序言

我们对于世界的理解时而会发生惊人的突破。例如，我们对于自己处于太阳系中心位置的信念曾遭到颠覆，还有那场相对论革命，它既改变了我们对于时间与空间的看法，也改变了我们对于自己在宇宙中位置的看法。无线电波的横空出世令无线技术应运而生，让我们的日常生活发生了神奇的转变。量子革命带来了如同魔术般的新型微技术，就像一场超自然的剧变，粉碎了我们对于“现实”的概念。当然，还有当前持续改变我们之间沟通方式的数字革命，尤其是如今已经变得如此复杂的人工智能。新的科技与文化时代在这些突破后接踵而至，有关它们的著述颇丰。然而，人们不知道的是，数学领域也在同步发生着巨大的革命。本书讲述了一些鲜为人知的革命：它们幕后的迷人思想，以及令其成为可能的人物的故事。

我将要在这里讲述的故事，关系着我们人类如何记录与理解周围复杂数据的演变。我将探讨那些充满戏剧性的数学转变，“矢量”和“张量”等非凡的概念应运而生，而它们是现代科学及许多技术的基础，是帮助我们如同神灵般揭开宇宙奥秘的语言。

矢量和张量等概念之所以拥有如此惊人的威力，原因之一是，它们能让我们以一种新的更透明的方式处理空间维度，这又让我们发现了自然的新法则，以及这些法则的新科技应用。每当你想要利用空间内的某个位置，你便需要处理这些维度，无论是转动机器人的一条手臂，还是设计一座桥梁或一台风力涡轮机，计算一台电机或发电机中电磁力的作用，预言某个电磁波、水波甚至引力波的路径，绘制卫星的轨迹，校准如GPS（全球定位系统）等导航系统，或者是分析空间或时空内的任何事。

随着故事的展开，我们将更详细地看到矢量和张量的实质性威力，但我不仅会使用物理维度的语言，也会使用信息维度的语言。你或许阅读过有关大数据和信息革命的相关内容，但是，正如化学中的元素周期表既是组织工具也是理论工具，让数据得以在科技界应用和清晰明了的恰恰是矢量和张量，只不过，它们在我们故事中的数学应用更为广泛。

然而，矢量和张量本身却十分简单，至少表面上如此。因为一开始，你确实可以将其视为一种简洁地表达信息的方式。比如，你可能还记得你曾经在学校里学到的矢量，它们可以为速度或力等物理量编码大小和方向信息。所以，你可以用一个指向某方向的箭头表示它，而箭头的长度则给出了大小。张量则又增加了一层信息，所以它们更像多维数组而非箭头。但数学家后来发现了这些箭头和数组相互结合的规则，并意识到他们发现了一种全新的语言，可用于思考全新的思想。这是一个相当奇妙的想法。

简单说明一下我的意思就是，数学家曾在几千年间只研究数字。虽然实数体系的演变可谓相当了不起，但这些数字只表达了一件事：数量，即重量、身高、钱数、苹果个数等。反之，矢量和张量则同时为多件事编码。因此，它们是表示大量数据的绝佳方式。而且，这些额外的信息意味着，当遇到一个工业或信息技术问题或者一个物理模型时，矢量和张量可以提供一幅远比单个数字更为丰富的画面。

身为19世纪的苏格兰地主，性格温和但古怪的詹姆斯·克拉克·麦克斯韦是第一位认识到矢量语言力量的杰出物理学家。我们稍后将正式与他见面，他的电磁理论是第一个现代场论，破解了困扰人们已久的有关光的本质的谜题，并预言了无线电波的存在。麦克斯韦最初的理论直观上具有“矢量性”，但当他了解到矢量是一种自带数学规则的“东西”时，他便意识到它们是能够更简洁、更优雅地表达他的发现的正确工具。

认真看待他的理论的人起初并不多：这么说吧，正如我们看到的那样，对主流物理学家而言，他以“矢量场”表达自然界电磁场的突破性应用实在太“数学”了，也太“不物理”了。而且，想象一下我们就会知道，即使是麦克斯韦，想让人们认可他对矢量的杰出应用也已经如此困难，那它的创造者该是怀着怎样的激情与自信啊。

爱尔兰数学家威廉·罗文·汉密尔顿是这个故事中的重要人物之一。他率先创造了“矢量”一词并提出了相关数学理论，而且他立刻意识到自己创造的这些东西如此新颖，甚至打破了几千年来数学家视为金科玉律的规则。他在提及这种新语言的可能应用时欣喜若狂，比麦克斯韦发表其精彩理论还要早上6年。他在给同事的信中高兴地写道：“还有什么能比这种情况更简单或更令人满意的吗？你有没有感觉到我们走上了正确的道路，而且将来会被铭记？只是不知道何时会到来……” ^[1] 在这里，汉密尔顿谈论的不仅是矢量，还有他发明的四元数——一种包含矢量的四维“数字”。正如我们将会看到的那样，四元数可以发挥矢量的所有作用，并且在为某些航天器导航和图像处理任务编程时效率更高，而这不过是它的众多现代应用中的区区两例。

然而，可怜的汉密尔顿从未收获足够的谢意：他于1865年去世，就在麦克斯韦发表其电磁理论的几个月后，却来不及看到麦克斯韦将其完全改写成矢量语言。 ^[2]

至于张量的作用，直至麦克斯韦去世都未能被发明，但我敢打赌，如果麦克斯韦能见到张量，他必定会认识到它们的力量。爱因斯坦在麦克斯韦去世的同一年出生，这具有特别的象征意义——不仅因为爱因斯坦的理论深受麦克斯韦理论的启发，而且因为爱因斯坦对张量所做的事与麦克斯韦对矢量所做的事如出一辙。爱因斯坦是第一位展示张量实际威力的重要物理学家，他利用张量创造出弯曲时空和现代宇宙科学，预言引力波和引力透镜的存在，并准确量化了引力对时间的影响，而这一点现在被用于GPS，令其导航功能精准无误。

实验物理学家用了1/4个世纪的时间，才在实验室内验证了麦克斯韦对无线电波的预言；他们又用了整整一个世纪的时间，才探测到爱因斯坦预言的引力波。这说明，这些基于矢量和张量的理论是何等超前。数学语言总是有能力做出这种惊世骇俗的预言。用数学描述物理现实的做法相当于创造了一个放大镜，透过数学规律可以揭示长期以来隐藏的物理性质。在本书中，我们将看到具体的例子，但我想在此补充一点：量子理论也充分利用了矢量和张量的力量，而且它的预言迄今还没有任何一项被证否。

矢量和张量是存储和使用信息的方式，因此，它们的应用范畴自然远超物理学这个单一领域。正如我早些时候指出的那样，从工程和遗传学到搜索引擎和人工智能，还有更多其他领域，都需要处理大量数据，矢量与张量在其中发挥着无可取代的作用，而且这些领域的数目还在增加。

这些数学思想的威力如此惊人、影响如此深远，以至于我将它们的发现视为革命。将张量视为矢量的推广是有帮助的，但那是事后经验：历经300年，人们才走完这条演化之路，它从最初的矢量语言演化成为包含矢量和张量的严谨而复杂的语言。人们花费了几个世纪，才理解了矢量概念的第一个初期启示。如果从现存最古老的数学记录算起，这一时期实际上跨越了数千年，因为矢量和张量的历史与数据符号表示的历史紧密联系在一起，而那些古老的资料显示，找到表达信息的方法是数学叙事的核心。

好吧，我将从一切的起点出发做简要回顾，以此作为故事的开端。当然，无论在这里，还是随着故事在后续章节的展开，我对这段漫长历史的叙述都不可避免会挂一漏万，因为它必然含有我个人的主观选择。我的目标之一不过是说明复杂数学思想的发展需要多长时间，同时需要多少跨文化的合作。矢量和张量分析走向现代应用之路漫长而曲折，而我想讲述的故事是一趟思想之旅；这些思想通常令人惊讶，但有时也很平凡，从始至终都有多个岔口。

不过，如果你读到本书中的任何地方，无心追究细节，只想阅读故事，那也悉听尊便。