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每年10月16日，热爱数学的都柏林人都会聚在一起，从邓辛克天文台出发，穿过原野，走到皇家运河。有许多条路都可以横跨运河，但他们只去其中一个地方：布鲁姆桥。他们会重演数学史上最著名的漫步之一，以此庆祝“汉密尔顿日”，纪念爱尔兰最伟大的数学家威廉·罗文·汉密尔顿。1843年10月16日，爱尔兰皇家天文学家汉密尔顿就是经由这条路线前往主持爱尔兰皇家科学院会议的。
那一天，汉密尔顿的妻子海伦陪他一起漫步。尽管环境优美，他也富有浪漫情调，但这绝非传统意义上的漫步，因为他心有所想。多年来，他一直在与一个看似无法解决的问题做斗争：在三维空间内，如何用代数方法表示某些几何操作，比如旋转。当然，汉密尔顿并没有预见到现代高科技，但这种旋转正是操控机器人、逼真的计算机图像和航天器所需要的。他只是单纯地想解决这一数学问题，专注于发明数学方法，而其解决方案最终将使上述应用成为可能。就在他走上布鲁姆桥时，灵感突然降临：三维旋转需要用四维数学表达。 [1]
这一洞见相当新颖，但事情不止于此。为了令四维数学可行，汉密尔顿必须改变乘法的基本规则。但这样一来，交换律 a × b = b × a 可能就不成立了，尽管它在普通数字相乘时显然成立。或许你还记得自己当年如何与矢量乘法的“右手定则”角力，我们也将在第4章中对其进行专门讨论，因为它给出了一种简洁的方法，证明矢量乘法是不交换的。然而，中学和大学课程讲授的矢量分析只是事后总结。在1843年，打破交换律显得非常大胆，甚至有些专横：在何种宇宙当中，人们会认为2×3不等于3×2是合理的？或许只能在刘易斯·卡罗尔的奇境中，疯帽匠在那里告诉爱丽丝：“说你的意思”和“你说的意思”有所不同，因为“你或许可以同理宣称，‘我看见我吃的’等同于‘我吃我看见的’”。 [2] 但在数学家徜徉了数千年之久的直观精神世界中，这当然不合理。灵感迸发的汉密尔顿十分兴奋，他拿出了小刀，立即在石桥上刻下了他的神奇公式。
在汉密尔顿日，当代漫步者的目的地正是汉密尔顿刻下这一神奇数学公式的地方。原始的刻痕早已在风雨侵蚀下荡然无存，但我们从汉密尔顿的信件中知晓其曾经存在。半个世纪前，人们用一块牌子标记他灵感降临的地点；他后来回忆说，那就像电路闭合时产生的闪耀火花一样。2019年，一座纪念性艺术品因这一比喻而诞生，它矗立在布鲁姆桥的人行道上，用电灯照亮了这一著名的公式：
i 2 =j 2 =k 2 =ijk=–1
多么希望汉密尔顿能看到这一切啊！ [3]
你或许已经意识到，汉密尔顿公式中的i、j、k是虚数，因为任何实数的平方都不可能是负数。（计算实数的平方时，总是两个符号相同的数字相乘，所以平方总是正数。如果平方是负数，比如i 2 =–1，则i肯定不是实数，而是虚数。）
稍后我将介绍汉密尔顿方程的意义，但我现在要强调的是，世界各地的朝圣者为何接踵到访布鲁姆桥。这一看似简单的方程包含了一种新四维结构的关键因素，开创了一种对于今天的许多领域不可或缺的全新数学语言，汉密尔顿将他的四维创造命名为“四元数”。它由两部分组成：一个是一维实数，他称之为标量；一个是有大小和方向的三维量（三分量），他称之为矢量。如果你熟悉现代矢量，那么出于实用的目的，你可以用同样的方式考虑汉密尔顿的矢量。（稍后我们将看到它们之间在概念上的细微差别。）
在这次传奇漫步的20年后，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦创建了他的电磁场理论。更复杂的四元数需要等待近150年，才能实现我之前提到的现实应用，比如机器人、计算机生成图像（CGI）、分子动力学、手机屏幕的旋转、航天器的控制等。月球漫步者尼尔·阿姆斯特朗深知如今四元数在飞机和航天器导航中的作用。作为一位航空工程师兼宇航员，他在其生命即将结束时到访都柏林，向汉密尔顿表达了自己的敬意。 [4]
我们将更深入地了解汉密尔顿如何做出了成功的探索，也将知道我们可以用四元数与矢量做些什么，但在此之前我想告诉你他是如何想到虚数和高维数学的。我在序言中跳过了从三维到四维或更高维的过程，但这种思维的转变远非直截了当。这是因为，几千年来，基本上只有算术和几何两种数学。算术是计数具体的量的，比如金钱、重量和距离等；几何也可以直观感知，通过点、线、面、图形等将几何对象画在二维纸上或表示在三维空间中。如果我们想从物理上建模我们凭借日常经验即可轻松想象的事物，三维空间就是我们的极限。
那么，汉密尔顿的四维数学是什么呢？这样的数学该如何处理？它如何表达像在普通空间内旋转的物体这样具体的事物？这是一个很长的故事，因为数学家经过漫长的岁月才学会了抽象思考，让他们的想象力从有形的事物中解放出来。要做到这一点，他们必须先学会符号化思考，从具体的算术和几何过渡到抽象的代数符号世界。即使你曾经在学习代数时举步维艰，也无须介怀：这段漫长的历史足以说明，以前的数学家同样如此。