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每个大于1的正整数均可唯一地表为素数的乘积。
大数学家高斯曾说：“数学是科学的王后，而数论则是数学的王后。”这句话虽然流露出高斯对数论的过分偏爱，但也表明数论在数学家心目中的崇高地位。从古希腊的欧几里得开始，几千年来许多数学家都对数论产生过浓厚的兴趣，并进行了大量深入的研究。时至今日，尽管数学已经发展成为一门内容庞大、应用广泛的学科，但还有很多在叙述上简明易懂的关于正整数的问题未得到完全的解决，这真令人感到不可思议。特别是其中的一些数论问题（如哥德巴赫猜想）几乎是家喻户晓，几百年来它们像谜一样吸引着数学家以及无数的数学爱好者。
在正整数或正整数的理论中，有一类称为素数的数扮演着非常重要的角色。素数在正整数理论中的地位类似于元素在化学中或基本粒子在物理学中的地位。我们知道，素数是指那些大于1且除了1和它自身外再没有其他因子的正整数。前10个素数为
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
如果一个正整数具有除了自身和1以外的其他因子，则称为合数。这样，可以把所有的正整数分成三类：1，素数，合数。
素数的重要性首先表现在数的乘法分解方面。因为每个大于1的正整数 a ，如果本身不是素数，则存在不等于 a 和1的因子 b ，此时可令 a = bc ，其中 b ， c 都大于1。如果 b （或 c ）不是素数，则重复这种分解过程，又可分解出 b = b 1 b 2 （或 c = c 1 c 2 ），显然 a > b > b 1 >1（或 a > c > c 1 >1）。这个分解过程不能无限地重复下去，换句话说，有限步后就可以把 a 分解成一些素数的乘积。我们得到的结论是：每个大于1的正整数均可表示为若干素数的乘积。从这个意义上讲，素数是构成正整数的基本元素。因此，在正整数理论中遇到的许多命题大多能归结为有关素数的研究，也就不足为奇了。
算术基本定理的内容由两部分构成：①分解的存在性，指的是每个大于1的正整数均可分解成一些素数的乘积；②分解的唯一性，即如果不考虑诸素数的排列顺序，则把正整数分解成素数乘积的方式还是唯一的。例如，21的素数分解只有21=3×7和21=7×3，但本质上属于同一种分解。算术基本定理是整数理论中最为基本的一个命题，也是许多其他命题的逻辑支撑点和出发点。上面已经证明了分解的存在性部分，其唯一性部分看起来似乎是显而易见的，但要严格地证明它却绝非易事。虽然它的证明较为初等，却需要精细的推理过程，这充分反映了数学学科所特有的思维风格。
先介绍公元前300年的欧几里得在其巨著《几何原本》中所给的证明。下面只考虑正整数。如果
d
既是
a
的一个因子，又是
b
的一个因子，则称
d
为
a
和
b
的一个公因子。在
a
和
b
的所有公因子中的最大者称为最大公因子，记为（
a
，
b
）。欧几里得发明了一种“辗转相除法”，用来求两个正整数的最大公因子，从此导出了一个十分重要的结论：如果
d
是
a
和
b
的最大公因子，则存在整数
x
和
y
满足
d
=
ax
+
by
。这个结论从现代数学的观点也是非常基本的，如果读者熟悉近世代数，它相当于说全体整数构成的集合
不仅是一个环，而且是一个主理想整环。这里当然不会使用这个近代的结论，而是要从欧几里得发现的这个最大公因子的表示公式出发去证明素数的一个基本性质：设
p
为素数，如果
p
整除两个正整数
a
和
b
的乘积，则
p
必整除其一，即
p
整除
a
或者
p
整除
b
。
显然，如果 p 不整除 a ，则 p 和 a 的最大公因子不是 p ，但 p 为素数，表明 p 和 a 的最大公因子只能为1。根据上述欧几里得导出的结论，存在整数 x 和 y 使得1= px + ay 。两边用 b 去乘，有 b = bpx + bay 。因为等式右边的两项分别能被 p 整除，从而等式左边的 b 也能被 p 整除。由此即证所述结论。
有了以上的准备工作，就可以证明算术基本定理中的唯一性部分了。设大于1的正整数 n 有两种素数分解，分别为
n = p 1 p 2 … p r = q 1 q 2 … q s
接下来要证明的是 r = s ，且适当排列顺序后，可使每个 p i = q i 。事实上，反复应用上述关于素数的整除性质，从 p 1 整除 n = q 1 q 2 … q s 可知 p 1 整除某个 q j 。但 q j 也是素数，只有 p 1 = q j 。重新对诸 q i 的下标编号，不妨设 p 1 = q 1 。此时在 n 的两个素数分解式中消去 p 1 即得 p 2 p 3 … p r = q 2 q 3 … q s 。重复论证上述过程又得到 p 2 = q 2 。同理可知 p 3 = q 3 ， p 4 = q 4 ，…， p r = q s 。由此得出 r = s ，且 p 1 ， p 2 ，…， p r 恰为 q 1 ， q 2 ，…， q s 的一个排列，唯一性得证。
当然，不使用辗转相除法也能直接证明算术基本定理。下面再介绍一个具有现代数学风格的证明，它比欧几里得的上述证明既简短又巧妙。我们的目标仍然是证明算术基本定理中唯一性部分。假设存在一个正整数 n 能以两种不同的方式分解为素数的乘积，则不妨选取 n 是这类数中最小的一个。如果据此能得到一个矛盾，则表明这样的正整数并不存在，亦即每个正整数都能以唯一的方式表为素数之积，从而就反证了算术基本定理成立。现在令
为两种不同的素数分解，其中的 p i 和 q j 均为素数。经过适当的排列，不妨假设
显然 p 1 不能等于 q 1 ，否则的话，在等式（1）的两边同时约去第一个因子得到
这是一个比
n
小的正整数，而且从（1）为两种不同的素数分解可知（2）也如此，但这与
n
的最小选择相矛盾。所以
p
1
q
1
，不妨设
p
1
<
q
1
，此时令
n'
=
n
-（
p
1
q
2
q
3
…
q
s
），则
n'
为正整数。现在把等式（1）中
n
的两种表示法分别代入
n'
中得到
因为 n' 是比 n 小的正整数，根据 n 的选取可知 n' 具有唯一的素数分解。所以从式（3）推出 p 1 是 n' 的一个素因子，再由式（4）可知 p 1 是 q 1 - p 1 或者是 q 2 q 3 … q s 的素因子。注意到每个素数 q j 都比 p 1 大，这表明 p 1 只能是 q 1 - p 1 的素因子。于是存在正整数 m 使得 q 1 - p 1 = p 1 m ，但从此又可推出 p 1 整除 q 1 ，最后的这个矛盾就证明了算术基本定理的正确性。