2.1 爱因斯坦的宇宙学原理

爱因斯坦（1917）有关大尺度均匀性的原始论点很难评估。他反对这样的观点，即宇宙中的物质可能都集中于一处，就像一座小岛，在它之外什么都没有。如果事实如上所述，那么在逃逸速度有限的情况下，恒星将会蒸发，进而逃离这个岛屿宇宙。而这将与爱因斯坦关于宇宙处于静止状态的隐性假定相悖。如果逃逸速度任意大，那么统计弛豫将产生偶发性的、以任意大的速度运动的恒星。可以认为这与附近恒星的速度远小于光速的观测结果相悖。如果宇宙没有演化，并且恒星有时间达到统计平衡，那么这两点一定程度上都能说得通。爱因斯坦似乎并没有进一步思考，如果能量守恒，那么恒星必将停止发光。如果存在恒星持续不断地发光，那么爱因斯坦那均匀的宇宙将充满星光。以上就是奥尔伯斯悖论，当然这种情况并不为人们所接受。

与爱因斯坦1917年的想法更接近的论点可以在他的《相对论的意义》中找到，该书是爱因斯坦1921年在普林斯顿大学所做讲座的讲义（Einstein，1923）。他指出，他的广义相对论允许这样的解，其中存在一个单一的质量聚集，在这个质量聚集之外，时空是空的并且渐近平坦，或者用爱因斯坦的话说，是准欧几里得式的。物质在此质量聚集下的运动将具有通常的加速特性，例如受引力束缚的旋转星系的扁平化。但是在非相对论的质量聚集下，这种旋转将相对于空的时空。因此，爱因斯坦（1923，109）写道：“如果宇宙是准欧几里得式的，那么马赫认为惯性以及引力依赖于物体之间的某种相互作用的观点就是完全错误的。”

爱因斯坦（1917）表达的一种类似的观点是： “在一个自洽的相对 论理论中，不存在相对于‘空间’的惯性，只有相对于彼此的质量的 惯性。” 他继续指出，在广义相对论中，平坦的时空中的单个质量粒子将具有惯性，这与他之前所述的相对论观点相反。

爱因斯坦（1923，110）认为，在惯性的相对性这个问题上，马赫“很可能走上了正确的道路”，并列举了三个例子：

1.当附近可称量的物体堆积起来时，物体的惯性一定会增加。

2.当其相邻的物体加速时，物体必须承受加速力，实际上，该力的方向必须与加速度的方向相同。

3.旋转的空心体必将在其内部产生一个“科里奥利场”，该“科里奥利场”会在旋转的意义上使得运动体偏转，并且还会产生一个径向离心场。

在对爱因斯坦的天才构想保持尊敬的同时，我们必须注意到，第一个例子，如果是作为局部量度的话，可能会遵循马赫原理，但在广义相对论的框架下并不正确。该理论预测，如果一名观测者被限制在一个可以忽略潮汐场的足够小的空间内，那么无论环境如何，他都能看到相同、普适的局部物理学，包括惯性的通常性质。第二个示例的操作含义似乎与第三个示例相同。这就是伦塞—西凌效应：旋转的大质量物体附近的惯性参考系相对于远处的物体旋转，就好像惯性参考系被大质量物体的旋转所拖动一样。这个效果已通过观测被验证。

广义相对论的预测符合这样的思想，即加速度像运动一样，只有相对于宇宙其余部分的活动时，才是有意义的。这似乎正是恩斯特·马赫的思想方向（正如他在《力学及其发展的历史批判概论》英译本中所表达的那样，Mach，1960，283—285）。我们必须考虑的一种可能是，爱因斯坦在读到他所谓的“马赫原理”时想到了一个现已明确确立的想法：可观测的宇宙非常接近于均匀。关于爱因斯坦的正确观点是否出于完全正确的动因的争论仍在继续。

为了使加速度在广义相对论中是相对的，爱因斯坦必须消除准欧几里得宇宙的可能性。为此，他提出了一种边界条件，即宇宙是均匀的：它没有首选的中心，也没有边缘。太空被描绘成几乎均匀地充满了物质和辐射。

威廉·德西特（1917a，3）的论文给出了爱因斯坦思想的一些提示：

在无穷远处， g µν 的最理想和最简单的值显然为零。爱因斯坦没有成功地找到这样的一组边界值，因此提出了宇宙不是无限的，而是球形的这一假定，这样就不需要边界条件了，这个困难就消失了……几个月前，埃伦费斯特教授在与笔者的对话中曾经提出了使四维世界成为球形，以避免必须分配边界条件的想法。但在那时，这个论点还没有进一步发展。

（我无法理解德西特脚注中的评论。）球形空间是闭合的，就像球体的表面一样，没有我们必须指定边界条件的边界，并且可以假定它接近均匀。我们看到，大胆且最终成功的均匀性思想源于哲学和直觉的某种混合，并辅之以与同行的互动，也许还辅之以相当程度的空想。显然，这并不是基于任何实证的证据。

爱德华·阿瑟·米尔恩认识到均匀性在用公式描述宇宙学方面的力量，他将这一假定命名为“爱因斯坦的宇宙学原理”。米尔恩（1933）指出，独立于广义相对论，该原理与标准的局部物理学解释说明了宇宙学的核心特征——星系的退行速度 v 与星系距离 r 之间的关系：

其中 H ₀ 是比例常数。要证明这一点，将星系的速度写成矢量关系 ，然后星系 a 上的观测者就将看到星系 b 以一定速度移动。这表明，所有观测者都可以看到其他星系有着相同的退行模式，这是均匀性所要求的。

膨胀率 H ₀ 被称为哈勃常数。下标旨在表明 H ₀ 是宇宙当前膨胀率的量度。在不断演化的宇宙学中，膨胀率是时间的函数。等式（2.1）被称为红移—距离关系，其中，在退行速度远低于光速时红移才被如此定义。

红移—距离关系通常称为哈勃定律，但国际天文学联合会成员投票决定将其重命名为哈勃—勒梅特定律，以表彰勒梅特的预测（第3.1节进行了讨论）。也可以用其他人的名字来命名。维斯托·梅尔文·斯里弗的红移测量值和亨丽埃塔·莱维特的造父变星的周期—光度关系对哈勃（1929）的红移距离图至关重要；而米尔顿·赫马森在20世纪30年代的红移测量值对清晰有力地证明这种效应至关重要。

要以另一种方式了解米尔恩的想法，请考虑图2.1中三角形顶点处的三个星系。如果星系以均匀且各向同性的方式彼此远离，那么三角形的角度不变，每边的长度 i 增加相同的因数 。任何三角形都必须如此。也就是说， a ( t )是一个普适的膨胀因子。在 这个条件下，间隔 l 处任意两个星系之间的物理距离 l ( t )的变化率是：

点表示时间导数。我们看到公式（2.1）中的哈勃常数为：

这是在膨胀时间 t = t ₀ 的当前时期进行的评估。

星系速度与哈勃定律确定的该位置的平均值的偏离，被称为星系本动速度。本动速度通常可以归因于星系中不断增长的质量聚集的引力以及星系的密度，但爆炸产生的非引力作用可能也很重要。

在非相对论的退行速度下，宇宙学红移被定义为 z = v/c ，其中 c 是光速。这是一阶多普勒频移。哈勃距离与退行速度之间的关系外推至光速时得到的距离是哈勃长度： 。我们将从第3.2节开始，对于在这么远距离的星系，对公式（2.3）进行相对论修正的考虑。 PTcPtKyBj+8weRBFIKdlss66YVLR4FQTYZjw8VZzN0UeCaNEUwKebaTw1rmioqZN