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大约5000年前，为了记录信息，居住在今天伊拉克周围地区的人们开始在泥板制成的圆盘或薄片上刻下楔形符号。这些被称为楔形文字的奇异符号非常神奇，因为它们具有记录及控制货物和土地等有形物品交换的经济管理能力。但此后又过了上千年，在手指、鹅卵石及最终的算盘与表格等计算工具的帮助下，人们才建立了抽象的数字系统和算术规则。

楔形文字的发明者居住在底格里斯河和幼发拉底河之间的肥沃平原上。1000年后，希腊人称这里为美索不达米亚（意为“两河之间”）。它拥有许多相互联系的文化，因此，“美索不达米亚”这个术语仍被用来描述在这一农业和知识丰富地区发展起来的古代数学与其他文化创新。当然，这里并不是从简单计数向复杂数字系统发展的唯一地点。但是，我们对美索不达米亚数学的了解远多于对其他早期数学的了解，其原因在于有众多非凡的泥板文献留存至今。

至于一些更复杂的涉及早期数字和数学的泥板（包含乘法表），可以追溯到将近4000年前。这些东西的历史如此悠久，十分令人惊讶。当然，你需要掌握加法和乘法运算技巧，才能执行基本的经济任务。历史学家已经对这些早期任务的性质有所洞察，因为它们也被记录在那些泥板上。值得注意的是，一些最古老的文献列出了有关正方形或矩形地块的边长及面积表格，这种表格式布局后来演变为数学矩阵，简单的信息列表将演变成矢量。稍后，我们会在所有这些数学演变中选取更多的内容进一步讨论。它们将告诉我们，从简单的会计列表发展到能建模如此复杂的事物，比如电磁波或支撑量子计算机的量子比特，数学家做过何种努力。与此同时，这些古老的表格对于计算潜在的粮食收成、种子需求、耕种土地所需的劳动力数量及要支付的工资和税收至关重要。任何大型社会都需要利用这种工具，去生产与分配食物及其他必需品。 ^[3]

在这些早期的先进社会中，为了经济运行而对土地大小所做的估计不需要非常精确。测量员可以用木桩和绳子标示田地，然后测量它们的边长，但他们无须操心地块是否为标准的矩形，因为所有土地都归国家所有。然而，事情从公元前1900年左右开始有了变化，那时普通人也可以拥有土地，这意味着测量需要更准确，土地纠纷也即将翻开它们漫长的历史篇章。（相比之下，许多原住民一直沿用旧的测量方式，直到殖民化打破了原有的平衡。）于是，在最早的乘法表帮助会计们计算近似正方形和矩形面积的几百年后，美索不达米亚的测量员弄清楚了如何绘制完美的90°角；这表明，他们可能领先毕达哥拉斯上千年发现了“毕达哥拉斯定理”（勾股定理）。

学生们几乎都背诵过这一古老的法则：直角三角形斜边的平方等于它的两个直角边的平方和。毕达哥拉斯生活在公元前6世纪，但楔形泥板可以追溯到大约3700年前，其中最著名的是普林顿322号和Si. 427号泥板，它们上面无可置疑的证据表明这一法则远早于它对应的希腊公式出现的时间。普林顿322号泥板（图0–1）虽然已经破损，但留存的碎片列出了与直角三角形的斜边与直角边相关的15组数字，其中选用的数字及表格的列标题表明，它可能是一个六十进制的“毕达哥拉斯三元组”列表，也就是可供测量员选择的一套整数三元组。比如，（3, 4, 5）就是一个毕达哥拉斯三元组，因为3 ² +4 ² =5 ² 。Si. 427号泥板支持这种解释，因为它表示的是一个私人土地划分计划，将土地规划为矩形和三角形地块，每个地块都拥有完全符合毕达哥拉斯定理的角度和边长。 ^[4]

1000年后，讲希腊语的古代数学家对测量各种角度都产生了兴趣，而不只是90°角，因为他们不仅想测量地球，还想测量恒星。与数学一样，天文学也是最古老的科学之一。毕竟，广阔而闪烁的夜空令人着迷。由于无法测量他们与星星之间的距离，这些古希腊天文学家发现他们可以通过测量角度来确定星星的位置，由此衍生出两个重要成果。其中一个是三角学。这并不是说更早的文化不存在某种形式的角度表和“三角”计算，因为历史学家仍在研究与诠释楔形文字的相关文献。早在1850多年前，克劳狄斯·托勒密便在他非凡的希腊数学天文学汇编作品《天文学大成》（ Almagest ）中，记录下了现存最古老的三角函数表。（如果你忘记了三角学的基本思想，那你可以提前翻看第3章的图3–4。）另一成果是希腊人发展了用坐标表示空间位置的想法，这是一项与即将出现的矢量想法关联甚大的杰出创新。

随后的几个段落会进一步讨论这一点，但在此之前我必须承认，我们的故事也与其他古代数学文化相关。比如，讲希腊语的托勒密生活在罗马人统治下的埃及亚历山大城。这提醒我们，帝国的兴衰往往会带来残酷的动荡，而数学史中涉及的“希腊数学”，其实是指讲希腊语的数学家所做的工作，不论其种族、族裔或居住地。同样，它也提醒我们，亚历山大城著名的女数学家希帕蒂亚曾在3个世纪后写下一篇有关《天文学大成》的评论。当强调现代数学的多元文化历史时，我们不应忽视的一点是，“Almagest”在阿拉伯语中意为“最伟大的”，它长期以来被用来指代托勒密的汇编作品，以区别于当时的其他作品。这本“最伟大的”书之所以能留存至今，很大程度上应归功于它的中世纪阿拉伯语译者与注释者，自那时起它也一直以阿拉伯语的书名为世人所知。

与美索不达米亚人一样，大约在5000年前，古埃及人开始以象形文字符号表示数字，他们也对土地测量感兴趣。当然，希腊人不是最先测量天空的人，美索不达米亚人、埃及人和其他许多古代民族早在希腊人之前就绘制出月球和恒星的运行轨迹，以便制定日历、安抚神灵，以及指引他们穿越陆地和海洋。他们也注意到了一些重要的巧合，比如，每年尼罗河开始泛滥时，明亮的天狼星都会在黎明之前升起。

埃及和美索不达米亚的天文记录似乎都与算术相关，而与三角学无关：它们记录了天体事件发生的间隔天数，而没有提到恒星和行星在不同时间的角度位置。但这些记录非常准确，后来讲希腊语的天文学家都愿意使用它们。这个时代的大多数文明都没有留下有关天文观测的书面记录，但有一些以故事的形式流传至今，比如托雷斯海峡岛民的拜达姆（或贝扎姆）天鲨传统。这条“鲨鱼”正是被希腊人称为“大熊”的星座，也就是北斗七星，该星座在夜空中的位置告诉人们何时该种庄稼，以及何时该远离大海，因为鲨鱼此刻正在繁殖。此外，还有巨石阵、新格兰奇墓室和其他与古代天象对应的仪式建筑（比如澳大利亚瓦塔隆地区的乌迪尤昂石圈，它可能比中东和欧洲的同类建筑还要早上数千年）。中国人、印度人、玛雅人、印加人和其他许多民族也发展了令人惊叹的天文学知识。2017年，国际天文学联合会为感谢这些古代文明的贡献，将新的恒星命名系统中的86个恒星用它们的名字命名。 ^[5]

我们还将在随后两章中看到古人对数学的贡献。但现在，我要讨论坐标及其与矢量的关系。我不得不再次提及托勒密，因为他留下的复杂记录中不仅包括数学天文学的内容，还有用坐标表示空间位置的内容。但无论是托勒密的天文学成就还是他的坐标，我都不会让他独占所有荣誉，因为伟大的想法总是需要漫长的酝酿过程，以及许多人的贡献。托勒密非常擅长给予他的前辈应有的认可，这对他们来说当然是好事，因为他们的大部分著作后来都惨遭霉菌、蛀虫、意外和战争的破坏。然而，也正是因为《天文学大成》的成功，大量之前的作品被淘汰。 ^[6] 亚历山大城的欧几里得是一个引人注目的例外，因为他的名著《几何原本》被完整保存至今。欧几里得在公元前300年左右编写了这本书，大约比托勒密的《天文学大成》早450年问世，它所提供的几何规则今天仍适用于“欧几里得”（平坦）几何空间。

根据现存的记录，是托勒密引入了我们今天在地球上用于定位地点的纬度和经度概念。他在《地理学》一书中列出了数千个地理位置。《天文学大成》的星表中罗列了1000多颗恒星，通过类似于纬度和经度的天文学坐标对它们进行定位。所有坐标都用角度表示，托勒密描述了如何使用日影棒和类似量角器的刻度盘来测量太阳的角度；而对于其他恒星，他使用了浑仪（球体的骨架由可移动的交错圆环构成：中间是一个小地球；圆环代表诸如太阳的年轨道和日轨道，及地球的地平线和子午线，它们都与观察者所在位置的纬度和经度有关，此外，还有一个带有刻度的圆环，以及一个可从孔中对准恒星的圆环）。

又过了1 200年，我们才对今天数学课上讲到的坐标有了些许头绪，这主要归功于14世纪法国数学家尼古拉·奥雷斯姆的工作（尽管与欧几里得差不多同一时代的帕加马的阿波罗尼奥斯也曾发现这一概念）。3个世纪后，另一位法国人勒内·笛卡儿又更进一步。此后，追随他的数学家牢固地建立了我们熟悉的 x - y 笛卡儿坐标系，其两个坐标轴在“原点”处相交。现在，我们已逐步靠近矢量的概念。

我将在这篇序言的余下部分展示现代矢量的真容，并介绍它们能做些什么。我在前几页概述了矢量漫长的多元文化史前历史，我想在此重申它们的重要性，因为本书的大部分内容将讲述现代欧洲人如何发明了微积分、矢量和张量。今天的数学是一项真正的全球性事业，但在19世纪，当大部分故事发生之时，英国（当时包括爱尔兰）堪称科学大国。它有历史悠久的大学，以及越来越多的机械学院和专注成人教育的工人学院。（职业女性在1874年终于拥有了自己的学院，稍后我们将会读到在第一所大学女子学院学习的女性事迹。）它还有一个完善的银行体系，能够促进企业技术投资；有一个不断扩张的铁路网络，促进了通信及市场的发展；有丰富的原材料，即煤炭、水和钢铁，以及从殖民地掠夺的资源。这些因素为18世纪和19世纪的工业革命奠定了基础，在这场革命中，科学和技术携手前行，相互促进。当然，不仅仅在英国，欧洲大陆也有类似的科学机构和科学家群体，在我们的故事中，法国、意大利和德国都举足轻重。正如我们已经看到并且会在后续两章中继续看到的那样，现代科学界从其古代和中世纪的多元文化前辈那里获益良多。 a+1HJKmNPj57jHCGXzXjbHZhEc8jg9SyRSkpmJaHs/+vcUl8iOZDnSgEGdvMYZv1