下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
这是我国古代数学名著《孙子算经》下卷中的第26题，即著名的“物不知数”问题，通常也称为“孙子问题”。虽然《孙子算经》一书的作者与成书年代已难以精确考证，但其中的“物不知数”问题千百年来在数学界甚至在民间广泛流传，被国际数学界誉为中国剩余定理。该问题相当于说求一个正整数 x ，使得 x 被3去除余数为2，被5去除余数为3，而被7去除余数为2。从问题的类型上看，它属于初等数论中的一次同余方程组的求解问题。为此，先介绍同余的概念。
设
a
，
b
均为整数且
b
0，如果
a
是
b
的整数倍，即存在整数
m
使得
a
=
mb
，则称
b
整除
a
，也称
b
是
a
的一个因子。对任意整数
c
而言，如果
b
整除
a
-
c
，亦即
a
除以
b
所得的余数等于
c
除以
b
所得的余数，则称
a
和
c
模
b
同余，记为
a ≡ c （mod b ）
值得一提的是，同余的概念和符号是由被誉为“数学家之王”的德国数学家高斯在其24岁出版的划时代巨著《算术研究》中首先引进的。
使用同余的符号，“物不知数”问题就转化为下述同余方程组的求解问题：
不难看出，上述同余方程组的解并不唯一，因为如果 x 是一个解，则 x +3×5×7× k = x +105 k 也是该同余方程组的一个解，其中的 k 可以取任意整数。事实上，从3，5，7两两互素（指没有大于1的公因数）可知上述同余方程组的任意两个解相差一个105的倍数。所以，一旦我们求出最小正整数解 x 0 ，则每个解均可表为 x = x 0 +105 k 。
如何求出上述同余方程组的一个解呢？我们的祖先聪明地把问题转化为以下三个非常特殊的同余方程组的求解：
显然，如果求出了 a ， b ， c 的一组值，则2 a +3 b +2 c 就是原同余方程组的一个解，再把这一个解除以105，则相应的余数即为所求的最小正整数解。
先求 a ， b ， c 。因为 a 被5和7整除，故 a 为5×7=35的倍数，简单的计算可知当 a 取70时即满足 a ≡1（mod 3）。同理， b 既是3×7=21的倍数，又被5除余1，取 b =21即可。类似地， c 可取为15。所以2 a +3 b +2 c =2×70+3×21+2×15=233，除以105后得余数为23，这就是所求的最小正整数解。
由此不难看出，求解原同余方程组的关键是先从上述三个分别被3，5和7对应的特殊同余方程组依次求出 a =70， b =21和 c =15，然后再除以105得到余数即为最小正整数解。为了便于记忆，我国明代数学家程大位在其60岁时完成的数学杰作《算法统宗》一书里，把上述“物不知数”问题的解法编写成以下四句口诀：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。七子团圆整半月，除百零五便得知。”其中第一句暗示3对应的数为70；第二句指的是5对应的数为21；第三句里的整半月表示数15，暗含着7对应的数为15；至此就能得到同余方程组的一个解2×70+3×21+2×15=233；最后一句意为把所得到的一个解233除以105（即壹百零五），所得的余数23即为所求的最小正整数解。
上述“物不知数”问题的解法实际上也给出了求解一般同余方程组的方法。在初等数论书中提到的中国剩余定理为：设 m 1 ， m 2 ，…， m k 为两两互素的正整数， a 1 ， a 2 ，…， a k 为任意整数，则同余方程组
总有整数解，并且它的全部解可模仿上述方法得到。为了便于表述，对任意正整数
i
，
j
，介绍一个常用的函数
δ
ij
，称为克罗内克符号，它是由德国数学家克罗内克首先引入的。克罗内克符号的定义很简单：如果
i
=
j
，则
δ
ij
=1；而如果
i
j
，则
δ
ij
=0。使用该符号，即可给出上述一般同余方程组的求解过程，分以下两步完成：
（1）对每个1≤
i
≤
k
，先求出正整数
b
i
满足
b
i
≡
δ
ij
（mod
m
j
），即所求的
b
i
满足条件：
b
i
除以
m
i
余1，但被每个
m
j
（
j
i
）整除。其求法如下：
记
r
i
=
m
1
…
m
i
-1
m
i
+1
…
m
k
，根据条件
m
1
，
m
2
，…，
m
k
两两互素，可知
r
i
和
m
i
也互素，故存在整数
c
i
和
d
i
使得
r
i
c
i
+
m
i
d
i
=1。令
b
i
=
r
i
c
i
，则对每个
j
i
，相应的
m
j
显然整除
b
i
，并且
b
i
≡1（mod
m
i
）。由此表明
b
i
即为所求。
（2）对（1）中所求的
b
i
，令
，则
这说明 x 0 为上述同余方程组的一个解，从而所有的解可表示为
其中的 n 可以取遍所有整数。
最后，介绍一下在交换代数这门优美的学科中提及的中国剩余定理。假定读者已经学过近世代数，特别是了解交换环、理想以及素理想、环的直积等基本概念。粗略地讲，有单位元的交换环
R
是整数环
的推广，
R
中的理想
I
则是
中一个数
m
的所有倍数的集合
的一种模拟，两个整数互素的关系对应到两个理想
I
和
J
上即为
I
+
J
=
R
。总之，在整数环
中有关整除、同余、素数、互素、公因子和公倍数、最大公因子和最小公倍数等基本概念都可相应地推广到有单位元的交换环
R
中。受篇幅所限，就不仔细展开了，只给出下述中国剩余定理最一般化的推广形式：
设
R
为有单位元的交换环，
I
1
，
I
2
，…，
I
n
为环
R
的理想，并且当
i
j
时，
I
i
+
I
j
=
R
。则有典范的环同构
其中环同构由映射
给出。
读者也许感到这个中国剩余定理过于抽象，离原先的那个只涉及整除和余数的剩余定理相距甚远，但这就是数学的特点。为了看清一个具体数学问题的本质，数学家们往往把该问题所涉及的数学结构抽象出来，在最为一般的观点上寻求和发展解决该问题的普遍方法与技术。这样做的好处是：人们不仅能解决一大批同类的问题，而且更为重要的是能发现许多表面上完全不同的问题在结构上的相同或相似性，为相关理论的产生奠定了基础。