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是否有无穷多对亲和数？
亲和数（amicable numbers），又称友好数、相亲数，指的是这样的一对正整数 a 和 b ，其中 a 的所有真因子的和等于 b ，同时 b 的所有真因子的和等于 a 。
第一对亲和数是220和284，这也是最小的一对亲和数，是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的。由于220=2 2 ×5×11，其全部真因子为1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110，相加正好等于284；而284=2 2 ×71，全部真因子为1，2，4，71，142，加起来恰为220。
关于“亲和数”这个名称，据传是毕达哥拉斯在解答弟子的问题时提到的。毕达哥拉斯认为“万物皆数”，有一个弟子请教道：“我结交朋友时，也存在数的作用吗？”毕达哥拉斯回答说：“朋友是你灵魂的倩影，要像220和284这两个数一样亲密。”接着又说：“什么叫朋友？就像这两个数，一个是你，另一个是我。”后来，他的弟子们就宣传说：正如人与人之间讲友谊，数和数之间也有“相亲相爱”。从此，人们就把220和284叫作“亲和数”，也称为“友好数”或“相亲数”。
令人惊奇的是，看起来如此美妙的亲和数，在随后两千多年间竟然一直没有发现第二对亲和数。有人甚至怀疑220和284是唯一的一对亲和数，果真如此的话，那亲和数就太稀缺了。
直到1636年，费马找到了新的亲和数：17296和18416。两年后笛卡儿给出了第三对亲和数：9363584和9437056。大数学家欧拉对亲和数做了仔细的计算，在1747—1750年，总共给出了60对亲和数。例如，2620和2924，5020和5564，6232和6368，等等。出乎预料的是，欧拉遗漏了一对较小的亲和数：1184和1210，这是1867年被一位16岁的意大利少年帕格尼尼发现的。
借助于计算机和互联网技术，人们目前已经发现了12000000多对亲和数。把亲和数中的较小数，按从小到大排序，则前10个亲和数列举如下：
（1）220和284，
（2）1184和1210，
（3）2620和2924，
（4）5020和5564，
（5）6232和6368，
（6）10744和10856，
（7）12285和14595，
（8）17296和18416，
（9）63020和76084，
（10）66928和66992。
仔细观察这些已知的亲和数，有两个一直令人感到困惑的问题：
（1）是否有无穷多对亲和数？
（2）亲和数中的两个数，是否总是一对奇数或一对偶数，而不会是一个奇数和一个偶数？
在历史上，寻找亲和数是一个异常艰辛的过程，人们至今尚未找到一般性的方法。虽然猜测和构造了几个数学公式，期望能得到新的亲和数，但都效果不大。值得一提的是，欧拉提出的亲和数计算公式：如果 m > n 均为正整数，使得下述三个数都是素数：
则2 m pq 和2 m r 就是一对亲和数。遗憾的是，使用这个欧拉公式，总共就找到了5对亲和数，相应参数 m 和 n 的取值为
类似欧几里得给出的偶完全数公式（见问题006），人们自然也期望找到一个简明而有效的数学公式，能给出更多的亲和数，从而揭示出亲和数的很多奥秘。但这样的一个美好的亲和数公式，是否真的存在呢？