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设 p 为素数，则 p 整除（ p -1）！+1。
威尔逊曾是剑桥大学的一名高才生，后来当了律师和法官，但他在数论中却作出了一个重要的发现。当他还是学生的时候，他阐述了一个至今仍以他的名字命名的定理：对任意素数 p ，均有 p 整除（ p -1）！+1；而且如果（ q -1）！+1能被 q 整除，则 q 必然也是素数。这是数论中最为基本且重要的定理之一，其意义在于给出了一个正整数为素数的充分必要条件，从而在理论上就完全解决了有关素数的判别问题。然而，威尔逊未能证明自己的这个定理，他只是猜想其正确性，而且就此事专门写信请教当时著名的英国数学家华林。有趣的是，华林本人也没能够证明威尔逊定理，他只是在自己1770年出版的《代数沉思录》中公布了这条定理。随后，在1773年，法国大数学家拉格朗日才首次给出了威尔逊定理的严格证明。
威尔逊并不是一个数学家，他对数学的贡献也仅限于此，但能以这样一个基本定理而流芳百世，确实令人羡慕和惊奇。实际上，威尔逊并不是第一个作出这一猜想的人，德国数学家莱布尼茨在1682年就已经发现了它。据说威尔逊还认为他的这个优美定理永远不会被证明，因为人类没有好的符号来处理素数。后来，当伟大数学家高斯听说了威尔逊的观点后，仅仅用了五分钟，就证明了威尔逊定理！为此，高斯批评威尔逊说：“他需要的是概念，而不是符号。”
下面使用同余的概念给出威尔逊定理的证明，读者将看到它是多么的简洁明快。
当 p =2时显然有（ p -1）！+1=2，表明 p =2时威尔逊定理成立。以下假设 p 为奇素数。证明的思想是把 p -3个数2，3，…， p -2两两配对，使得每一对数的乘积除以 p 余1（即模 p 余1）。为此，注意到 a 和 p 互素，故存在整数 m 和 n 使得 am + pn =1，即 am 除以 p 的余数为1。换句话说，同余方程
ax ≡1（mod p ）
在 a 和 p 互素的条件下总有解。如果该方程有两个解 x ， y 满足0≤ x ， y < p ，则 a （ x - y ）≡0（mod p ），亦即 p 整除 a （ x - y ）。同样由于 a 和 p 互素的缘故，可知 p 整除 x - y ，只有 x = y 。这说明上述同余方程具有唯一的满足0≤ x < p 的解，把这个解记为 a' 。这时 aa' ≡1（mod p ），互换 a 和 a' 的位置，根据对称性即知不仅 a 唯一地决定了 a' ，而且反过来 a' 也唯一地决定了 a ，即它们相互唯一确定。假如 a = a' ，则 a 2 ≡1（mod p ），即 p 整除 a 2 -1=（ a -1）（ a +1），从而 p 整除 a -1或者 a +1，只有 a =1或 p -1时成立。所以，当限制 a 的取值范围是2≤ a ≤ p -2，则每个这样的 a 对应的 a' 与 a 不相等，由此根据对称性又迫使 a' 的取值范围也只能是2≤ a' ≤ p -2。这样，当 a 遍历2，3，…， p -2时，把 a 和 a' 配成一对，从而把2，3，…， p -2这 p -3个数两两分组，使得每一组数的乘积恰好除 p 余1，因而
2·3·…·（ p -2）≡1（mod p ）。
由此得出
（ p -1）！=1·2·3·…·（ p -2）（ p -1）≡1·1·（ p -1）≡-1（mod p ），
这等价于说 p 整除（ p -1）！+1。
反过来，如果正整数 q 能整除（ q -1）！+1，将证明 q 必然也是素数。事实上，从该整除关系不难看出 q 与（ q -1）！没有大于1的公因子，从而 q 与比它小的每个正整数都互素，由此推出 q 本身没有除了1和 q 的因子，这相当于说 q 为素数。至此就完成了威尔逊定理的全部证明。
虽然威尔逊定理从理论上给出了判别素数的条件，但却难以实际应用，因为当 n 较大时，阶乘（ n -1）！更是大得惊人。如何有效地判别一个数是否为素数，至今仍然是数论中非常重要的问题。