些碎片允许对星系分布进行很多探测，而这些探测可能会产生对这一随机过程的合理而且可靠的统计测量。在尺度范围远大于 r _cl 的星系分布图中模式可以被看到，但在更大尺度的平均星系计数中，它们是很小的相对起伏。

图2.5的分图（b）中缩放的两点角相关函数在大分离距离时低于该幂律。由于角函数是空间函数在不同采样距离的卷积，因此空间函数 ξ ( r )在 r ~10 Mpc时略高于该幂律，然后降至其之下。索内拉和皮伯斯（1978，图6）证明了这一点。在埃夫斯塔硫、萨瑟兰和马多克斯（1990）以及扎哈维等（2011，图B22）的著作中，他们更精确地展现了幂律被打破了。

这些统计量度适用于常见的大型星系，例如银河系，这些星系贡献了宇宙大部分的平均光度密度。它们的特征光度记为 L ^* 。数量更多的 L ≪ L ^* 的星系与 L ~ L ^* 星系有着近乎相同的星系团参数。 L ~10 L ^* 的数量更为稀少的巨星则更强烈地聚集。例如，马斯杰迪等（2006）发现，来自斯隆数字巡天（Sloan Digital Sky Survey）的亮红星系（Luminous Red Galaxy）样本的成团长度约为 L ≲ L ^* 星系的两倍。这与最大质量的星系优先出现在最大质量的星系团中的趋势是一致的，因为星系团的位置比普通的 L ~ L ^* 星系更强烈地聚集（Peebles and Hauser，1974，等式[47]；Bahcall and Soneira，1983）。凯泽（1984）提出了一个极好的观点，即在正相关的高斯随机过程中，预期星系的大质量聚集会比普通的 L ~ L ^* 星系具有更强的相关性，观测得到的结果与此一致。我们将在第3.5.3节中进行讨论。 BqMTrk40Z8hV4oc+8gnStsZJQsyQZ9I61P494vMu08XsQlauoO8SQJrUeYeF/U5I