一场数学决斗，一个棘手的方程，一个虚数

卡尔达诺不仅是一名才华横溢的数学家，他还是医生、占星家、赌徒、某种意义上的哲学家和神秘主义者，他相信自己的最妙想法来自夜间拜访他的神灵。然而，在求解三次方程的问题上，他的灵感来自他的意大利同胞尼科洛·塔尔塔里亚，而不是他那忠诚的神灵。卡尔达诺听说塔尔塔里亚已经解决了这个问题，他兴致勃勃地去纠缠对方，想弄清楚塔尔塔里亚用的是什么方法。为此，卡尔达诺甚至动用自己的关系，帮助经济拮据的塔尔塔里亚结识有影响力的人，解决他研究弹道学等课题的费用问题。塔尔塔里亚最终妥协了，条件是卡尔达诺要保守秘密；塔尔塔里亚自然希望由他本人来发表结果，最好可以把它交给未来的资助人。

几年后，塔尔塔里亚仍然对他的解法秘而不宣，但卡尔达诺发现西皮奥内·德尔·费罗也找到了解法，甚至比塔尔塔里亚还早。所以，一直在寻找公布三次方程解法机会的卡尔达诺觉得，他可以违背对塔尔塔里亚的承诺并发表这种解法了。不过，他在出版自己的著作时充分肯定了另外两位学者的贡献，并在解决更广泛、更一般的方程方面超越了他们。塔尔塔里亚对此感到非常愤怒，甚至向卡尔达诺发出了公开决斗的邀请；不是用剑，而是进行一场解题竞赛。卡尔达诺谨慎地拒绝了，因为在文艺复兴时期，人们很容易因此获得或失去声誉和工作。但与此同时，塔尔塔里亚接受了德尔·费罗的学生安东尼奥·菲奥发出的挑战，后者知道他老师的三次方程解法。最终，塔尔塔里亚赢得了那场比赛。

在他的书中，卡尔达诺用一页巧妙的几何类比解释了他的一般算法，并且给出了具体的说明性例子。他是如此解释方程 x ³ =6 x +40的解法的（请你坚持读下去，即使只是粗略地浏览，因为最后一行的表达形式与虚数和矢量的故事有关）：“取 x 的系数的1/3，即2，求立方，得到8；用常数的一半（即20）的平方400减去此8，得到392；20与392的平方根之和是 ，20与392的平方根之差是 ；（ ）与（ ）的立方根之和，即 ，就是 x 的值。”哇！他竟然想出了这么复杂的解法，实在太有耐心了。 ^[16]

无论从矢量的故事还是数学发展的角度来看，当这类解中根号下的数字是负数时，都会出现有趣的情况。具体来说就是，人们得到了一个像 这样的虚数。

美索不达米亚人忽略了二次方程的负数解和虚数解，因为这与他们试图解决的实际问题无关，毕竟田地和运河的尺寸不会是负数或虚数。同样，从希腊人到花剌子米和图西再到卡尔达诺，他们都不得不与这些“不可能”的数字做斗争。卡尔达诺研究方程解法的目的仅仅是挑战自己的智力，而现在他被这样一个事实难住了：如果把求解 x ³ =6 x +40的方法用于 x ³ =15 x +4，则 x 的值变成了：

卡尔达诺由此得出结论：这样的解看似合理，但其实是错的，“它尽管看上去很精妙，却毫无用处”，因为除了不受欢迎的 ，他已经知道了 x =4。他之所以知道正确答案，是因为数学家总是会通过猜解来理解问题，他也是这样。当没有已知的算法可用于求解问题时，猜解的方法就显得特别有用，古代代数就是以这种方式开始的。对于卡尔达诺的方程 x ³ =15 x +4，你可以先猜测一个简单的可能值，比如 x =3，将其代入后比较方程两边，你发现3太小了，接下来再试试 x =4。这次你的尝试直接奏效，但有时你也需要尝试中间值。虽然数学家可以通过算法和计算机来更有效、更全面地尝试和猜测，但他们仍然会通过“数值方法”求解困难的问题。

15年后，即1560年前后，另一位杰出的早期现代意大利代数学家拉斐尔·邦贝利再次审视了卡尔达诺面临的难题。既然方程的解是 x =4，那么它与 又有何关系？经过深思熟虑，邦贝利突然产生了一个“疯狂的想法”：是否可以这样分解 ，即令其等于 ，从而得到 ？然后，能否找到一个“复数”，即一个实数和虚数的混合体，其立方是 ？令人惊讶的是，在以百折不挠的耐心反复试错之后，他发现 的一个解，只要展开 即可证实。同样，他发现 也是 的解。就像卡尔达诺的求解过程一样，将它们加在一起，可以得到

最终，他得到了 x =4。谜团解开了！

然而，这仅仅解决了一个特例，而且因为邦贝利事先知道 x =4，这使他对如何操控虚数有了“先见之明”。但他没有一般的算法，也没有以现代符号形式写下方程。他和卡尔达诺一样对 嗤之以鼻，称其为“诡辩术”。但是，当他的书《代数学》于16世纪70年代出版时，他确实让数学家开始重新审视这个奇怪的数字。他或当时的其他人都不知道它的未来应用价值将何等巨大，无论是在汉密尔顿的四元数和矢量中，还是在工程、计算和量子理论等领域内。 ^[17]

至于三次方程，哈里奥特是第一个在1600年前后找到一般的符号代数解的人，而且他在证明时未诉诸几何。约翰·沃利斯或许是在哈里奥特时代与牛顿时代之间最杰出的英国数学家，也是当时少数认识到哈里奥特在解放代数并使之脱离几何方面成就的人之一。他对哈里奥特的评价是：哈里奥特“纯粹且独立地依靠代数本身的原则处理代数，而不依赖于几何，也不与几何有任何联系”。 ^[18] 这为我即将讨论的汉密尔顿提供了一些数学背景，因为他也想用纯代数的形式来表示一种几何操作，但他考虑的不是立方体而是空间中的旋转，并且在寻找这个问题的解决方法的过程中，他发明了矢量。

使用代数方法来推演几何问题，这不仅扩展了代数，也扩展了几何。我们将会看到，当矢量和张量出现时，这两种数学携手并进，相互影响。但第一步，我们要像哈里奥特和沃利斯所做的那样，认清代数和几何一样，本身也是一门学科。

哈里奥特受到了多才多艺的法国人弗朗索瓦·韦达的启示，比如，韦达率先开始用大写字母表示未知数。哈里奥特也研究了韦达关于三次方程的著作。哈里奥特像我们今天这样用小写字母表示未知数，他将符号运用得如此彻底，堪称“符号思维大师”。他的洞见之一，就是证明多项式方程可以写成因式相乘的形式。比如，两个一次因式相乘可以得到一个二次方程，三个一次因式相乘可以得到一个三次方程，四个因式相乘可以得到一个四次方程，以此类推。“因式定理”现在看起来可能显而易见，你在高中代数课上就学过了，但在哈里奥特之前从未有人写出这样的符号方程：

( x – l )( x – m )( x – n )=0

实际上，哈里奥特没有使用圆括号来表示乘积，而是将因式摞在一起，并用方括号括住。他使用小写字母 a 而不是 x 来表示未知数，并且使用 a · a 而不是 a ² 。 x , x ² , x ³ , x ⁴ ,…这些符号应归功于笛卡儿，这种表示法是他在1637年发明的，但笛卡儿有时也会像哈里奥特一样，使用 x · x 或 a · a 的形式。无论形式如何，这个方程揭示出一个三次方程必定有三个解： x = l , x = m, x = n 。它们可能是正数或负数，也可能是实数或虚数。相比之下，卡尔达诺的算法说的是“那个”解，似乎暗示只有一个解，这符合你基于立方体的想象。 ^[19]

要弄清楚哈里奥特的符号方法的优势，我们可以看下邦贝利是如何从 x =4出发解决棘手的卡尔达诺方程的。他使用的符号与我在这里使用的现代版本大同小异，而且同样清晰。哈里奥特先将 x ³ =15 x +4写成 x ³ –15 x –4=0，这正是你在中学所学的。然后，将 x ³ –15 x –4除以（ x –4），得到 x ³ –15 x –4=( x –4)( x ² +4 x +1)。对于这一表达式，当 x =4或 x ² +4 x +1=0时它等于0。你可以通过配方法求解其中的二次方程，得到另外两个解，即 和 。所以，这个三次方程总共有三个解。该方程的所有解都是实数，不再需要用到卡尔达诺的复杂表达式 。或者，只是看上去如此。后来的数学家会发现，实际上每个复数本身都有三个立方根，由此将这块历史拼图补齐。所以，棘手的卡尔达诺方程的三个实数解可以从他的算法中得出！我在本书中的注释部分演示了如何做到这一点。 ^[20] UcCHcKpQzhtrK52c8BgjOYdY3aAiuZFcpZHgzsD5yWjZd+Z6VKxrJVqAXeBK7XxW