学会符号化思考

自有记录（近4000年前）以来，代数就一直是数学的一部分，但不总是以我们今天所学的符号形式出现。实际上，它在大部分时间里都完全呈现为文字和数字形式，而在公元前300年，欧几里得的《几何原本》中也包含几何图形，用于证明像毕达哥拉斯定理这样的结果，以及表示等同于今天（ a + b ） ² 形式的平方式。所以，“代数”是通过笨重的文字问题或越来越复杂的图形来表达的，在这方面几何确实更有优势。比如，几何是证明毕达哥拉斯定理的最简单方法。在图1–1中，我给出了这样一个几何证明的代数改写。虽说古人只是重新排列图形，直观地显示阴影区域面积等于以三角形的两个直角边为边长构成的正方形的面积之和，但这确实是一种相当聪明的方法。 ^[5]

经过了漫长的时间，代数总算摆脱了算术和几何，成为一门独立的学科。但直到中世纪，它才拥有自己的名字，这要感谢9世纪的阿拉伯数学家花剌子米。当他在巴格达的开创性大学也就是“智慧宫”学习时，正值伟大的阿拉伯翻译运动达到巅峰：人们从日益壮大的伊斯兰帝国的各个角落收集希腊、印度和其他古代手稿，将它们译成阿拉伯语。12世纪的欧洲人热衷学习阿拉伯语，以便将这些手稿翻译成拉丁语，其中包括托勒密的《天文学大成》和欧几里得的《几何原本》，还有花剌子米的著作。众所周知，“代数”（algebra）这个词来自花剌子米的《代数学》。 ^[6]

从花剌子米引入的问题看，他所谓“还原”的一个例子是“配方法”，即你在学校中学习的二次方程的解法。这样的方程在汉密尔顿的虚数故事中扮演了一定的角色。比如，考虑 x ² +1=0。今天的学生可以立即写出它的解： x =±i，其中i为虚数 。 ^[7] 17世纪，法国人勒内·笛卡儿将“虚数”一词引入了数学，并指出我们可以得到“我们能想象的任何方程”的解；然而，“在许多情况下，不存在与人们的想象对应的量”。换言之，他认为你可以“想象”方程的解中含有负数的平方根，但它们并不真实存在。至少它们不是传统意义上的数字。 ^[8]

如果连笛卡儿都认为这样的数字不存在，那么在800年前的花剌子米时代，–1的平方根被认为“不可能存在”，以它为解的方程也被认为无解，这就不足为奇了。所以，像大多数古人一样，花剌子米只关注有正解的二次方程，因为解为负数似乎也没有实际意义。（7世纪的印度数学家婆罗摩笈多的思想遥遥领先于他同时代的数学家，因为他同时考虑到了正解和负解。）

花剌子米也没有用我们今天使用的符号形式书写方程。事实上，在现代人眼中，他的书更像算术而非代数；他的作品在欧洲被翻译成拉丁语后，产生的一个重要影响就是推广了印度–阿拉伯的十进制计数系统，并使之最终演变成我们现在使用的计数系统。然而，花剌子米常被称为“代数之父”。尽管他使用的是文字而不是符号，提及的问题也很简单（如他所言，他的目的是教学生如何解决“继承、遗产、分割、诉讼与贸易以及交易问题，或者测量土地、挖掘运河、几何计算和其他方面”的基本问题），但他系统地提出了以文字形式表示的线性方程和二次方程及其求解的算法，即求解“未知数”，也就是我们现在所说的 x 和 y 。事实上，“算法”这个词意为执行计算或其他操作的一套规则，它来自拉丁语中的“algorismi”，该词衍生于花剌子米的名字。 ^[9]

看到“代数之父”这一称号，我不禁想问，是否也有“代数之母”？花剌子米并不是凭空出现的，牛顿、麦克斯韦或爱因斯坦也不是。花剌子米的大多数前辈都已湮灭在历史长河之中，但在某个阶段可能也有女性的参与。事实上，神秘的希帕蒂亚可能是我们所知的最接近“代数之母”称号的人，但她的原创性程度未知，因为她的作品早已残缺不全。但当时的信件显示，她确实写了一篇博识的学术评论，论及另一位“代数之父”称号的竞争者，即3世纪亚历山大城的丢番图。丢番图曾在发展符号的过程中迈出了重要的一步，因为他在表述代数问题时使用了文字缩写。

当然，现代涌现出了一些优秀的女代数学家，包括西澳大利亚大学的荣休教授谢丽尔·普拉格，她一直是许多年轻女性学习数学的榜样。稍微回溯一下，还有富于开创性的爱因斯坦的同事艾米·诺特，由于她在现代代数概念上的工作，她被称为“现代代数之母”，这些工作的深度远远超出了我在这里谈论的代数课程。再举一个具有开拓性的女数学家的例子：一个半世纪前的1872年，年近92岁的玛丽·萨默维尔在她去世的前一天还在研究汉密尔顿的四元数。她曾跻身数学天文学的发展前沿，被同时代的人尊称为“科学女王”。她最近再次声名鹊起，原因之一是在公众投票中击败了她的苏格兰同胞麦克斯韦，她的头像被印在了2017年苏格兰皇家银行发行的新版10英镑钞票的正面。

再往前追溯，我最喜欢的“代数之父”是神秘的伊丽莎白时代数学家托马斯·哈里奥特。1883年，在致汉密尔顿四元数的早期仰慕者亚瑟·凯莱的信中，英国代数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特称哈里奥特为“当今代数之父”。哈里奥特也从前辈数学家那里受益匪浅，他去世后出版的《使用分析学》是第一本完全用符号书写方程的代数教科书。它于1631年出版，与花剌子米的时代相隔了8个世纪，与丢番图时代相隔14个世纪。这说明，数学家学会符号化思考需要耗费多么长的时间。

哈里奥特本人没有将他的任何数学和实验工作发表出来，他的第一个资助者是有趣但颇具争议性的沃尔特·罗利爵士。哈里奥特忙于在大海上航行，一方面是为了躲避异端追捕者，另一方面是发展新的数学应用来帮助罗利的航海事业。

尽管哈里奥特从未出版过自己的发现，却留下了数千页的计算和观察手稿。通过在他收集的大量数据和方程中寻找隐藏的模式和一般性，哈里奥特发展了自己的思想。这确实是代数的关键因素之一：模式和一般性。符号方程的美在于，当你一眼就能看到问题时，发现一般的模式便会容易得多。比较以下两种表达方式，即可窥见一斑：

1.取未知数的平方，再令未知数与自身相加，然后用平方减去和，令结果等于8。

2. x ² –2 x =8

最早的数学家分别求解单个方程，但如果你能发现一种不但对方程 x ² –2 x =8有效，同时对形如 x ² – ax = b 的方程也都有效的解法，求解就更容易了。古代数学家认识到了这一点，但进展相对缓慢，因为他们必须将这些模式都记在脑子里，或者用冗长的句子表达，这很容易让人迷失方向。

最先以易懂和可辨识的现代符号形式表达方程的人是1631年哈里奥特的遗嘱执行人，然后是1637年的笛卡儿，可参见其著作《方法论》 ^[10] 的附录。（此前也有一些尝试，但那些符号扭曲且过于个人化，更像是一种缩写。） ^[11] 即使我们今天视为理所当然的+、–、=和×也是到了17世纪才得到广泛使用的。这意味着，我们所知的早期代数学家，即古代的美索不达米亚人、埃及人、中国人、希腊人，中世纪的印度人、波斯人和阿拉伯人，以及现代早期的欧洲人，大都是用文字或象形文字来表达方程的。

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这段漫长的历史告诉我们，符号化思维是一种独特的技能。以我在上文中给出的用文字表达的问题为例，它是算法思维的一个典型例子。但符号化思维具有算法性，因为它的符号有时可孕育出一种新的创造力的种子，是一种深邃而又简洁的新思考方式。

一个经典例子是阿尔伯特·爱因斯坦的质能方程： E = mc ² 。爱因斯坦最初并没有打算找到能量和物质之间的联系，相反，他只想根据他的新相对论计算运动电子的动能，以使其理论预言可以通过实验来检验。然而，几个月后，26岁的爱因斯坦开始意识到这个方程的重要性。1905年是他的奇迹年，他在那年的第5篇开创性论文中写下了这个方程，但他需要再花两年时间，才能完全理解这个用符号表达的关系式的完整含义。你要知道，它不仅是某种特定形式的能量和某种特定类型的物质之间的计算式，而且是一种一般现象：如果一个物体获得（或失去）能量，那么它也将获得（或失去）质量。这是一个奇怪的想法。我们的所有常识经验中都没有这样的实例，但它就隐藏在这个方程的符号中。实验物理学家花了几十年时间，才通过实验证实了这一惊人的数学预言。 ^[12]

一个更简单、出现时间也更早的例子是幂序列 x , x ² , x ³ , …。第一个元素的幂是1，所以 x 实际上是 x ¹ ，传统上，1在几何上与一维的线有关。接下来的两个元素是 x ² 和 x ³ ，它们分别被称为“ x 的平方”和“ x 的立方”，对应于正方形的面积和立方体的体积。这些名称凸显了早期数学家的思考方式是几何的而非代数的，因为几何具有可触摸的实体性。相比之下，符号代数是抽象的，你必须赋予它意义，即使它只是显示一种有趣的模式，比如 x , x ² , x ³ , x ⁴ …。但是，这种灵活性是代数最大的优势。你可以写下更多（有限）的高次幂，而不必将它们具象化为物理对象。

这在今天看起来可能显而易见，但数学家花了3500年的时间，才从求解二次方程转向求解三次方程和更高次方程。二次方程是指最高次幂为 x ² 的方程。更高次方程的求解当然更困难，但不易找到解法的部分原因在于，代数长期以来总是与文字和具体图形相关联。

比如，我提到花剌子米曾用“配方法”解二次方程。其实，这是一个起源于4000年前的问题。历史记录显示，该问题可以追溯到当年的楔形文字泥板，它们是与花剌子米同样居住在现代伊拉克所在地区的数学家制作的。这些古代的美索不达米亚人通过字面意义上的“配平方”求解二次方程。下面是当时一个典型的教学问题：“将正方形的一边长增加20后面积变为21，那么正方形的面积是多少？” ^[13] 这类问题及其解决方法与今天学校教授的内容类似，只不过在4000年前，这一问题的答案完全是用几何方法推导出来的。首先，画一个边长为 x （用现代符号表示）的正方形，在它旁边再画一个大小为20和 x 的矩形。现在，把这个额外的矩形分成两个相等的小矩形，并把它们分别置于正方形的左侧和下方，将其补成一个新的更大的正方形，如图1–2所示。

在最初开发这种方法时，美索不达米亚人是为了去解决实际问题。他们生活在水资源稀缺的土地上，他们的泥板上包含了许多关于运河和水库挖掘、水池容量、大坝和堤坝的建造和修理，以及相关的行政账目的问题。为了解决这些问题，古代数学家必须求解与面积和体积相关的方程。 ^[14] 近3000年后，花剌子米也专注于类似的实际问题，并使用了类似的几何配平方方法；17世纪前的其他数学家同样如此。

1200年前后，伊斯兰数学家萨拉夫·图西成为在求解三次方程方面最早取得进展的人之一。1545年，意大利数学家杰罗拉莫·卡尔达诺率先在他的著作《大术》 ^[15] 中发表了一般三次方程的正确解法。像他之前的数学家一样，卡尔达诺仍然是用文字（或文字的缩写）而不是符号书写他的解法，从几何上设计了他的方法：他以其惊人的空间想象能力，完成了“配立方”。 O5CZPb2Ps5fXOznqNCUNOPivIFwIRoR6jRE2PIkXjN0lfhWLBW0HJaJTPLDbPVJd