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证明方程 x n + y n = z n （ n >2）没有正整数解。
在问题012中已经介绍了费马大定理产生的历史背景，并且提到了欧拉在1770年证明了 x 3 + y 3 = z 3 没有正整数解。注意到，如果 x mn + y mn = z mn 有正整数解 a ， b ， c ，则（ a m ） n +（ b m ） n =（ c m ） n ，这表明 a m ， b m ， c m 也是方程 x n + y n = z n 的一组正整数解。所以，如果能证明 x n + y n = z n 没有正整数解，则对 n 的每个倍数 mn 而言，方程 x mn + y mn = z mn 也不存在正整数解。因为费马本人证明了 x 4 + y 4 = z 4 没有正整数解，从而当 n 是4的倍数时 x n + y n = z n 也没有正整数解。显然每个大于2的正整数 n 要么是4的倍数，要么是某个奇素数的倍数。因此，为了证明费马大定理，只需对每个奇素数 p =3，5，7，…，证明 x p + y p = z p 没有正整数解。
过了50多年后，在1825年勒让德和狄利克雷才证明了 p =5的情形。值得注意的是，高斯在试图证明 p =7的情形时遭遇失败，或许这多少有点伤害了这位“数学家之王”的自尊心，他从此放弃了证明费马大定理的努力，并且在1816年给朋友的一封信中写道：“我的确承认，费马大定理作为一个孤立的命题对我没有多少兴趣，因为可以容易地提出许多那样的命题，人们既不能证明它，也不能否定它。” n =7情形的证明一直到1839年才由法国数学家拉梅完成。当然，像这样对每个素数 p 来逐一证明费马大定理并不现实，况且所遇到的复杂性和困难程度足以令人望而生畏。所以，多少年来人们一直在寻找某种普遍性的方法或技术能够证明费马大定理。
1811年，法国巴黎科学院首次为证明费马大定理设立大奖，奖项包括一枚金质奖章以及3000法郎的巨额奖金。这不仅使得费马大定理变得家喻户晓，而且在公众心目中掀起了一阵数学狂热，以至于许多数学爱好者也纷纷加入攻克费马大定理的队伍中。
令人惊奇的是，在攻克费马大定理的征途中，不只是业余数学家经常会犯一些逻辑上的错误，就连柯西和拉梅这样的数学大师也会给出有致命缺陷的数学证明。柯西是19世纪可谓举足轻重的大数学家，他完成了微积分的严密化工程，并且在复变函数理论中卓有建树。在1847年3月1日的法国巴黎科学院的会议上，拉梅宣布自己证明了费马大定理。他粗略地叙述了自己的方法并预言完整的证明过程将在以后几个星期内给出。有趣的是，拉梅刚一离开讲台，柯西立刻就登台发言，他声称自己一直在用与拉梅类似的方法研究费马大定理，很快也会发表一个完整的证明。两位数学家之间出现了优先权的竞争，散会后他们都争分夺秒地整理自己的研究成果，谁都想先拔头筹。大家都非常兴奋，不断议论和猜测两人当中究竟谁会首先赢得这份旷世殊荣。
然而，刘维尔在5月24日宣读了德国数学家库默的一封来信，让听众大为震惊，这封信不仅使得拉梅和柯西的证明变得毫无意义，也结束了两人之间无谓的竞争。原来，库默通过阅读法国科学院的数学通报，已经从拉梅和柯西的证明思路中发现了致命的错误，而他本人早在1843年就犯过同样的错误。事实上，对任意奇素数 p ，为了证明方程 x p + y p = z p 没有正整数解，拉梅和柯西所用的方法都和库默在1843年的想法不谋而合：首先，把费马方程分解为
x p + y p =（ x + y ）（ x + ζy ）…（ x + ζ p -1 y ）= z p
其中 ζ =e 2 π i/ p 为 p 次本原单位根；其次，考虑以下特殊形式的复数
a 0 + a 1 ζ +…+ a p -2 ζ p -2
其中的
a
i
均为整数，这种特殊的复数现在称为“
p
次分圆整数”，全体
p
次分圆整数的集合记为
。读者不难看出分圆整数包含了通常的整数，而且两个分圆整数的相加、相减以及相乘仍为分圆整数。类似于整数集合
，也可在分圆整数集合
中建立相应的算术理论，定义诸如整除、因子、倍数、单位（即1的所有因子）以及不可约元（不能分解为两个非单位分圆整数之积，视为通常素数概念的推广）等基本概念。接下来，库默想当然地认为在分圆整数集合
]中也有所谓的唯一因子分解性质：每个非零非单位的分圆整数均可唯一地分解成有限个不可约元的乘积。为了证明费马大定理，库默被迫去考虑比整数集合
更大的分圆整数集合
。如果
x
p
+
y
p
=
z
p
确有非零的整数解，不妨设
x
和
y
互素，此时可证
x
+
y
，
x
+
ζy
，…，
x
+
ζ
p
-1
y
也两两互素。既然它们的乘积是一个
p
次幂，则每一项也应该是某个单位
ε
i
与某个分圆整数
z
i
的
p
次幂之积，故可令
。这是一个相当强的约束条件，沿此路线推理下去，很快就能得出一个矛盾，表明原方程
x
p
+
y
p
=
z
p
实际上并没有非零的整数解，费马大定理由此得证。
1843年，当库默把证明费马大定理的手稿寄给狄利克雷时，后者发现在证明中有一个错误的假设，这也正是拉梅和柯西在1847年所犯的同样错误。原来，在大多数所谓的复整数集合中，类似的唯一因子分解性质并不成立。狄利克雷举了一个典型的反例：考虑所有形如
的复整数构成的集合
，这里
a
，
b
均为普通的整数。显然该集合对加、减、乘三种运算封闭，但在集合
中，数6有以下两种本质上不同的分解：
容易验证2，3，
，
都是
中不可分解的元素，这表明唯一因子分解不成立。1844年，库默经过仔细的研究后，不仅意识到狄利克雷批评的正确性，而且还发现有许多不小于23的素数
p
，使得
p
次分圆整数集合
不具有唯一因子分解性质。换句话说，对于这些破坏唯一因子分解性质的素数
p
而言，关于相应方程
x
p
+
y
p
=
z
p
没有非零整数解的断言并没有真正得到证明，这当然是令人沮丧的。值得一提的是，直到1971年，美国数学家蒙哥马利才证明了
具有唯一因子分解性质当且仅当
p
≤19，这更进一步说明了使用唯一因子分解的方法一般性地证明费马大定理是不可能的。
令人称道的是，库默虽然遭遇如此重大的挫败，但他却毫不气馁。通过对唯一因子分解性质的仔细分析，1847年，库默独辟蹊径，以其非凡的想象力，发明了一种“理想数”。借助于这种神秘的理想数，库默终于证明了在分圆整数集合中，尽管分圆整数并不具有唯一因子分解性质，但关于理想数的唯一因子分解性质却普遍成立。利用他发明的理想数概念，库默证明了第一个具有普遍性的结果：如果 p 为正规素数，则 x p + y p = z p 没有非零的整数解。正规素数的定义稍微复杂些，我们不想给出它的严格定义，作为例子，读者只需知道100以内的素数除了37，59和67外都是正规素数。对比一下以往人们在证明指数为3，5，7的费马大定理时所遇到的艰难困苦，即可说明库默的成果有多么的伟大。在历史上，这也是证明费马大定理所取得的第一个重大突破。
终其一生，库默也没完全证明费马大定理，因为非正规素数有无穷多个，至今也无法完全征服它们。但库默为证明费马大定理而发明的“理想数”理论却是19世纪数学中最为辉煌的创造之一。后来，经过戴德金的加工和整理，理想数变为现代环论中的理想概念，并且成为代数数论、代数几何乃至整个现代数学中最为基本的概念之一。
令人欣慰的是，这个困惑数学家350多年的费马大定理1995年由英国数学家怀尔斯使用当时最先进的椭圆曲线的算术理论给出了完整的证明，这无疑是20世纪数学领域最为杰出的成果之一，怀尔斯也因此在1996年3月获得了由以色列总统颁发的沃尔夫数学奖，并于1998年荣获菲尔兹奖银质奖章，2016年获阿贝尔奖。