矢量是什么最新章节_罗宾·阿里安霍德著

符号化思考的威力

因式分解法现在已成为一种基本方法，但400年前它是一个巨大的突破。哈里奥特并不经常使用它，它更全面、更一般的含义（代数基本定理）还要再过两个世纪才会得到严格证明。所以，跟韦达和卡尔达诺一样，哈里奥特还为解决各种类型的二次、三次和四次方程设计了一长串算法。但是，他清楚地认识到代数符号的价值。“当我们的归约法可以直观地展示所有根（或解）时，为什么还需要冗长的规则呢？”他说（即使是韦达的方法也很烦琐），“这种方法不仅适用于这种类型的方程，也适用于其他情况。” ^[21]

他强调的问题是，在推广时用符号比用文字容易得多。当你能推广时，也就是当你能看到适用于普遍性问题的通用模式时，你就可以在科学、技术和数学上取得非凡的进步。比如，麦克斯韦之所以能证明光的电磁波本质，并预言无线电波的存在，是因为他通过对电磁学的数学分析得到了一类方程，它们可以用来描述拨动吉他或小提琴弦时产生的波的模式。诺特巧妙地推广了对称的数学模式与物理量（如能量和动量）守恒之间的关系。

稍后我们将继续探讨这类例子。与此同时，研究哈里奥特的学者穆里尔·塞尔特曼用简洁的语言总结了哈里奥特思想的重要性和代数符号的力量：

符号化与数学思维过程之间存在一种相互关系，其中哈里奥特的技巧和符号化思维的影响巨大。这些直观地指导你如何去做，以一种全新的方式，让数学变得有路可循……可视化是显而易见的，并且极其重要。现在，你可以像操作无法可视化的概念一样操作符号，而符号只是这一概念的体现。 ^[22]

这引出了我要讨论的最终话题。汉密尔顿的四元数没有传统的几何相似物，而且对大多数人来说，将爱因斯坦的四维时空可视化是不可能的（更不用说十维弦理论了）。但是，用于描述它们的数学符号方程有自己的可见性。它们可操作，就像四维时空“确实”真的存在一样，因为从代数的角度说， x ⁴ 就像“平方”（ x ² ）和“立方”（ x ³ ）一样有效。而且，如果说到坐标和矢量，则( a, b, c, d ) 和( a, b, c )是同一类事物。

随着代数符号的兴起，出现了一种新的抽象思维，它为微积分的发展铺平了道路，并最终发展为矢量分析和张量微积分。这种奇妙的语言让数学家能解决大量复杂的新问题，这些问题的解将为我们带来新技术和认识物理现实的新方式。因此，下一章将讲述有关微积分的非凡故事。

[1] 汉密尔顿在他的《四元数讲义》的前言中说，他之所以找到了四元数，是因为他想要“将计算与几何联系起来”，并将这些计算“从平面转移到空间中”。后来他证明了如何进行三维旋转，详见 Lectures on Quaternions (Dublin: Hodges and Smith,London: Whittaker, and Cambridge: Macmillan, 1853), 269 (art. 282)。

[2] 梅拉妮·贝利（“Alice's Adventures in Algebra”）指出的这一点以及其他例子都证明卡罗尔在取笑汉密尔顿。但另一种可能是，卡罗尔只是在区分逻辑规则与汉密尔顿的代数规则。

[3] 汉密尔顿的电路类比来自他给他儿子阿奇博尔德写的一封信，被引用于Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967), 29–30。

[4] 当访问都柏林圣三一学院的老图书馆时，阿姆斯特朗在汉密尔顿的一座雕像前停了下来，向他的导游解释了四元数是如何帮助宇宙飞船导航的: Estelle Gittins, July 19, 2019, https://www.tcd .ie/library/manuscripts/blog/tag/moon-landing/。

[5] 我改编了可能源自毕达哥拉斯的一张图，该图来自T. L. Heath, Translation of Euclid's Elements (Cambridge: Cambridge University Press, 1925) ，再次发表于John Stillwell, Mathematics and Its History (New York: Springer-Verlag, 1989), 7。有关欧几里得更复杂的证明，详见Carl Boyer, A History of Mathematics , rev. Uta Merzbach (New York: John Wiley and Sons, 1991), 108。

[6] 不同的版本可以参阅以下来源：Library of Congress, https://www .loc.gov/item/2021666184/。

[7] 现代数学家通常更喜欢将i定义为方程 x ² +1=0的主解，而不是指定它为 p027-1 ；换言之，i通常是以其平方i ² =–1定义的，而不是作为一个平方根定义的。这是因为后者会导致以下矛盾：

如果取结果中的+1，则会得到–1=1，这当然是错误的！

[8] Brian E. Blank, “Book Review: An Imaginary Tale by Paul Nahin,” Notices of the AMS (November 1999): 1233.

[9] Al-Khwārizmī quoted in Boyer, History of Mathematics , 229; his geometrical way of completing the square, 231. Translation of Al-jabr ..., and geometric example: Raymond Flood and Robin Wilson, The Great Mathematicians (London: Arcturus, 2011), 46–47.

[10] 有关哈里奥特不平凡一生及其工作的进一步材料，参见 Thomas Harriot: A Life in Science (New York: Oxford University Press, 2019), 以及书中的参考资料。请注意，他死后出版的著作《使用分析学》是由他的朋友们整理汇编的，但显然他们并没有他本人一样优秀。而他的论文要比他们出版的这本书更精彩，其中包括了虚数的使用。

[11] 有关代数符号的迷人演化历史，参见Joseph Mazur, Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2014)。

[12] 除了关于狭义相对论和 E = mc ² 的论文，爱因斯坦在1905年还发表了另外两篇有关布朗运动和分子大小的重要论文，以及一篇有关光的量子理论的开创性论文。

[13] 这一问题来自CBS 43泥板，为便于说明问题，我将问题的右边改为21，而泥板上的数字是41。泥板上的符号并不十分清楚，即使能够破译，也无法得到当时使用的简单整数解或两位数解（60进制系统）。

[14] Canals, etc .: Robert Middeke-Conlin, “The Mathematics of Canal Construction in the Kingdoms of Larsa and Babyon,” Water History 12 (2020): 105–28.

[15] 注意，早期的数学家（包括12世纪初的传奇波斯诗人、数学家奥马尔·海亚姆）已经发现了利用两条相交曲线解一些有正根的三次方程的纯几何方法: Boyer, History of Mathematics , 241; Flood and Wilson, The Great Mathematicians , 49。

[16] 卡尔达诺求解方程 x ³ = cx + d 的基本方法是：选择新变量 u 、 v ，并令 x = u + v, uv = c /3。将以上两式代入方程，则有 u ³ + v ³ = d ；通过 uv = c /3消去 v ，则得到一个以 u ³ 为新未知数的二次方程，可以用二次方程的公式求解。将 u ³ 的解带入方程 u ³ + v ³ = d ，求得 v ³ 。取 u ³ 与 v ³ 的立方根，求出 u 、 v ，从而得出 x = u + v 。这是一种很有创意的解法，而且没有使用现代符号，更容易记录思维过程。我给出的例子、 x ³ =6 x +40、卡尔达诺的算法及他的几何配立方，都出现在《大术》（ Ars Magna ）的第12章，重新发表于R. Laubenbacher and D. Pengelley, “Algebra: The Search for an Elusive Formula,”in Mathematical Expeditions, Undergraduate Texts in Mathematics (New York: Springer,1999), 230; https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0523-4_5。

[17] 比如，描述了光子、电子和其他亚原子粒子这类基本粒子的动力学的薛定谔方程中含有i。使用复数形式也让人们更容易从数学上处理电磁波，因此，所有现代科技背后都有i的存在。

[18] Jacqueline Stedall, “Rob'd of Glories: The Posthumous Misfortunes of Thomas Harriot and His Algebra,” Archive for History of Exact Sciences 54, no. 6 ( June 2000): 490.伟大的数学家拉格朗日最早发现了这一点，见Seltman, “Harriot's Algebra: Reputation and Reality,” in Thomas Harriot, vol. 1, An Elizabethan Man of Science , ed. Robert Fox(Aldershot: Ashgate, 2000), 185。

[19] 一个二次方程有2个解，一个四次方程有4个解，以此类推。日耳曼数学家彼得·罗特（Peter Roth）也在几乎同一时间指出了这种方程的次数与解数量之间的联系（1608， Arithmetica Philosphica ），但他没有用符号写下方程，也没有探讨复数解。对于代数基本定理的严格证明，是在200年后由哈里奥特的因式构造给出的，尽管哈里奥特本人并没有这样说。他使用因子和符号得到复数解的一个例子，参见British Library Manuscript 6783, fols. 157, 156。

[20] 按照欧拉的方法或图3–4、图3–6及第3章的有关讨论，你可以将一个复数 a +i b 写成 r (cos θ +i sin θ )= r e ^iθ 的形式，其中 p328-1 ， θ 可以通过cos ^–1 和sin ^–1 函数求得。根据棣莫弗定理（或指数法则），这个数字的立方根为 p328-4 ，当 k 分别等于0、1、2时，可以得到3个不同的根。将它们应用于 p328-2 ，你就可以得到卡尔达诺方程的三个解，即 p328-3 。这种做法有些啰唆，但所有步骤都为高中或大学一年级的数学水平。

[21] 哈里奥特的引言: British Library Additional Manuscript 6783 fol. 186。亦可参阅Jacqueline Stedall, “Notes Made by Thomas Harriot on the Treatises of François Viète,” Archive for Exact Sciences 62, no. 2 (March 2008): 179–200。

[22] 塞尔特曼的引言见“Harriot's Algebra,” in Thomas Harriot , vol. 1, An Elizabethan Man of Science , ed. Robert Fox (Aldershot: Ashgate, 2000), 184。就哈里奥特对于复数解与负数解的使用，塞尔特曼分析了哈里奥特的手稿相较于他去世后出版的《使用分析学》（ Artis Analyticae Praxis ）的优点。