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是否有无穷多个形如2 p -1的素数？
对每个素数 p ，人们记 M p =2 p -1，称为梅森数。如果2 p -1还是素数，则称之为梅森素数。关于梅森素数有两个基本问题，但也属于数论中的超级难题：
（1）什么样的素数 p 能给出梅森素数 M p ？
（2）梅森素数是无限多个吗？
这些问题迄今尚未完全解决。
梅森素数的研究，最早出现在古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中，该书第九章探讨了完全数与2 p -1形状的素数的关系（见问题006）。
1640年6月，费马在给梅森的一封信中，讨论了形如2
p
-1的数何时为素数。事实上，在17世纪，人们对寻找能给出无穷多素数的公式充满了热情。费马首先考虑了形如2
k
+1的数何时为素数。当
k
有一个奇素数因子
q
时，不难看出2
q
+1整除2
k
+1，但3显然也整除2
q
+1，表明2
k
+1不可能是素数。所以2
k
+1如果是素数，则
k
不能包含奇素数因子，只能是2的方幂，故可令
k
=2
n
，此时
恰为费马数
F
n
（见问题004）。接下来，费马又考虑了形如2
k
-1的数何时也是素数。当
k
是合数时，可令
k
=
st
，其中
s
，
t
都是大于1的正整数，则
显然不是素数。由此表明形如2 k -1的数如果是素数，则 k 必然也是素数。在数论中，人们习惯用 p 表示一个素数（prime），因此，在研究形如2 p -1的数何时为素数时，只需考虑 p 为素数的情形。
寻找梅森素数，始终能引起人们的好奇心和探索热情。在古希腊仅知道前4个梅森素数： M 2 ， M 3 ， M 5 ， M 7 。到15世纪才发现了第5个梅森素数 M 13 ，但未留下发现者的姓名。第6个和第7个梅森素数分别是 M 17 和 M 19 ，是意大利数学家卡塔尔迪在1588年找到的。
为了继续寻找下一个梅森素数，梅森在欧几里得和费马的研究成果上，对形如2 p -1的数做了大量的计算和验证。在1644年他猜测第8个到第11个梅森素数依次为
M 31 ， M 67 ， M 127 ， M 257 。
由于梅森和笛卡儿以及费马经常一起研究数学，热情地与其他科学家通信交流，分享最新的思想和成果，在学术界享有很高的声誉，所以人们最初对他的计算结果深信不疑。遗憾的是，梅森的这个断言是不完全正确的：不仅 M 67 和 M 257 都不是素数，而且还遗漏了更小的梅森素数。尽管梅森的计算包含着错误，但他对2 p -1形状的素数的研究，激发了数学家和广大数学爱好者巨大的探索热情，成为数学史上一道独特景观。数学界为了纪念梅森，就把这种形状的素数称为梅森素数，并记为 M p 。
事实上，第8个梅森素数确实是 M 31 ，这是欧拉在1772年才发现的；卢卡斯在1876年证明 M 127 也是素数，但现在知道这是第12个梅森素数；1883年人们发现了第9个梅森素数 M 61 ；在1911年和1914年又分别找到了第10个梅森素数 M 89 和第11个梅森素数 M 107 。至此，人们依靠手工计算发现了前12个梅森素数，汇总如下：
M 2 ， M 3 ， M 5 ， M 7 ， M 13 ， M 17 ， M 19 ， M 31 ， M 61 ， M 89 ， M 107 ， M 127 。
第12个梅森素数 M 127 ，有39位数，写下来就是
M 127 =170141183460469231731687303715884105727。
证明这个39位数是素数，其计算之艰辛，真是超乎想象。
进入20世纪后，随着计算机和互联网技术的迅猛发展，人们对搜寻新的梅森素数又燃起新的热情。1952年1月30日，在计算机的帮助下，人们终于找到了第13个梅森素数 M 521 和第14个梅森素数 M 607 。随着计算技术和程序设计的发展，越来越多的梅森素数被发现。截至2024年，最新发现的梅森素数为2 82589933 -1，这是在2018年发现的第51个梅森素数，长达24862048位数，如果把这个数按通常字体大小连续写下来，其长度将超过100千米！接下来第52个梅森素数 M p 将会被何时发现，又会被哪一个素数 p 提供？让我们拭目以待吧。
梅森素数为什么如此令人关注和着迷？原因是多方面的，至少包含以下几点：①梅森素数的研究加深了人们对素数的认识，丰富和发展了数论学科；②通过寻找新的梅森素数，人们不断地提高计算技术，改进算法；③梅森素数有很多应用，例如，在密码学中，梅森素数在RSA加密算法中发挥了重要作用；④最新发现的梅森素数也是目前所能找到的最大素数。尽管公元前300年前后欧几里得就证明了素数有无穷多个，但人们一直很好奇：到底是哪一个具体的数字，恰好是目前能够找到的最大素数。事实上，寻找新的梅森素数的历程，就等同于寻找最大素数的历程；⑤梅森素数激发了人类的科学探索精神，千百年来吸引着无数的数学家和数学爱好者，极大地推动了数学及互联网技术的发展。