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求方程 x 2 + y 2 = z 2 的全部正整数解。
勾股定理是在中学就已经学过的一个平面几何的基本定理，距今已有几千年的历史了。该定理断言在每个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。在我国古代数学名著《周髀算经》里，曾记载了数学家商高回答周公提出的一些有关数的问题，从中可以看出商高已经知晓了勾股定理的内容，所以勾股定理在我国学术界又称为商高定理。另外，古代的巴比伦人、埃及人和印度人也都掌握了这个定理的一些特殊情况，但只有古希腊的毕达哥拉斯学派在公元前500年前后才使用比例和相似三角形理论给出了一般形式的证明，国外数学界也因此称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
勾股定理的得名是这样的：在我国古代把直角三角形称为“勾股形”，把直角三角形中较小的直角边称为“勾”，另外一个直角边称为“股”，剩下的斜边称为“弦”。古人还总结出了“勾三股四弦五”的说法，指的是边长分别为3，4，5的三角形不仅是直角三角形，而且三条边的长度还满足关系式3 2 +4 2 =5 2 。
目前发现的有关勾股定理的证明大约有400多种，大多初等且巧妙。在此不介绍勾股定理的证明，而是详细探讨与它相关的一个基本问题：除上述的3，4，5以外，还有哪些正整数 x ， y ， z 也能作为直角三角形的三条边，即满足 x 2 + y 2 = z 2 呢？换句话说，就是求出不定方程 x 2 + y 2 = z 2 的全部正整数解。在历史上这是一个相当有名的问题。事实上，费马正是由于对该问题做了深入思考后，提出了著名的费马大定理（见问题013）。300多年来，这一大定理吸引了无数的数学家为之呕心沥血，通过对它的研究不仅丰富了代数数论的内容，而且极大地推动了代数数论的发展。
下面给出不定方程 x 2 + y 2 = z 2 的全部正整数解，先作两点观察：
（1）设
x
和
y
的最大公因子为
d
，则可令
x
=
dx
0
和
y
=
dy
0
，此时
x
0
和
y
0
的最大公因子为1，亦即
x
0
和
y
0
互素，所求方程变为
。因为两边均为正整数，故得
d
2
整除
z
2
，等价于说
d
整除
z
。这表明
d
是
z
的一个因子，又可令
z
=
dz
0
，从而
。由此可知，
x
2
+
y
2
=
z
2
的全部正整数解（
x
，
y
，
z
）形如（
dx
0
，
dy
0
，
dz
0
），其中
x
0
和
y
0
互素。所以，一旦求出方程
x
2
+
y
2
=
z
2
的满足
x
和
y
互素的所有正整数解，则扩大任意一个正整数倍数后即得该方程的全部正整数解。以下不妨假设
x
和
y
互素。
（2）在假定 x 和 y 互素的情形下， x 和 y 不能都是偶数，否则2即为它们的一个公因子。注意到每个奇数可表为2 k +1，而（2 k +1） 2 =4 k 2 +4 k +1，表明奇数的平方总是除以4余1。如果 x 和 y 均为奇数，则 z 2 = x 2 + y 2 除以4后的余数为2，但此时的 z 必为偶数，而每个偶数的平方都是4的倍数，此矛盾表明 x 和 y 也不能都是奇数。所以， x 和 y 只能是一个奇数和一个偶数，以下不妨设 x 为偶数而 y 为奇数。
总之，在求不定方程 x 2 + y 2 = z 2 的全部正整数解时，做了以上两个简化：既要求 x 和 y 互素，又要求 x 是偶数而 y 是奇数。显然 z 也只能是奇数，故 z - y 和 z + y 都是偶数。设 z + y =2 u ， z - y =2 v ，则 y = u - v ，以及 z = u + v 。由此表明 u 和 v 也只能是一个奇数和一个偶数，并且 y 和 z 的最大公因子等于 u 和 v 的最大公因子。再从 x 和 y 互素可知 y 和 z 也互素，从而 u 和 v 也互素。又
可见
u
和
v
的乘积
uv
为平方数，只有
u
和
v
本身都是平方数。令
u
=
a
2
，
v
=
b
2
，则
a
和
b
也是互素的正整数，一个为奇数而另一个为偶数，且从
u
>
v
可知
a
>
b
。最后，从
解出
x
=2
ab
，以及
y
=
u
-
v
=
a
2
-
b
2
，
z
=
u
+
v
=
a
2
+
b
2
。
反之，对任意两个正整数 a 和 b ，如果满足三个条件： a 和 b 中一个为奇数而另一个为偶数， a 和 b 的最大公因子为1，并且 a > b ，则不难验证2 ab 和 a 2 - b 2 也互素。事实上，假设 k 为2 ab 和 a 2 - b 2 的最大公因子，因为（2 ab ） 2 +（ a 2 - b 2 ） 2 =（ a 2 + b 2 ） 2 ，所以 k 整除 a 2 + b 2 ，从而 k 也整除（ a 2 - b 2 ）+（ a 2 + b 2 ）=2 a 2 以及（ a 2 + b 2 ）-（ a 2 - b 2 ）=2 b 2 。注意到 a 和 b 中一个为奇数而另一个为偶数，表明 k 为奇数，所以 k 同时整除 a 2 和 b 2 。再由假设 a 和 b 互素可知 a 2 和 b 2 也互素，只有 k =1，可见2 ab 和 a 2 - b 2 的确是两个互素的正整数。
至此，在 x 和 y 互素且 x 为偶数而 y 为奇数的条件下，求出方程 x 2 + y 2 = z 2 的全部正整数解为
x =2 ab ， y = a 2 - b 2 ， z = a 2 + b 2 。
其中 a ， b 为互素的正整数，一个为奇数而另一个为偶数，且 a > b 。
因为在 x 和 y 互素时，已经知道 x 和 y 必然是一个为奇数而另一个为偶数，所以当 x 为奇数而 y 为偶数时，根据对称性可知方程 x 2 + y 2 = z 2 的全部正整数解为
其中 a ， b 为互素的正整数，一个为奇数而另一个为偶数，并且 a > b 。
最后，把上述讨论的结果总结如下：
不定方程 x 2 + y 2 = z 2 的全部正整数解为
x = k （2 ab ）， y = k （ a 2 - b 2 ）， z = k （ a 2 + b 2 ），
或者
x = k （ a 2 - b 2 ）， y = k （2 ab ）， z = k （ a 2 + b 2 ）。
其中 k ， a ， b 为任意正整数，但要求 a 和 b 互素， a > b 并且 a 和 b 一个为奇数而另一个为偶数。
有了以上通解公式，就可以得到 x 2 + y 2 = z 2 的许多具体的解了。
取 k =1， a =2， b =1代入*式即得一组最小解 x =4， y =3， z =5或者 x =3， y =4， z =5。
再取 k =1， a =3， b =2代入*式又得到 x =12， y =5， z =13或者 x =5， y =12， z =13。
当然，随着 k ， a ， b 的不同选取，可以得到不定方程 x 2 + y 2 = z 2 无穷多组不同的解。