打破规则

爱丽丝的创造者刘易斯·卡罗尔的真实身份是牛津大学数学家查尔斯·道奇森。但这并不是说道奇森也是在这种情况下做出创新推动并跌入新现实的。甚至有人推测，《爱丽丝梦游仙境》中疯帽匠的茶会之所以如此荒诞不经，恰恰是因为这是对汉密尔顿那打破规则的矢量的讽刺。但从表面上看，我们很难判断道奇森究竟是喜欢矢量还是认为它们荒诞不经。 ^[10] 汉密尔顿发现，矢量算术中乘法的运算方式不止一种，这不禁引起一片哗然。更重要的是，如同我们将要看到的那样，矢量乘法并不总是遵循建立已久的数值乘法规则。

汉密尔顿有关矢量乘法的看似荒谬的发现，以及紧随其后矢量和张量的所有突破性发展与应用，都需要使用代数符号。我用的是“矢量算术”，但一般的说法应该是“矢量代数”。简言之，算术处理的是数字，而代数处理的是代表数字或可量化的量（如温度或速度）的字母。这种符号化更易于数学家进行推广。比如，交换律这类普通的算术规则可以用符号表示为 a + b = b + a 和 a × b = b × a ，这样你能够看到这种模式适用于所有数字，而不必像最早期的数学家那样一一举例。在制定矢量的代数规则时，汉密尔顿尽量遵循这些基本的算术规则，当意识到自己必须扩展乘法运算规则时，他和其他人一样感到震惊。

但是，符号代数思维的形成历经了漫长的岁月，远远晚于埃及人、美索不达米亚人、古希腊人、古代中国人、中世纪的阿拉伯人和印度人，以及17世纪之前的其他数学文化。即使在19世纪，许多数学家仍然不信任纯粹抽象的符号代数，因为它似乎与日常经验严重脱节。所以，为了给汉密尔顿、麦克斯韦和其他矢量先驱即将面临的挑战做好背景铺垫，我在第1章将讲述人们第一次用字母表达和计算的故事，以及这种看似简单的做法如何让数学家更富创造性地思考。

在此之前，我们将先跟随汉密尔顿的脚步，重温他在那一刻越界的疯狂念头，即古老的数学规则竟然是可以打破的。

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[1] P. G. Tait, An Elementary Treatise on Quaternions (Cambridge: Cambridge University Press, 1890)。

[2] 虽然麦克斯韦并未使用“矢量场”这个术语，但他创造了它，因为他在几年后（1873年）出版的《电磁通论》中对其做了清楚的阐释。我将在后面几章里探讨它的意义，以及它将如何影响后来的物理学家。

[3] 古代的列表数学可参看如下著作：Eleanor Robson, “Mathematical Cuneiform Tablets in the Ashmolean Museum, Oxford,” SCIAMVS 5 (2004): 2–65; Duncan J. Melville,“Computation in Early Mesopotamia,” in Computations and Computing Devices in Mathematics Education before the Advent of Electronic Calculators , ed. A. Volkov and V.Freiman (Switzerland: Springer Nature, 2018), 25–47。梅尔维尔强调了翻译这类古代文献及应用时可能遇到的困难；罗伯特·米德克–康林则指出，有关某些米索不达米亚数学泥板实用性的辩论仍在持续，详见“The Mathematics of Canal Construction in the Kingdoms of Larsa and Babylon,” Water History 12 (2020): 105–28。丹尼尔·曼斯菲尔德于2021年的研究让一部分翻译变得清晰多了，见其论文“Plimpton 322: A Study of Rectangles ,” Foundations of Science 26 (2021): 977–1005。

[4] 有关米索不达米亚人的土地使用与测量的信息及普林顿泥板扮演的角色，可参考曼斯菲尔德的解读。曼斯菲尔德发现了Si. 427号泥板本质上就是毕达哥拉斯定理，并对普林顿322号泥板与米索不达米亚人的乘法表的细节有了新的洞见。然而，他对于米索不达米亚人有关三角学方面的断言尚有他人论述，可参阅Evelyn Lamb,“Don’t Fall for Babylonian Trigonometry Hype,” Scientific American (blog), August 29, 2017。

[5] Duane Hamacher, “Stories from the Sky: Astronomy in Indigenous Knowledge,” The Conversation , December 1, 2014; Ray P. Norris, Cilla Norris, Duane W. Hamacher, and Reg Abrahams, “Wurdi Youang: An Australian Aboriginal Stone Arrangement with Possible Solar Indications,” Rock Art Research 30, no. 1 (2013): 55–65.

[6] 托勒密还有一些有价值的资料，但现在大部分都已失传，其来源包括：尼多斯的欧多克斯，他可能是第一个在天文学中建立几何模型的人，也是我们将在第2章中遇到的穷竭法的先驱；昔兰尼的埃拉托色尼显然掌握了基本的纬度和经度，他只用圭表和简易测杆，便非常准确地推断出地球的大小；尼西亚的希帕恰斯是第一个系统地使用360度的圆来使行星运动的几何表示变得精确的人，而且他的数学与天文学造诣极高，甚至发现了昼夜平分点的岁差；帕加马的阿波罗尼奥斯在对锥形曲线的数学分析中使用了一种类似坐标系的工具，托勒密后来的理论就是直接建立在他的本轮和偏心行星运动模型的基础之上。

[7] 1英里≈1.6千米。——编者注

[8] 比如，如果你正以每小时35英里的速度向东北方向运动，你的矢量将与两个坐标轴成45° 的夹角，但其分量满足，当你用毕达哥拉斯定理可以算出矢量的大小时，仍然是35。于是，这一矢量可以表示为(35/√2，35/√2 )。
你可以在图0–2中找到矢量(35/√2，35/√2)，并发现当你计算分量时需要用到sin 45°=cos 45°=1/√2。如果你不熟悉三角学，你可以提前看看图3–4，弄清楚为什么计算竖直分量与水平分量时_需要用到sin 45°和cos 45°。然后，利用毕达哥拉斯定理，你会发现(35/√2 ) ² +(35/√2 ) ² =35 ² ，所以矢量是(35/√2，35/√2 )，其大小为35。

[9] 四维速度的分量与普通速度的分量类似，即（时空）坐标关于（固有）时间的导数。固有时间指可直接测量的时钟时间，即相对于观察者静止的时钟显示的时间。

[10] 疯帽猜想指的是一种新的乘法（即我们在第1章与第4章中看到的非交换乘法）的结果，这一猜想是由维多利亚文学家梅拉妮·贝利（Melanie Bayley）提出的。 a+1HJKmNPj57jHCGXzXjbHZhEc8jg9SyRSkpmJaHs/+vcUl8iOZDnSgEGdvMYZv1